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离散型随机变量
1.随机变量
(1)定义：在一个对应关系下，随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(1)在随机变量定义中，试验结果与实数之间构成的对应关系是映射吗？
提示：是．因为每一个试验结果对应一个实数，由映射的定义可知，试验结果与实数之间构成的对应关系是映射．
(2)函数是一种映射，随机变量也是一种映射，随机变量可以看成是函数关系吗？
提示：不一定．随机变量虽然是一种映射，但在这种对应关系中，随机变量构成的集合不一定是数集，所以它不一定能看成一个函数关系．
2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
(1)离散型随机变量中，与试验结果相对应的实数有何特点？
提示：依据离散型随机变量的定义可知：与试验结果相对应的实数是间断的、离散的并且是有限个．
(2)设ξ是一个随机变量，X＝3ξ＋4也是随机变量吗？它们的个数是否相同？
提示：ξ是一个随机变量，X＝3ξ＋4也是一个随机变量，又因为X＝3ξ＋4可看成是关于ξ的一次函数，ξ为一个随机变量，所以X也是一个随机变量，所以X的个数与ξ的个数相同．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机变量就是函数．(　×　)
提示：随机变量不一定为函数，函数是非空数集A，B间的一种对应，而随机变量间的对应是基本事件与实数间的对应．
(2)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(　×　)
提示：由离散型随机变量的定义可知它的取值能够一一列出，因此离散型随机变量的取值是任意的实数的说法错误．
(3)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，抛掷一次，“出现正面的次数”为随机变量．(　√　)
提示：因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1.
2．下列变量中，是离散型随机变量的是(　　)
A．到2019年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
【解析】选D.根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A，B，C的数值均有不确定性，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．
3．(教材例题改编)袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时停止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为________．
【解析】由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1，2，3，4，5，6，7.
答案：1，2，3，4，5，6，7
类型一　随机变量的概念(数学抽象、数据分析)
1．先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是(　　)
A．出现7点的次数
B．出现偶数点的次数
C．出现2点的次数
D．出现的点数大于2小于6的次数
【解析】选A.因为抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件，
所以出现7点的次数不能作为随机变量．
2．下列变量中，哪些是随机变量？哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．
(2)本学期你上交数学作业的次数．
(3)明年9月1日到12月31日期间，我校迟到同学的人数．
(4)明年某天北京—上海的某次列车到达上海站的时间．
【解析】 (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)本学期你上交数学作业的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年9月1日到12月31日期间，我校迟到同学的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)北京—上海的某次列车到达上海站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，故是随机变量．
随机变量的辨析方法
(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
【补偿训练】
　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中明天的旅客数量；
(2)某地2020年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2020年6月1日济南到北京的某次动车到站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
【解析】(1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
类型二　离散型随机变量的判定(数据分析)
1．给出下列四种变量：
①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X.
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X.
③测量一批电阻，在950 Ω和1 200 Ω之间的阻值记为X.
④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.
其中离散型随机变量的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选B.①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X，X是离散型随机变量；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X，X是离散型随机变量；
③测量一批电阻，阻值在950 Ω和1 200 Ω之间，是连续型随机变量；
④一个在数轴上运动的质点，它在数轴上的位置记为X，X不是随机变量．
故离散型随机变量的个数是2个．
2．有下列问题：
①某单位一天来往的人数X；
②从已编号的5张卡片中(从1号到5号)任取一张，被取出的卡片号数X；
③一天内的温度为X；
④某人一生内各个时期的身高为X；
⑤全民运动会上，一选手进行射箭比赛，击中目标得10分，未击中目标得零分，用X表示该选手在比赛中的得分；
⑥某林场树木最高达50米，此林场树木的高度X.
