资源简介

专题：导数的高级应用
命题规律与特点
1.从2020年高考情况来看，导数内容为高考热点，考题难度覆盖难、中、易，选择题、填空题和解答题均有可能出现，分值约为17分.2020年新高卷第21题第(2)问，通过恒成立问题求参数的取值范围，2020年课标1卷理数第21题考査利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导运算法则，这两个题都综合考査了逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.
2.导数内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与不等式关联紧密
3.导数应用题目很灵活，解题方法较多，多采用定义法、公式法、综合法，必要时还要使用放缩法
4.导数重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
利用导数证明或求解函数单调区间（不含参数）
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型分析：
一、利用导数证明或求解函数单调区间（不含参数）
1．（2021·江苏泰州·高三期中）已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山西运城·高三期中（文））在中，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川资阳·高三月考（理））已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数在处取得极小值，若，，使得，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2021·河南南阳·高三期中（理））对于函数.下列说法正确的是（ ）
A．函数有极小值，无极大值 B．函数有极大值，无极小值
C．函数既有极大值又有极小值 D．函数既无极大值又无极小值
6．（2021·江苏·高三单元测试）设函数f '(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，f '(x)ln x<-f(x)．则使得(x2-4)f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）
A．(-2，0)∪(0，2)
B．(-∞，-2)∪(2，+∞)
C．(-2，0)∪(2，+∞)
D．(-∞，-2)∪(0，2)
7．（2021·河南三门峡·高三月考（理））设，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·天津·南开中学高三月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·浙江宁波·高三月考）若，则函数的图象不可能是（ ）
A． B． C．D．
11．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·福建省漳州第一中学高三月考）若，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（∞，1） D．（∞，1）
15．（2021·北京十四中高三期中）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
①；
②是函数的周期；
③函数在区间上单调递增；
④函数所有零点之和为．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
16．（2021·湖北·高三期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·山东德州·高三期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最大值为1
C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为
D．若，则
18．（2021·上海·曹杨二中高三期中）已知函数.若实数 满足，则的最大值为___________.
19．（2021·江苏苏州·高三期中）已知是定义在上的奇函数，且，则的最小正周期为___________；若对任意的，当时，都有，则关于x的不等式在区间上的解集为___________.
20．（2021·广东惠州·高三月考）已知，若，则函数的单调递增区间是___________；若不等式对恒成立，则实数的取值范围为___________.
21．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）已知函数．
（1）当时，判断在区间上的单调性；
（2）当时，记的最大值为，求证：．
22．（2021·安徽省怀宁中学高三月考（文））已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围.
23．（2021·黑龙江·模拟预测（文））已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒有，求实数a的最小值.
24．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
25．（2021·河南三门峡·高三月考（理））对于定义域为的函数，若同时满足以下条件：①在上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是，那么我们把函数叫做闭函数.
（1）判断函数是不是闭函数？若是，请找出区间；若不是，请说明理由；
（2）若为闭函数，求实数的取值范围（为自然对数的底数）.
26．（2021·浙江·模拟预测）已知函数.
（1）若，求曲线单调递增区间及在点处的切线方程；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）若有两个极值点，，且.记，求的取值范围，使得.
27．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数，且函数在处的切线为．
（1）求a，b的值并分析函数单调性；
（2）若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围．
28．（2021·四川·成都七中高三期中（文））已知函数，其中为常数．
（1）当时，判断在区间内的单调性；
（2）若对任意，都有，求的取值范围．
29．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意都有，求实数a的取值范围.
30．（2021·全国·高三月考（文））已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
31．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数存在一个极大值点和一个极小值，则是否存在实数，使得成立？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．
32．（2021·河北·藁城新冀明中学高三月考）设函数.
（1）求的单调区间；
（2）求函数在区间上的单调区间.
33．（2021·福建·三明一中高三月考）已知函数（为实数）．
（1）若在处有极值，求的单调递减区间；
（2）若在上是增函数，求的取值范围．
34．（2021·河南·高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）解不等式.
35．（2021·辽宁丹东·高三期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，，，比较，，的大小.
