资源简介

（浙江省2020届高考模拟试题汇编（一模））
不等式、数列小题
一、单选题
1．（浙江省温州市平阳中学2020届高三下学期3月高考模拟数学试题）已知实数，，，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题）已知，，是等差数列中的三项，同时，，是公比为的等比数列中的三项，则的最大值为
A． B． C． D．无法确定
3．（浙江省杭州市2020届高三下学期教学质量检测数学试题）若实数满足不等式组，则
A．有最大值，最小值 B．有最大值，最小值2
C．有最大值2，无最小值 D．有最小值，无最大值
4．（浙江省台州市2020届温岭中学高三下学期3月模拟测试数学试题）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是
A．7 B．5 C．3 D．2
5．（浙江省绍兴市2020届高三下学期4月第一次高考模拟考试数学试题）数列满足.若存在实数.使不等式对任意恒成立，当时，=（ ）
A． B． C． D．
6．浙江省嘉兴市、海宁市、桐乡市2020届高三下学期3月开学模拟考试数学试题）设、，数列满足，，，则（ ）
A．对于任意，都存在实数，使得恒成立
B．对于任意，都存在实数，使得恒成立
C．对于任意，都存在实数，使得恒成立
D．对于任意，都存在实数，使得恒成立
7．（浙江省嘉兴市、桐乡市高级中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试题）设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）
①数列的任意一项都是正整数；
②数列存在某一项是5的倍数.
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
8．（浙江省温州中学2020届高三下学期3月高考模拟测试数学试题）已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（ ）
A． B． C． D．
9．（浙江省衢州二中2020届高三下学期第一次模拟考试数学试题）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．4
10．（2020届浙江省高三高考模拟试题）已知非常数列满足，若，则
A．存在，，对任意，，都有为等比数列
B．存在，，对任意，，都有为等差数列
C．存在，，对任意，，都有为等差数列
D．存在，，对任意，，都有为等比数列
二、双空题
11．（浙江省温州市平阳中学2020届高三小学期3月高考模拟数学试题）已知正实数，满足，则的最大值为________，的最小值为________．
12．（浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题）设等差数列的前项和为，若，，则______，的最大值是______.
三、填空题
13．（浙江省杭州市2020届高三下学期教学质量检测数学试题）若，则的最小值为________．
14．（浙江省台州市2020届温岭中学高三下学期3月模拟测试数学试题）已知是等差数列的前项和，若，，则的最大值是______
15．（浙江省绍兴市2020届高三下学期4月第一次高考模拟考试数学试题）已知实数a，b，c满足，则的最小值是______.
16．（2020·浙江·宁波华茂外国语学校一模）设，，则的最大值为______.
17．（浙江省嘉兴市、海宁市、桐乡市2020届高三下学期3月开学模拟考试数学试题）等比数列的相邻两项，是方程的两个实根，记是数列的前项和，则________．
18．（浙江省嘉兴市、桐乡市高级中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试题）已知，，且，则最小值为__________．（浙江省2020届高考模拟试题汇编（一模））
不等式、数列小题
一、单选题
1．（浙江省温州市平阳中学2020届高三下学期3月高考模拟数学试题）已知实数，，，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】
根据已知条件，将变换为，利用基本不等式，即可求得其最小值.
【详解】
∵，
∴
，
当且仅当，即，时取等号.
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求和的最小值，注意对目标式的配凑，属基础题.
2．（浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题）已知，，是等差数列中的三项，同时，，是公比为的等比数列中的三项，则的最大值为
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】
由题意可得，，要使最大，则最小，结合等式求得的最小值，则的最大值可求.
【详解】
解：由题意，数列不是常数列.
由，，是等差数列中的三项，
得，即，
得.
由，，是公比为的等比数列中的三项，
得，
则，要使最大，则最小，
由，得，(舍)；
，；，；，；…；
由上可知，当与均增加时，由于的系数小于的系数，则要使等式成立，比增加要快.
的最小值为.
则的最大值为.
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的性质，考查数列的函数特性，属于中档题.
3．（浙江省杭州市2020届高三下学期教学质量检测数学试题）若实数满足不等式组，则
A．有最大值，最小值 B．有最大值，最小值2
C．有最大值2，无最小值 D．有最小值，无最大值
【答案】C
【分析】
画出不等式组表示的平面区域，设，则直线是一组平行线，找出最优解，求出z有最大值，且z无最小值．
【详解】
画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示；
设，则直线是一组平行线；
当直线过点时，有最大值，由，得；
所以的最大值为，且无最小值.
故选：C.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．
4．（浙江省台州市2020届温岭中学高三下学期3月模拟测试数学试题）设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】B
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出约束条件，表示的可行域，如图，
由可得，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点时，
直线在轴上的截距最大，
最大值为，故选B.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．（浙江省绍兴市2020届高三下学期4月第一次高考模拟考试数学试题）数列满足.若存在实数.使不等式对任意恒成立，当时，=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
计算，，，根据，排除ACD，再利用数学归纳法证明成立得到答案.
【详解】
，故，，，，，
取得到，即，故排除ACD，
现证明成立，
当时，成立，
假设时成立，即，
当时，，
易知函数在上单调递增，
故，即成立，
故恒成立，同理可证.
故选：B.
【点睛】
本题考查根据数列的递推公式判断数列性质，数学归纳法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
6．浙江省嘉兴市、海宁市、桐乡市2020届高三下学期3月开学模拟考试数学试题）设、，数列满足，，，则（ ）
A．对于任意，都存在实数，使得恒成立
B．对于任意，都存在实数，使得恒成立
C．对于任意，都存在实数，使得恒成立
D．对于任意，都存在实数，使得恒成立
【答案】D
【分析】
取，可排除AB；由蛛网图可得数列的单调情况，进而得到要使，只需，由此可得到答案.