上述问题中的X是离散型随机变量的是________．(填序号)
【解析】①②⑤都可以一一列出，故都是离散型随机变量，而③④都是连续型随机变量，不能一一列出，⑥也不能一一列出，树木高度有无限多个，也不是离散型随机变量．
答案：①②⑤
　“三步法”判定离散型随机变量
(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．
(2)由条件求解随机变量的值域．
(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
【补偿训练】
　指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某教学资源网站一天内的点击量；
(2)你明天上学进入校门的时间；
(3)某市明年下雨的次数；
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差．
【解析】(1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．
(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．
类型三　用随机变量表示随机试验的结果(数据分析)
　写出随机变量的所有值
【典例】从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．
【思路导引】依据题设条件直接写出所有取值结果．
【解析】X的可能取值为3，4，5，…，19共17个．
答案：17
　写出随机变量表示的结果
【典例】抛掷两枚骰子，将两枚骰子的点数记为(x，y)，且设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验的结果是________．
【思路导引】可利用x＋y＝4，且x，y都是正整数来求解．
【解析】抛掷一枚骰子，可能出现的点数是1，2，3，4，5，6，而X表示抛掷两枚骰子所得到的点数之和，X＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2，所以X＝4表示的随机试验的结果是一枚是1点，另一枚是3点或者两枚都是2点，即(1，3)，(3，1)，(2，2).
答案：(1，3)，(3，1)，(2，2)
　用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
　写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)某大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
【解析】(1)X可能取值为0，1，2，3，4，5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0，1，2，3，4，5.
(2)ξ可能取值为0，1，
当ξ＝0时表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时表明该射手在本次射击中击中目标．
1．下列变量中，不是随机变量的是(　　)
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两颗骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
【解析】选B.因为标准状态下，水沸腾时的温度是一个常量，所以不是随机变量．
2．(教材例题改编)设实数x∈R，记随机变量ξ＝
则不等式≥1的解集所对应的ξ的值为(　　)
A．1 B．0 C．－1 D．1或0
【解析】选A.解≥1得其解集为{x|03．(2021·庆阳高二检测)引入随机变量后，下列说法正确的有：________(填写出所有正确的序号).
①随机事件个数与随机变量一一对应；
②随机变量与自然数一一对应；
③随机变量的取值是实数．
【解析】引入随机变量，使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，随机变量的取值是实数，故③正确．
答案：③
4．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是__________．
【解析】因为答对的个数可以为0，1，2，3，
所对应的得分为－300，－100，100，300，
所以ξ可取－300，－100，100，300.
答案：－300，－100，100，300
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7离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量的分布列
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
用等式可表示为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n，也可以用图象来表示X的分布列．
(2)根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
①pi≥0，i＝1，2，…，n；②pi＝1．
　离散型随机变量的分布列可以用哪些方法表示？
提示：离散型随机变量的分布列可以用表格、解析式、图象表示．
2．两个特殊分布
(1)两点分布
随机变量X的分布列是：
X 0 1
P 1－p p
则称离散型随机变量X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为
成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，
称分布列
X 0 1 … m
P eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) … eq \f(CC,C)
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称离散型随机变量X服从超几何分布．
(1)超几何分布的模型是放回抽样还是不放回抽样？
提示：超几何分布的模型是不放回抽样．
(2)超几何分布的总体里只有两类物品对吗？
提示：由超几何分布的模型可知：超几何分布的总体里只有两类物品．
(3)超几何分布的模型可解决哪些问题？
提示：超几何分布的模型可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(　×　)
提示：在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应随机事件的概率均在[0，1]范围内．
(2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(　×　)
提示：在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和．
(3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．(　√　)
提示：根据两点分布的概念知，该说法正确．
(4)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．超几何分布的总体里只有两类物品．(　√　)
提示： X的可能取值为0，1，2，3，可求得P(X＝k)＝ eq \f(CC,C) (k＝0，1，2，3)，是超几何分布．
2．(2021·成都高二检测)下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是(　　)
X 3 4 5 9
P ＋a
A. B． C． D．
【解析】选C.＋＋a＋＋＝1，解得a＝.
3．(教材习题改编)某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________．
【解析】P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝.