试卷第2页，共2页专题：导数的高级应用
命题规律与特点
1.从2020年高考情况来看，导数内容为高考热点，考题难度覆盖难、中、易，选择题、填空题和解答题均有可能出现，分值约为17分.2020年新高卷第21题第(2)问，通过恒成立问题求参数的取值范围，2020年课标1卷理数第21题考査利用导数判断函数单调性的方法、导数公式和导运算法则，这两个题都综合考査了逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力、分类与整合的能力以及数学语言表达能力.
2.导数内容在高考试题中多以基本初等函数或其复合形式为载体，利用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点问题，同时与不等式关联紧密
3.导数应用题目很灵活，解题方法较多，多采用定义法、公式法、综合法，必要时还要使用放缩法
4.导数重点考查的核心素养为逻辑推理和数学运算
命题变化与趋势
1.高考对导数内容的考查较为稳定，考查方式及题目难度在近两年中变化不大
2.考查内容主要体现在以下方面:①考査函数的单调性、极值与最值;②由不等式恒成立求参数的范围;③函数与不等式综合，考查不等式的证问题
3.加强关注导数在研究函数与三角函数相结合问题方面的应用，知识交汇处是出题点，在综合问题中渗透学科素养
本文核心内容：
利用导数证明或求解函数单调区间（不含参数）
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
题型分析：
一、利用导数证明或求解函数单调区间（不含参数）
1．（2021·江苏泰州·高三期中）已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据题意可判断函数为奇函数且在上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.
【详解】
解：函数的定义域为，
，
所以函数为奇函数，
因为，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，即，解得
所以不等式的解集为
故选：A
2．（2021·山西运城·高三期中（文））在中，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求得，然后利用正弦定理化简，利用换元法，结合导数求得正确结论.
【详解】
由得，
由于都是三角形的内角，所以，
由正弦定理得
.
因为，所以，所以.
令，则，
令，
在上递增，
，，
所以.
故选：B
3．（2021·四川资阳·高三月考（理））已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由函数的奇偶性与单调性求解即可
【详解】
因为的定义域为,
,
所以是奇函数，
又当时，，恒成立，
所以在上递增，
所以在上单调递增,
因为，
所以，
解得，
故选：B
4．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数在处取得极小值，若，，使得，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】
先由已知求出的表达式，然后利用导数求出函数的单调区间，再求出极值点，进而求出的最大值.
【详解】
解：函数在处取得极小值
所以，即
解得：，
由得：
当和时，，即单调递增
当时，，即单调递减
所以的极大值为，极小值为
由得：或
由得：或
若，，使得，且，
则
故选：C.
【点睛】
方法点睛：利用导数求函数的极值
①求出函数的定义域
②求出
③求方程的根
④令求出单调增区间，令求出单调减区间
⑤结合单调区间由极值点左右的符号相反找出极值点，并求出相应的极大或极小值.
5．（2021·河南南阳·高三期中（理））对于函数.下列说法正确的是（ ）
A．函数有极小值，无极大值 B．函数有极大值，无极小值
C．函数既有极大值又有极小值 D．函数既无极大值又无极小值
【答案】A
【分析】
求出函数的导函数，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案.
【详解】
解：，
令，，
则，
因为，所以舍去，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以函数有极小值，无极大值.
故选：A.
6．（2021·江苏·高三单元测试）设函数f '(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，f '(x)ln x<-f(x)．则使得(x2-4)f(x)>0成立的x的取值范围是（ ）
A．(-2，0)∪(0，2)
B．(-∞，-2)∪(2，+∞)
C．(-2，0)∪(2，+∞)
D．(-∞，-2)∪(0，2)
【答案】D
【分析】
根据题意，设，，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，分析的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间上，都有，进而将不等式变形转化，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
解：根据题意，设，
其导数，
又由当时，，则有，
即函数在上为减函数，又由（1），
则在区间上，，又由，则，
在区间上，，又由，则，
在题设不等式 中，
令，可得（1），
故当 时，，
又 为奇函数，故可得当时，．
或，
解得或，
则的取值范围是，，．
故选：D．
7．（2021·河南三门峡·高三月考（理））设，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数，得，判断函数在的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出，， 的大小关系．
【详解】
解：设，则，
当时，，故在为减函数，
，，则，故；
又，，即，故，
．
故选：B．
8．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据构造函数，利用函数的奇偶性、单调性比较大小．
【详解】
解：令函数，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；
，当时，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，
，
因为，
所以，
即.
