资源简介

4.2.2等差数列前n项和
◆前n项和公式的基础运算
1．（2021·河南·高三月考（理））设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．20 B．35 C．45 D．63
2．（2021·重庆巴蜀中学高二期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则数列的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（湖南·长沙一中一模（理））设为等差数列的前项和，若，，则________.
4．（2022·上海·高三专题练习）等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，则_______.
◆等差数列的应用
1．（2021·全国·高三专题练习（理））设是数列的前项和，若，则（ ）．
A．4043 B．4042 C．4041 D．2021
2．（2021·江苏·高二专题练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河南新乡·高二期中（理））已知数列的前项和为，且.
（1）证明：是等差数列.
（2）求数列的前项和.
◆等差数列前n项和最值问题
1．（2021·全国·高二课时练习）已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2021·山东·胶州市教育体育局教学研究室高二期中）已知等差数列的前项和为，，公差，．若取得最大值，则的值为（ ）
A．6或7 B．7或8 C．8或9 D．9或10
3．（2021·全国·高二课时练习）设等差数列的前n项和为，且，则当n＝__________时，最大．
◆等差数列前n项和综合应用
1．（2020·河南开封·高二期中（文））已知等差数列的通项公式为，则（ ）
A．24 B．25 C．26 D．27
2．（2021·全国·高二课时练习）已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Sn′，如果 (n∈N*)，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏苏州·高二期中）《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫 不更 簪褭 上造 公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫 不更 簪褭 上造 公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
4．（多选）（2021·全国·高二课时练习）记为等差数列的前项和，则（ ）
A．，，成等差数列 B．，，成等差数列
C． D．
巩固提升
一、单选题
1．等差数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设等差数列的前项和为，若，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若数列满足，，则数列的前项和最小时，的值为（ ）
A．6 B．6或7 C．7或8 D．9
4．设为等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．75 B．141 C．7 D．99
5．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是（ ）
A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤
6．设数列的前n项和为，，，（），若，则n的值为（ ）．
A．2012 B．2014 C．1007 D．1006
二、多选题
7．设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列{an}的n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．S16为Sn的最小值
C． D．使得成立的n的最大值为33
9．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（ ）
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D．－5050
10．已知数列{an}满足a1＝1，nan+1﹣（n+1）an＝1，n∈N*，其前n项和为Sn，则下列选项中正确的是（　　）
A．数列{an}是公差为2的等差数列
B．满足Sn＜100的n的最大值是9
C．Sn除以4的余数只能为0或1
D．2Sn＝nan
三、填空题
11．已知数列是等差数列，为其前项和，，，则数列的公差________．
12．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________.
13．设等差数列的前项和为，若，则正整数________．
14．把正整数排成如图（a）的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数，第奇数行中的所有偶数，可得如图（b）三角形数阵，现将图（b）中的正整数安小到大的顺序构成一个数列，若，则_____.
四、解答题
15．等差数列的前n项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）若，求n的最小值．
16．在公差不为0的等差数列中，前n项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和为．
17．已知数列的前项和为，，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）从下面两个条件中选一个，求数列的前项的和.
①；②.
参考答案
◆前n项和公式的基础运算
1．D
依题意，数列是等差数列，所以，所以，
所以，
故选：D．
2．D
所以
又
所以
所以.
所以公差
故选: D
3．-6.
根据等差数列的定义和性质可得，，又，所以，又，所以，.
4．29
因为等差数列共项，其中奇数项和为319，偶数项和为290，
记奇数项之和为，偶数项之和为，
则
.
故答案为：.
◆等差数列的应用
1．A
法一：；
法二：，当时，，
当时，.
当时，也适合上式，，则.
故选：A.
2．D
当时，
当时，①
②
由①②得，即
（经验证时也成立）
故
故选：D
3．
（1）证明见解析
（2）
（1）
当时，因为，所以，
所以，则.
又，所以，
故是以为首项，为公差的等差数列.
（2）
由（1）可知，，
所以，
所以
.
◆等差数列前n项和最值问题
1．B
设数列{an}的公差为d，
∵a1＝－26，a8＋a13＝5，
∴－26＋7d－26＋12d＝5，解得d＝3，
∴，
∵为正整数，
∴{an}的前n项和Sn取最小值时，n＝9．
故选：B．
2．B
在等差数列中，所以，所以，即，
又等差数列中，公差，所以等差数列是单调递减数列，
所以，所以等差数列的前项和为取得最大值，则的值为7或8.