答案：
类型一　分布列的性质及应用(数学抽象、数据分析)
1．设随机变量ξ的概率为分布列如下表，则P(|ξ－3|＝1)＝(　　)
ξ 1 2 3 4
P a
A. B． C． D．
【解析】选A.因为＋a＋＋＝1，所以a＝，
由|ξ－3|＝1，解得ξ＝2或ξ＝4，
P(|ξ－3|＝1)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝4)＝＋＝.
2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X －1 0 1
P 1－2q q2
(1)求q的值；(2)求P(X<0)，P(X≤0)的值．
【解析】 (1)由分布列的性质得解得q＝1－.
(2)P(X<0)＝P(X＝－1)＝；P(X≤0)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝＋1－2＝－.
利用离散型分布列的性质解题时要注意两个问题
(1)X＝Xi的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意pi＝1而且要注意pi≥0，i＝1，2，…，n.
【补偿训练】
　1.由于电脑故障，随机变量X的分布列中部分数据丢失，以横线代替，其表如下
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 0.__5 0.10 0.1__ 0.20
根据该表可知P(X＝3)＝______；P(X＝5)＝________．
【解析】由概率和为1知，最后一位数字和必为零，所以P(X＝5)＝0.15，从而P(X＝3)＝0.25.
答案：0.25　0.15
2．设随机变量X的概率分布列为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a为常数，则P＝________．
【解析】由题意P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)
＝＋＋＋＝1，所以a＝.
所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＝×＝.
答案：
类型二　离散型随机变量的分布列(数据分析、数学运算)
【典例】一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码．
(1)求X的分布列；
(2)求X的取值不小于4的概率．
四步 内容
理解题意 条件：从编号为1，2，3，4，5，6的黑球中随机取出3个．结论：求最大号码的分布列以及不小于4的概率．
思路探求 (2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6).
书写表达 (1)随机变量X的可能取值为3，4，5，6，P(X＝3)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝4)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝5)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝6)＝ eq \f(C,C) ＝，所以随机变量X的分布列为X3456P(2)X的取值不小于4的概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝.注意书写的规范性：①随机变量X的可能取值为3，4，5，6；②X的取值不小于4，即大于或等于4.
题后反思 (1)确定离散型随机变量X的分布列的关键是要搞清X取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．
　求离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找出随机变量X的所有可能的取值xi(i＝1，2，…).
(2)求出随机变量X的每个取值的概率P(X＝xi)＝pi.
(3)列出表格．
　数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置，则称有一个巧合，求巧合数X的分布列．
【解析】X的取值有0，1，2，4.
当X＝0时，没有巧合，这时有3×3＝9种，
P(X＝0)＝ eq \f(9,A) ＝；
当X＝1时，只有一个巧合，
P(X＝1)＝ eq \f(C×2,A) ＝；
当X＝2时，只有两个巧合，
P(X＝2)＝ eq \f(C×1,A) ＝；
当X＝4时，四个数位置都巧合，
P(X＝4)＝ eq \f(1,A) ＝.
所以巧合数X的分布列为
X 0 1 2 4
P
类型三　两点分布和超几何分布(数学运算)
　超几何分布
【典例】老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布．
(2)他能及格的概率．
【思路导引】因为在10篇课文中，某同学能背诵6篇，另外4篇不能背诵，抽到他能背诵课文的数量的概率属于超几何分布．
【解析】(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
则P(X＝r)＝ eq \f(CC,C) (r＝0，1，2，3).
所以P(X＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝1)＝ eq \f(CC,C) ＝，
P(X＝2)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(X＝3)＝ eq \f(CC,C) ＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)能及格的概率为：P(X≥2)＝＋＝.
　两点分布
【典例】一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记X＝求X的分布列．
【思路导引】X只有两个可能取值，为0，1，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率，最后列表即可．
【解析】因为X服从两点分布，
所以P(X＝0)＝ eq \f(C,C) ＝，P(X＝1)＝1－＝.