故选：B
9．（2021·天津·南开中学高三月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，构造函数，利用函数单调性比较大小即可.
【详解】
令，所以
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，，，
所以，即.
故选：C
10．（2021·浙江宁波·高三月考）若，则函数的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据的取值逐个分析并结合排除法可得正确的选项.
【详解】
若，则，此时函数的定义域为，
而，故在上为增函数，故A符合；
若，则，此时函数的定义域为，
且，故为奇函数，
当时，，故在上为增函数，
又，
因为在均为增函数，故在上为增函数，
故C满足；
若，则，此时函数的定义域为，
且，故为偶函数，
当时，，故在上为增函数，
故B满足；
故选：D
11．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设，利用导数法判断函数为增函数求解.
【详解】
设，
则，
所以函数为增函数，
由，得，
由，得，
所以由不等式，得，
∴，
故选：C
12．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知，，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
令，利用导数可求得在上单调递增；将已知等式化为，可知，由单调性可知，由此依次推导各个选项可得结论.
【详解】
令，则，
当时，，在上单调递增；
由得：，即，
，，，即，
，即，，D正确；
由知：，，A错误；
，未必正确，B错误；
，未必正确，C错误.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题关键是能够构造函数，利用导数确定的单调性，从而结合已知等式确定所满足的不等关系，由此推导得到正确选项.
13．（2021·福建省漳州第一中学高三月考）若，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
对于AB，，，利用导数判断函数在上的单调性，即可判断AB；
对于CD，令函数，，利用导数判断函数在上的单调性，即可判断CD.
【详解】
解：令，，
，因为函数在递增，
故函数在递增，而（1），
时，，则存在，使得，
当时，，当时，，
所以函数在上在递减，在上递增，
所以无法比较的大小，即无法比较与的大小，
故A、B错误；
令函数，，
则，
故在递减，
若，
则，所以，
即，
故C正确，D错误.
故选：C.
14．（2020·新疆·克拉玛依市教育研究所三模（理））定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（∞，1） D．（∞，1）
【答案】A
【分析】
根据的图像关于点（，1）对称，得到是奇函数，构造函数，由得到在上递增，然后将转化为求解.
【详解】
因为的图像关于点（，1）对称，
所以是奇函数，
因为对任意的实数均有成立，
所以对任意的实数均有成立，
令，
则 ，
所以 在上递增，
因为，
又，
所以，
故选：A
15．（2021·北京十四中高三期中）函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
①；
②是函数的周期；
③函数在区间上单调递增；
④函数所有零点之和为．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】
①根据计算判断；②用反证法判断；③用导数判断；④用周期函数性质判断．
【详解】
解：对于①，因为，所以①对；
对于②，假设是函数的周期，则，又因为是定义域为的奇函数，所以，于是，
与矛盾，所以②错；
对于③，因为，当时成立，所以函数在，上单调递增，又因为是奇函数，
所以在区间上单调递增，所以③对；
对于④，由③知在区间，上单调递，又因为满足，所以关于对称，
，所以以为周期，
在一个周期内函数两个零点之和为，
在，内有三个周期，所以所有零点之和为，所以④对．
故正确的有①③④．
故选：C
16．（2021·湖北·高三期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
讨论函数奇偶性可排除两个选项，再探讨在x>1时，函数式的分子与分母的大小关系即可判断作答.
【详解】
函数的定义域是，，
即函数是定义域上的奇函数，显然，选项B，D不满足；
当时，，
令(x>1)，，
则在上单调递增，即当时，，
则有，因此，，
则当x>1时，，从而得恒成立 ，选项C不满足，选项A满足.
故选：A
17．（2021·山东德州·高三期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的最大值为1
C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为
D．若，则
【答案】ABD
【分析】
利用导数研究的单调性，即可判断A、B的正误；由在、上的值域，即可知恰有两个不等的实根时的取值范围；取 ，要证，即证，构造函数并利用导数研究单调性，进而确定在上的符号，即可证.