【详解】
取，，数列恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；
由蛛网图可知，存在两个不动点，且，，
因为当时，数列单调递增，则；
当时，数列单调递减，则；
所以要使，只需要，故，化简得且.
故选：D．
【点睛】
本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．
7．（浙江省嘉兴市、桐乡市高级中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试题）设，是方程的两个不等实数根，记（）.下列两个命题（ ）
①数列的任意一项都是正整数；
②数列存在某一项是5的倍数.
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都正确 D．①②都错误
【答案】A
【分析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.
【详解】
因为,是方程的两个不等实数根,
所以,,
因为,
所以
,
即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,
又,,
所以,,,
以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;
若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,
由,,依次计算可知,
数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,
故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;
故选:A.
【点睛】
本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.
8．（浙江省温州中学2020届高三下学期3月高考模拟测试数学试题）已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可．
【详解】
当时，．
所以数列从第2项起为等差数列，，
所以，，．
，，
．
故选：．
【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
9．（浙江省衢州二中2020届高三下学期第一次模拟考试数学试题）若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【分析】
转化为4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，以y为自变量的方程有正根，根据根与系数关系确定实数x的范围即可.
【详解】
∵，
∴4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，
∴y1 y20，
∴y1+y20，
∴，或，
∴0＜x或x①，
△＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，
∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，
解得：﹣1≤x②，
综上x的取值范围是：0＜x；
x的最大值是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的分布问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.
10．（2020届浙江省高三高考模拟试题）已知非常数列满足，若，则
A．存在，，对任意，，都有为等比数列
B．存在，，对任意，，都有为等差数列
C．存在，，对任意，，都有为等差数列
D．存在，，对任意，，都有为等比数列
【答案】B
【分析】
本题先将递推式进行变形，然后令，根据题意有常数，且，将递推式通过换元法简化为，两边同时减去，可得，此时逐步递推可得.根据题意有，则当，时，可得到数列是一个等差数列，由此可得正确选项.
【详解】
解：由题意，得.
令，则，
为非零常数且，
均为非零常数，
∴常数，且.
故.
两边同时减去，可得
，
∵常数，且，
，且.
，
∵数列是非常数数列，
，
则当，即，即，即时，
.
此时数列很明显是一个等差数列.
∴存在，只要满足为非零，且时，对任意，都有数列为等差数列.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查递推式的基本知识，考查了等差数列的基本性质，换元法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力，是一道难度较大的题目.
二、双空题
11．（浙江省温州市平阳中学2020届高三小学期3月高考模拟数学试题）已知正实数，满足，则的最大值为________，的最小值为________．
【答案】 ．
【分析】
（1）已知两数和求两数积的最值，直接应用基本不等式即可；
（2）利用常数3把分子的多项式都变为二次，构作齐次式对其分离常数再由基本不等式求最值．
【详解】
由题可知，对正实数，有（当且仅当时取等号），所以xy的最大值为；
因为（当且仅当时取等号），所以的最小值为．
故答案为：(1).；(2).．
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
12．（浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题）设等差数列的前项和为，若，，则______，的最大值是______.
【答案】
【分析】
利用等差数列前项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，可求出的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以，数列的通项公式为；
（2），，
令，则且，，
由双勾函数的单调性可知，函数在时单调递减，在时单调递增，
当或时，取得最大值为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题
13．（浙江省杭州市2020届高三下学期教学质量检测数学试题）若，则的最小值为________．
【答案】
【分析】
利用基本不等式，求得所求表达式的最小值.
【详解】
由于，
所以，
当且仅当且时等号成立，
即时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
14．（浙江省台州市2020届温岭中学高三下学期3月模拟测试数学试题）已知是等差数列的前项和，若，，则的最大值是______
【答案】
【分析】
计算得到，代入计算得到答案.
【详解】
，，
故.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了数列项的最值，确定是解题的关键.
15．（浙江省绍兴市2020届高三下学期4月第一次高考模拟考试数学试题）已知实数a，b，c满足，则的最小值是______.
【答案】
【分析】
先分离出，应用基本不等式转化为关于c的二次函数，进而求出最小值.
【详解】
解：若取最小值，则异号，，
根据题意得：，
又由，即有，
则，
即的最小值为，
故答案为：
【点睛】
本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值，属于中档题.
16．（2020·浙江·宁波华茂外国语学校一模）设，，则的最大值为______.
【答案】
【分析】
利用柯西不等式及和差角公式，即可得答案；
【详解】
，
由，
，
以上两式中，等号成立分别当且仅当
，，此时，
所以所求式子的最大值为，
故答案为：.
【点睛】
本题考查柯西不等式及和差角公式的运用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，综合性较强.
17．（浙江省嘉兴市、海宁市、桐乡市2020届高三下学期3月开学模拟考试数学试题）等比数列的相邻两项，是方程的两个实根，记是数列的前项和，则________．
【答案】．
【分析】
利用韦达定理，得到关于，与的两个恒等式，由其中一个求得等比数列的公比与首项，带入另一个可表示数列的通项公式，进而由等比数列求和公式求得答案．
【详解】
因为，是方程的两个实根，
则由韦达定理得，，，
因为数列是等比数列，则数列的公比，又，所以首项，故
所以，
故数列是以为首项，4为公比的等比数列，
所以．
故答案为：
【点睛】
本题考查等比数列定义，通项公式与求和公式等知识，属于较难题．
18．（浙江省嘉兴市、桐乡市高级中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试题）已知，，且，则最小值为__________．
【答案】
【分析】
首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】
，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

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