所以X的分布列为
X 1 0
P
1．两点分布的两个特点：
(1)两点分布只有两个结果，且是对应的．
(2)P(X＝0)＝1－P(X＝1).
2．解决超几何分布的两个关键点：一是准确判断是否符合超几何分布的定义，二是准确利用公式．
1．(多选)(2021·陇南高二检测)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　)
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
【解析】选BCD.对于A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布．
2．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
【解题指南】(1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X＝0或1.(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1，2)服从超几何分布．
【解析】(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，设0和1分别代表不中奖和中奖，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝ eq \f(C,C) ＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X 0 1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝ eq \f(CC＋CC,C) ＝＝.
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，且
P(Y＝0)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，P(Y＝10)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
P(Y＝20)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
P(Y＝50)＝ eq \f(CC,C) ＝＝，
P(Y＝60)＝ eq \f(CC,C) ＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y 0 10 20 50 60
P
1．设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.2，则成功概率P(X＝1)＝(　　)
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
【解析】选C.随机变量X服从两点分布，P(X＝1)－P(X＝0)＝0.2，
根据两点分布概率性质可知：，
解得P(X＝1)＝0.6.
2．(2021·天水高二检测)已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，则a＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.因为X的分布列服从两点分布，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，
因为P(X＝0)＝3－4P(X＝1)＝a，所以P(X＝0)＝3－4[1－P(X＝0)]，
所以P(X＝0)＝，所以a＝.
3．若随机变量X的分布列为：
X －2 －1 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当P(XA．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)
【解析】选C.由随机变量X的分布列知：
P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X4．(教材例题改编)在射击试验中，令X＝如果射中的概率是0.9，则随机变量X的分布列为________．
【解析】由题意知X服从两点分布，故随机变量X的分布列为
X 0 1
P 0.1 0.9
答案：
X 0 1
P 0.1 0.9
5.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，则c＝________．
【解析】由分布列的性质得c＝1，所以c＝.
答案：
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10条件概率
导思 1.条件概率是如何定义的？2.条件概率有哪些性质？如何求条件概率？
1.条件概率
条件 设A，B为两个事件，且P(A)>0
含义 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
记作 P(B|A)
读作 A发生的条件下B发生的概率
计算公式 ①事件个数法：P(B|A)＝②定义法：P(B|A)＝
　(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)是多少？
提示：A与B互斥，即A，B不同时发生．
所以P(AB)＝0，故P(B|A)＝0.
(2)若P(A)≠0，则P(A·B)＝P(B|A)·P(A)，这种说法正确吗？
提示：正确．由P(B|A)＝得P(A·B)＝P(B|A)·P(A).
(3)如何从集合角度理解条件概率？
提示：如图，
事件的样本点已落在图形A中(事件A已发生)，问落在B(事件B)中的概率．由于样本点已落在A中，且又要求落在B中，于是落在AB中的概率计算公式为
P(B|A)＝(P(A)>0)，类似地，P(A|B)＝(P(B)＞0).
2．条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1.
(2)如果B和C是两个互斥的事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A).
(1)在条件概率的定义中，P(A)要求什么条件？
提示：在条件概率的定义中，0(2)在性质2中，事件B，C之间是何种关系？
提示：在性质2中，事件B，C是互斥事件．
(3)P(AB)与P(B|A)的大小关系如何？
提示：由P(B|A)＝可知，P(AB)≤P(B|A).
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)P(B|A)提示：因为P(B|A)＝≥P(AB)，所以P(B|A)(2)已知事件B发生条件下事件A发生的概率记作P(B|A).(　 ×　)
提示： P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．故此种说法错误．
(3)P(A|A)＝0.(　 ×　)
提示：由条件概率的公式可知：P(A|A)＝＝＝1，所以P(A|A)＝0是错误的．
(4)P(B|A)＝P(A|B).(　 ×　)
提示：因为P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率．但两者不一定相等，所以P(B|A)＝P(A|B)是错误的．
2．下面几种概率是条件概率的是(　　)
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，若每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
【解析】选B.由条件概率的定义知B为条件概率．
3．(教材例题改编)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
【解析】根据条件概率公式知P＝＝0.5.