【详解】
由题意，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
即在上单调递增；在上单调递减，
A：，正确；
B：的极大值，也是最大值为，正确；
C：∵时，即上；
时，即上；
∴要使恰有两个不等的实根，则，错误；
D：不妨设 ，在上单调递增；在上单调递减，
若，则 ，
要证，即证，
，
只需证明，
即证明
令，
，
当时，，函数在上单调递增；
所以，
所以，即，故，正确.
故选：ABD
18．（2021·上海·曹杨二中高三期中）已知函数.若实数 满足，则的最大值为___________.
【答案】1
【分析】
设,再判断函数的奇偶性和单调性，再由得
，再利用三角换元求的最大值.
【详解】
设,所以,定义域为R
所以
所以,所以函数是奇函数，
，
所以函数是增函数，
因为，
所以，
所以=0,
所以,
所以设
由于求的最大值，不妨设，
所以=
=，当时取得等号
所以的最大值为1.
故答案为：1
19．（2021·江苏苏州·高三期中）已知是定义在上的奇函数，且，则的最小正周期为___________；若对任意的，当时，都有，则关于x的不等式在区间上的解集为___________.
【答案】2
【分析】
由已知可得函数关于对称，继而由函数为奇函数，可得函数的周期；由函数的单调性的定义得函数在上是增函数，令，设，运用导函数分析函数的单调性，由此得，由对称性及周期性作函数的示意图和的图象，运用数形结合的思想可求得不等式的解集.
【详解】
解：因为，所以函数关于对称，又函数为奇函数，故函数关于原点对称，所以函数的周期为，
因为对任意的，当时，都有，不妨设，所以，所以函数在上是增函数，
所以当时，，
令，设，则，所以是单调递减函数，
所以当，，
所以当时，，即，由对称性及周期性作函数的示意图和的图象如下图所示，
则不等式的解集为.
故答案为：2；.
20．（2021·广东惠州·高三月考）已知，若，则函数的单调递增区间是___________；若不等式对恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】##
【分析】
求出导函数，由不等式的解得增区间，对不等式可变形为，引入函数，由前面的单调性得，然后利用一次函数恒成立得结论．
【详解】
由，得，
因为时，所以，解得，
所以函数的单调递增区间为，【注：也正确】
由，得不等式可变形为，
令，则有对恒成立，
由前面可知，当时，在单调递增，
由，，得，，所以，
所以对恒成立，令，，
所以有，解得为所求.
故答案为：（或）；
21．（2021·江苏省泰兴中学高三期中）已知函数．
（1）当时，判断在区间上的单调性；
（2）当时，记的最大值为，求证：．
【答案】
（1）在上单调递减．
（2）证明见解析
【分析】
（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）由题知，设，进而得在存在唯一零点且的最大值，再结合可得.
（1）
当时，，
设，则，
当时，在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上单调递减．
（2）
，
设，则．
当时，的定义域为在上单调递减，
因为
所以．
又因为的图象是不间断的，且在上单调递减，
所以在存在唯一零点，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以的最大值
由得，
所以，从而原命题得证．
22．（2021·安徽省怀宁中学高三月考（文））已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1）函数在上单调递增.
（2）
【分析】
（1）求导直接判断即可；
（2）根据题意得对恒成立，故令，求导研究函数的最值即可得答案.
（1）
解：函数的定义域为，
恒成立，
所以函数在上单调递增.
（2）
解：因为，
所以，
所以，解得， 即
因为关于的不等式对恒成立
所以对恒成立，
故令，则，
由于函数在上单调递减，且，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以函数在上单调递减
所以，故
所以的取值范围是
23．（2021·黑龙江·模拟预测（文））已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒有，求实数a的最小值.
【答案】
（1）增区间：，，减区间：
（2）
【分析】
（1）求出函数导数，求解不等式和可得；
（2）易得不符合题意，当，令，讨论的情况即可求出.
（1）
当时，，，
令或，，
的增区间：，，减区间：；
（2）
①当时：，
时：单调递减，不符合题意.
②当时：令，
若，则，令或，，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，只需，
综上，a的最小值为.