故选:B.
3．1008
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴当n＝1008时，最大．
故答案为：1008
◆等差数列前n项和综合应用
1．B
因为，所以当时，，当时，；
因此
.
故选：B.
2．C
由等差数列前n项和的性质，且，
可得＝＝＝.
故选：C.
3．B
设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，
则由题可得，解得，
所以不更出的钱数为.
故选：B.
4．ABD
A：由，，，故，，成等差数列，正确；
B：由，，，易知，，成等差数列，正确；
C：，错误；
D：，正确.
故选：ABD
巩固提升
1．D
.
故选：D.
2．A
因为，所以，所以，
因为，，所以，即，
即，解得
故选：A
3．B
因为，，
所以数列是以－18为首项，3为公差的等差数列，
所以．
，
所以当或7时，数列的前项和最小．
故选：B
4．B
因为，所以，所以公差，
所以，解得.
故选：B
5．A
记8个儿子按年龄从大到小依次分棉斤，斤，斤，...，斤，
因为按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，
所以数列为等差数列，且公差为，所以.
因为绵的总数为996斤，所以，解得.
所以第7个儿子分到的绵是斤.
故选：A.
6．C
，
，
整理可得，，
两边同时除以可得，又
数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
，
由题意可得，，
解得．
故选：C．
7．BC
解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以，
，
故选：BC
8．AC
，
当时，，
当时，，也符合上式，所以，A正确.
由于开口向下，对称轴为，所以是的最大值，B错误.
由解得，
所以，C正确.
，所以使成立的的最大值为，D错误.
故选：AC
9．BCD
Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
整理得－＝－1(常数)，
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；
所以＝－1－(n－1)＝－n，故Sn＝－.
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，
故an＝故B正确，A错误；
所以，
故D正确．
故选：BCD
10．ABC
由题意，nan+1﹣（n+1）an＝1，故
令，则
则
即
故，数列{an}是公差为2的等差数列，A正确；
，满足Sn＜100的n的最大值是9，B正确；
当时，除以4余1；当时，除以4余0；当时，除以4余1；当时，除以4余0，C正确；
，D错误.
故选：ABC
11．3
解：因为，
所以，
所以.
故答案为：3.
12．
等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.
答案　－1
13．9
因为为等差数列，其前项和为
所以由等差数列的性质知：为等差数列，所以三点共线，从而有.解得.
故答案为：9.
14．.
试题分析：由图中知第行有个正整数，所以其前行共有个正整数，因为且，所以在图中三角形数阵的第行第列，擦去第偶数行中的所有奇数、第奇数行中的所有偶数，可得到在图中三角形数阵的第行第列，所以，故应填入.
考点：1.简单的逻辑推理；2.数列的概念；3.等差数列前项和.
15．
（1）
（2）12
（1）
解：设的公差为d，
因为，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为．
（2）
解：由，可得，
根据二次函数的性质且，可得单调递增，
因为，所以当时，，
故n的最小值为12．
16．
（1）
（2）
（1）
解：设等差数列的公差为，
因为，所以，解得
所以，所以，
所以，即，
所以，即，
所以，解得
所以数列的通项公式为.
（2）
解：由（1）知，
所以，
所以
17．
（1）证明见解析
（2）答案见解析
【分析】
（1）依题意可得，再根据即可得到，从而得到，两式作差即可得解；
（2）首先求出的通项公式，若选①，在数列的前项中，奇数项有项，构成首项，公差为的等差数列，偶数项有项，构成首项为，公差为的等差数列，再利用等差数列求和公式计算可得；若选②，因为为偶数时，所以数列的前项中，奇数项有项，偶数项均为零，再利用并项求和法计算可得；
（1）
解：因为，
所以，①；，②；
② ①得，③
所以，④
④③得，所以数列是等差数列.
（2）
解：由，当时解得，又，
所以等差数列的公差，所以.
若选①
在数列的前项中，奇数项有项，构成首项，公差为的等差数列，
偶数项有项，构成首项为，公差为的等差数列，
所以.
若选②
因为为偶数时，
所以数列的前项中，奇数项有项，偶数项均为零，
所以.

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