答案：0.5
类型一　求条件概率(数学抽象，数学运算)
　利用定义求条件概率
【典例】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率．
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率．
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
【思路导引】(1)该问题属于古典概型．(2)该问题也可以看作是古典概型．(3)该问题属于条件概率，利用条件概率的定义以及公式直接求解．
【解析】设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Ω)＝A＝30.根据分步乘法计数原理，有n(A)＝AA＝20，
所以P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝.
(3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(B|A)＝＝＝.
　利用基本事件的范围求概率
【典例】盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
【思路导引】通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是玻璃球的概率．
【解析】由题意得球的分布如下：
玻璃 木质 总计
红 2 3 5
蓝 4 7 11
总计 6 10 16
设A＝{取得蓝球}，B＝{取得蓝色玻璃球}，则P(A)＝，
P(AB)＝＝.所以P(B|A)＝＝＝.
1．利用条件概率的定义求条件概率的步骤
(1)根据题意求P(A).
(2)根据题意求P(AB).
(3)根据条件概率的定义求P(B|A)＝.
2．利用基本事件数求条件概率
(1)列出基本事件的空间．
(2)在基本事件空间内求出事件A发生的事件数n(A).
(3)在基本事件空间内求出事件A，事件B同时发生的事件数n(AB).
(4)根据条件概率的定义求P(B|A)＝.
【补偿训练】
　1.7名同学站成一排，已知甲站在中间，则乙站在末尾的概率是(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.记“甲站在中间”为事件A，“乙站在末尾”为事件B，则n(A)＝A，n(AB)＝A，所以P(B|A)＝ eq \f(A,A) ＝.
2．一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；
(2)求P(B|A).
【解析】(1)P(A)＝，P(B)＝＝＝，
P(AB)＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
类型二　条件概率性质的应用(数学运算、逻辑推理)
【典例】有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为________．
【思路导引】另一瓶是红色与是黑色是两个互斥事件，且都是在取得的两瓶中有一瓶是蓝色的情况下求解，因此它可依据条件概率的性质求解．
【解析】设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且B与C互斥．
又P(A)＝ eq \f(CC＋C,C) ＝，P(AB)＝ eq \f(CC,C) ＝，P(AC)＝ eq \f(CC,C) ＝，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
＝＋＝.
答案：
较复杂事件概率的求法
　(1)把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率，
(2)再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立．
1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
【解析】记事件A为最后从2号箱中取出的是红球；
事件B为从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝.
(1)P(A|B)＝＝.
(2)因为P(A|)＝＝，所以P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
2．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
【解析】设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C.
方法一：(定义法)由题意知P(A)＝，P(AB)＝＝，
P(AC)＝＝.所以P(B|A)＝＝÷＝，
P(C|A)＝＝÷＝.
所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
所以所求的条件概率为.
方法二：(直接法)因为n(A)＝1×C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5，所以P(B∪C|A)＝.所以所求的条件概率为.
类型三　条件概率的实际应用(数学建模、数学运算)
【典例】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
四步 内容
理解题意 条件：密码共有6位数字，忘了最后一位数字．结论：任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；以及如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
思路探求 (1)设第i次按对密码为事件Ai(i＝1，2)，则A＝A1∪(1A2)表示不超过2次按对密码．事件A1与事件1A2互斥，则P(A)＝P(A1)＋P(1A2).(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B).
书写表达 设第i次按对密码为事件Ai(i＝1，2)，则A＝A1∪(1A2)表示不超过2次按对密码．(1)因为事件A1与事件1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝.(2)B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)＝＋＝.注意书写的规范性：①设第i次按对密码为事件Ai(i＝1，2)，则A＝A1∪(1A2)表示不超过2次按对密码．②P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B).
题后反思 已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝＝＝.