24．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
【答案】
（1）
（2）单调递增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值
【分析】
（1）求，由导数的几何意义可得切线的斜率为，再求出切点，由点斜式可得切线方程；
（2）求，解不等式和可得单调递增和单调递减区间，由单调性可得极值.
（1）
的定义域为，由可得，
所以，，切点为，
所以所求切线方程为，即.
（2）
由，得解得：，
当时，，递减，
当时，，递增，
所以的单调递增区间是，单调减区间是；
当时，函数取得极小值，无极大值.
25．（2021·河南三门峡·高三月考（理））对于定义域为的函数，若同时满足以下条件：①在上单调递增或单调递减；②存在区间，使在上的值域是，那么我们把函数叫做闭函数.
（1）判断函数是不是闭函数？若是，请找出区间；若不是，请说明理由；
（2）若为闭函数，求实数的取值范围（为自然对数的底数）.
【答案】
（1）不是，理由见解析
（2）
【分析】
（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，即可判断，
（2）先求出函数的单调性，进而可以建立方程组即，即，从而可得，是方程的两根，即，求出的值域，进而可以求解．
（1）
解：因为，定义域为，且，令，即，解得，令，即，解得，
所以在上单调减，在上单调增，
所以不是定义域上的单调函数，故不是闭函数.
（2）
解：由函数和都是定义域上的单调递增函数，所以函数在定义域上单调递增，当时，，所以，即.
所以，是方程的两个根，令且在上单调递增，
则方程在上有两个不同的实根，
因为，令在单调递增，在单调递减，，所以.
26．（2021·浙江·模拟预测）已知函数.
（1）若，求曲线单调递增区间及在点处的切线方程；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）若有两个极值点，，且.记，求的取值范围，使得.
【答案】
（1）单调递增区间为 ；.
（2）
（3）
【分析】
（1）利用导数求单调区间，和切线方程；
（2）利用分离参数法转化为在上恒成立，设，，利用导数求出，即可求出a的范围；
（3）先由.消元后得到，利用，利用导数求出，而，即可求出a的范围.
（1）
当时，定义域为，所以.
令，解得：或
所以曲线单调递增区间为 ；
又，所以在点处的切线方程为.
（2）
不等式在上恒成立，即为在上恒成立，所以在上恒成立，
设，，则，所以在上递增，
故，因此，即的取值范围为
（3）
因为，
令可得：，所以.
因为，，
所以
令，则
因为，所以.
因为，所以.
即的取值范围为
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
27．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数，且函数在处的切线为．
（1）求a，b的值并分析函数单调性；
（2）若函数恰有两个零点，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）；函数在上单调递减，在上单调递增
（2）
【分析】
（1）由得，根据函数在处的切线为，由和切点在切线上求解；分别由和求其单调性.
（2）由（1）知，和函数的单调性，根据函数恰有两个零点，由零点存在性定理求解.
（1）
解：由得，
由题意知，
即，解得，
又，而切点在切线上，
所以，解得，
则，令，得，令，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）
由（1）知，
且函数在上递减，在上单调递增，而
因为函数恰有两个零点，
所以函数在区间各有一个零点，
由零点存在性定理得，即，
解得；
∴．
28．（2021·四川·成都七中高三期中（文））已知函数，其中为常数．
（1）当时，判断在区间内的单调性；
（2）若对任意，都有，求的取值范围．
【答案】
（1）判断见解析
（2）
【分析】
小问1：当时，求出导数，判断导数在上的正负，即可确定在上的单调性；
小问2：由得，令，将参数区分为，，三种情况，分别讨论的单调性，求出最值，即可得到的取值范围.
（1）
当时，得，故，
当时，恒成立，故在区间为单调递增函数.
（2）
当时，，故，即，即.
令
①当时，因为，故，即，
又，故在上恒成立，故；
②当时，，，
故在上恒成立，在上单调递增，
故，即在上单调递增，
故，故；
③当时，由②可知在上单调递增，设时的根为，
则在时为单调递减；在时为单调递增
又，故，舍去；
综上：
【点睛】
本题考查了利用导数判断函数的单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.
29．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意都有，求实数a的取值范围.