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
箱子里有20张奖券，其中只有5张能中奖，从中任意摸出2张，打开其中1张发现中奖，求这2张都中奖的概率．
【解析】若A表示摸出1张中奖，B表示摸出的2张都中奖，所求概率为P(B|A).
P(A)＝ eq \f(C,C) ＝，
P(AB)＝P(B)＝ eq \f(C,C) ＝
所以P(B|A)＝＝.
1．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.在下雨条件下吹东风的概率为＝.
2．若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　)
A. B． C． D．
【解析】选B.由公式得P(B|A)＝＝＝.
3．(教材练习改编)4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　)
A. B． C． D．1
【解析】选B.因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
4．(2021·焦作高二检测)掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，则“掷出点数之和大于等于10”的概率为________．
【解析】设“第一颗骰子掷出6点”为事件A，“掷出点数之和大于等于10”为事件B.P(B|A)＝＝＝.
答案：
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9事件的相互独立性
导思 1.两个事件相互独立是如何定义的？2．相互独立的两个事件具有哪些性质？
　事件的独立性
(1)定义：
条件 A，B为两个事件，如果 P (AB)＝__P(A)P(B)
结论 称事件A与事件B相互独立
(2)性质：
条件 A与B是相互独立事件
结论 A与，B与，与也相互独立
(1)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)与P(B)有何关系？
提示：相等，如果事件A与事件B相互独立，事件A是否发生对事件B的发生没有影响，则P(B|A)＝P(B).
(2)事件互斥与事件相互独立有何区别？
提示：两事件互斥是指两个事件不能同时发生，而相互独立性是指相互之间没有影响的两事件．两事件互斥是在同一次试验的两个不同结果，而相互独立性是重复试验的两次的结果，或两种不同的试验的结果．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
提示：设不可能事件为A，则P(A)＝0，设任意事件为B，则AB为不可能事件，P(AB)＝0，P(A)P(B)＝0，所以P(AB)＝P(A)P(B)，即事件A，B相互独立．
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．(　√　)
提示：设必然事件为A，则P(A)＝1，设任意事件为B，则AB＝B，P(AB)＝P(B)，又P(A)P(B)＝P(B)，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，即事件A，B相互独立．
(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　 √　)
提示：因为事件A与事件B相互独立，即事件A，B不可能同时发生，则P(B|A)＝P(B).
(4)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　√　)
提示：由事件独立性的条件知正确．
2．已知A，B独立，且P(A)＝0.8，则P(A|B)＝(　　)
A．0.2 B．0.8 C．0.16 D．0.25
【解析】选B.因为A，B独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以P(A|B)＝＝＝P(A)＝0.8.
3．(教材练习改编)在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
【解析】由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝××＝.
答案：
类型一　事件独立性的判断(数学抽象、逻辑推理)
1．下列事件A，B是独立事件的是(　　)
A．事件A，B的概率满足P(B)>0且P(A|B)＝P(A)
B．袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
【解析】选A.对于A选项，A，B两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件．对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件．对于C选项，由于投的是一个骰子，A，B是对立事件，所以不是相互独立事件．对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故A，B不是相互独立事件．
2．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　)
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
【解析】选A.对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
3．判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．
(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
【解析】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．
　两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
(3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断.
类型二　相互独立事件同时发生的概率(数学运算、逻辑推理)
【典例】甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与.
(1)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
(2)甲、乙两人在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率．
四步 内容
理解题意 条件：两人在罚球线投球命中的概率分别为与.结论：各投球一次和两次，求不同的概率．
思路探求 (1)记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P＝P(A)＋P(B)(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P1，则P1＝P(∩∩∩)
书写表达 (1)记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，P()＝，P()＝.所以恰好命中一次的概率为P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝.(2)设事件“甲、乙两人在罚球线各投球两次均不命中”的概率为P1，则P1＝P(∩∩∩)＝P()P()P()P()＝×＝.所以甲、乙两人在罚球线各投球两次，至少一次命中的概率为P＝1－P1＝.注意书写的规范性：①在解题前要把所要表达的事件说明清楚．②P1＝P(∩∩∩)＝P()P()P()P()
题后反思 使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
　求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)先确定各个事件是相互独立的．
(2)再确定各个事件会同时发生．
(3)先求每个事件发生的概率，再利用公式求它们同时发生的概率．
1．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
答案：　
2．小王某天乘飞机从济南到石家庄去办事，若当天从济南到石家庄的三班飞机正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三班飞机之间是否正点到达互不影响．
(1)求这三班飞机恰好有两班正点到达的概率．
(2)求这三班飞机至少有一班正点到达的概率．
(3)求恰有一班飞机正点到达的概率．
(4)若一班飞机正点到达计10分，用ξ表示三班飞机的总得分，求P(ξ≤20).
【思路导引】(1)三班飞机恰好有两班正点到达，说明有一个晚点，其余两班正点，且每个事件都是相互独立的．
(2)三班飞机至少有一班正点到达的对立事件是三班飞机都晚点．
(3)分析恰有一班飞机正点到达的事件．
(4)事件ξ≤20的对立事件为“三班飞机都正点到达”．
【解析】用A，B，C分别表示这三班飞机正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两班飞机正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三班飞机至少有一班正点到达的概率为
P2＝1－P( )＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
(3)恰有一班飞机正点到达的概率为
P3＝P(A )＋P(B)＋P( C)＝P(A)P()·P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
(4)事件“ξ≤20”表示“至多两班飞机正点到达”，其对立事件为“三班飞机都正点到达”，
所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
【拓展延伸】
　 公式P(AB)＝P(A)P(B)的推广：
公式P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
【拓展训练】
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
【解析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3).
(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率：P0＝P(　　)＝P()·P()·
P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．
类型三　相互独立事件和互斥事件的概率(数学抽象、数学运算)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例】计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
(3)用X表示甲、乙、丙三人在计算机考试后获得合格证书的人数，求X的分布列．
【思路导引】依据题设条件先判断基本事件的构成，再确定各事件间的关系，最后选择合适的公式计算．
【解析】(1)设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝.
因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大．
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，
则P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
(3)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝××＝，P(X＝2)＝P(D)＝，
P(X＝3)＝××＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－－－＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
1．求相互独立事件和互斥事件概率的步骤
(1)列出题设中所涉及的各个事件，并且用适当的符号表示．
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立或者是相互独立).
(3)依据事件之间的关系准确选择概率公式进行计算．
(4)当直接计算符合条件事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件事件的概率．
2．概率问题中的数学思想
(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件).
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
已知甲袋中装有3个白球和2个红球，乙袋中装有1个白球和4个红球，现从甲、乙两袋中各摸1个球，试求：
(1)两球都是红球的概率．
(2)恰有1个是红球的概率．
(3)至少有1个是红球的概率．
【解析】记事件A表示“从甲袋中摸出1个红球”，事件B表示“从乙袋中摸出1个红球”，事件C表示“从甲、乙两袋中各摸1个球，恰好摸出1个红球”，事件D表示“从甲、乙两袋中各摸1个球，至少摸出1个红球”．
(1)由题意，A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，
所以两球都是红球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝＝0.32.
(2)由已知C＝A∪B，且A与B为互斥事件，而P()＝，P()＝，
则P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝0.56.
(3)由已知D＝C∪AB，且C与AB为互斥事件，
则P(D)＝P(C∪AB)＝P(C)＋P(AB)＝0.56＋0.32＝0.88.
1．设A与B是相互独立事件，则下列命题正确的是(　　)
A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥事件
C．与不相互独立 D．A与是相互独立事件
【解析】选D.若A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件．
2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是(　　)
A． B． C． D．
【解析】选A.因为P(A)＝，P(B)＝，
所以P()＝，P()＝.
又A，B为相互独立事件，
所以P(　)＝P()P()＝×＝.
所以A，B中至少有一个发生的概率为1－P( )＝1－＝.