【答案】
（1）单调递增区间单调递减区间
（2）
【分析】
（1）求出导函数，由得增区间，由得减区间；
（2）用分离参数法转化为求函数的最大值．引入新函数，求出导函数，对的一部分探究其零点，得函数的最大值点，从而得最大值．
（1）
函数定义域是，
由已知，
时，，时，，
所以单调递增区间，单调递减区间；
（2）
因为对任意都有，即恒成立.
令，则.
令，则在上单调递增，因为，
所以存在使得，
当时单调递增，
当时单调递减.
所以 ，
由于，可得.则，
所以，
又恒成立，所以.
综上所述实数a的取值范围为.
30．（2021·全国·高三月考（文））已知函数.
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值，极小值
（2）
【分析】
（1）由题可求导函数，利用导数求出函数的单调区间，进而再求出极值即可；
（2）分情况讨论，利用导数研究函数的单调性和极值即可求解.
（1）
当时，函数，定义域为，
.
当时，或，
当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值.
（2）
.
①当时，，，
令，解得，
则当时，，且，
所以函数恒成立，不符合题意，舍去；
②当时，令，解得，
令，解得，
则函数在上为增函数，在上为减函数，
所以函数在处取得极大值，也是最大值，
要使得恒成立，则只需，
解得，故.
综上，的取值范围是.
31．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数存在一个极大值点和一个极小值，则是否存在实数，使得成立？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由．
【答案】
（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）不存在实数，使得成立．
【分析】
（1）先求导，令求出增区间，令求出减区间；
（2）求导分析可得方程有两个不等实根，求出的取值范围，再根据解出的值，即可求解.
（1）
解：当时，，，
令，解得或，
当时，，当时，，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）
解：，
因为函数有两个不同的极值点，即有两个不同的零点，
则方程有两个不等实根，
一方面，解得，此时，
不妨设，则随着变化时，和的变化情况如下表：
， ，
0 0
增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，即是极大值，是极小值．
另一方面，．
因为
，
所以，不满足，
故不存在实数，使得成立．
32．（2021·河北·藁城新冀明中学高三月考）设函数.
（1）求的单调区间；
（2）求函数在区间上的单调区间.
【答案】
（1）的单增区间为，单减区间为.
（2）的单调递减区间为，单调递增区间为.
【分析】
（1）的定义域为，求，分别解不等式和即可得单调递增和单调递减区间；
（2），求，由和即可得单调递增和单调递减区间.
（1）
的定义域为，
由可得：
，
由可得；由可得，
所以的单增区间为，的单减区间为.
（2）
由题意可得，
所以，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
33．（2021·福建·三明一中高三月考）已知函数（为实数）．
（1）若在处有极值，求的单调递减区间；
（2）若在上是增函数，求的取值范围．
【答案】
（1）；
（2）．
【分析】
（1）依题意得，可解得，于是，令可求得的单调递减区间；
（2），，且不恒为0恒成立恒成立，分离参数得对，恒成立，求得的最小值可求得的取值范围．
（1）
解：的定义域，又，
所以，解得，
此时，，
因为，令，解得，所以的单调递减区间是
（2）
解：依题意，且不恒为对恒成立，
，即，即，
在单调递增，
的最大值为，的最小值为，．
34．（2021·河南·高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）解不等式.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用函数为奇函数求的解析式即可.
（2）构造并判断其奇偶性，当时结合导数研究单调性，进而结合函数极大值求的解集，最后由奇函数的对称性求的解集，求并即可得解.
【详解】
（1）当时，，则，
由奇函数有，且，
（2）由题设，，又为奇函数，则也为奇函数.
①当时，，此时，.
令，得，令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，故可得：且，
②当时，由奇函数图象的对称性，易得的解集为空集.
综上，不等式的解集为.
35．（2021·辽宁丹东·高三期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）设，，，比较，，的大小.
【答案】（1）在单调递减，在单调递增，在单调递减；（2）.
【分析】
（1）由题求导函数即得；
（2）由函数单调性可得，即，构造函数，再利用导数判断单调性，可得，即得.
【详解】
（1）由题知的定义域为，
∴，
由得，由得，或，
于是在单调递减，在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）可知，即，所以，
设，则当时，
，
∴在单调递减，
所以，即，因此，
综上.
试卷第2页，共2页

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