3．(2021·兰州高二检测)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为________．
【解析】由题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，
其中比赛进行了3局的概率为××＋××＝，
所以所求概率为÷＝.
答案：
4．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P(　)＝________．
【解析】因为P(A)＝，P(B)＝，所以P()＝，P()＝.所以P(A)＝P(A)P()＝×＝，
P(　)＝P()P()＝×＝.
答案：　
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10独立重复试验与二项分布
导思 1.怎样描述n次独立重复试验？2.二项分布是怎样得出的？怎样利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题？
1.独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
　要研究抛掷硬币结果的规律，需做大量的掷硬币试验．其前提是什么？
提示：条件相同．
2．二项分布
前提 在n次独立重复试验中
字母的含义 X 事件A发生的次数
p 每次试验中事件A发生的概率
分布列 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n
结论 随机变量X服从二项分布
记法 记作X～B(n，p)，并称p为成功概率
(1)二项分布与超几何分布分别是怎样得出的？
提示：由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布．
(2)二项分布与超几何分布的明显区别是什么？
提示：在产品抽样检验中，如果采用有放回地抽样，则次品数服从二项分布；如果采用不放回地抽样，则次品数服从超几何分布．
(3)二项分布与超几何分布有何联系？
提示：在实际工作中，抽样一般都采用不放回方式，因此在计算次品数为k的概率时应该用超几何分布，但是超几何分布的数值涉及抽样次数和一个概率值，计算相对复杂，并且二项分布的计算可以查专门的数表，所以，当产品总数很大而抽样数不太大时，不放回抽样可以认为是有放回抽样，计算超几何分布可以用计算二项分布来代替．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)有放回地抽样试验是独立重复试验．(　√　)
提示：因为有放回的试验是在相同的条件下重复进行的试验，所以它是独立重复试验．
(2)在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．(　√　)
提示：由独立重复试验的定义可知：在n次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响．
(3)在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．(　×　)
提示：由独立重复试验的定义可知：在n次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率是相同的．
(4)如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.(　 √　)
提示：由独立重复试验的概率公式可知，该命题正确．
2．下列试验为独立性重复试验的是(　　)
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋装有5个白球，3个红球，2个黑球，从中依次抽取5个球，恰好抽出4个白球．
A．(1) B．(2) C．(3) D．都不是
【解析】选C.(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．
(2)某人射击击中的概率是稳定的，因此是独立性重复试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立性重复试验．
3．(教材例题改编)某篮球运动员在比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________．
【解析】设随机变量X表示“3次罚球命中的次数”，
则X～B(3，0.9)，所以他在3次罚球中罚失1次的概率为
P(X＝2)＝C0.92×(1－0.9)＝0.243.
答案：0.243
类型一　求独立重复试验的概率(直观想象、数学运算)
1．某学校成立了A，B，C三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习．申请其中任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意4位学生中，恰有2人申请A学习小组的概率是(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.设每位学生申请课外学习小组为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A学习小组”为事件A，则P(A)＝，由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式可知，恰有2人申请A学习小组的概率是C＝.
2．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．
【解析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，则P(Ai)＝C.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为
P(A2)＝C＝.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故
P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×＋C＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
　独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆．
(3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
类型二　二项分布(直观想象、数学运算)
【典例】某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率；
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列．
四步 内容
理解题意 条件：已知初审和复审通过的概率．结论：被录用的概率；随机变量X的分布列．
思路探求 解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答，同时注意互斥事件概率公式的应用．
书写表达 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，因为P(A)＝×＝，P(B)＝2××＝，P(C)＝，所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.(2)根据题意，X＝0，1，2，3，4，且X～B，Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0，1，2，3，4)，因为P(A0)＝C×＝，P(A1)＝C××＝，P(A2)＝C××＝，P(A3)＝C××＝，P(A4)＝C××＝.所以X的分布列为：注意书写的规范性：①设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC.②正确求出概率的值是求随机变量X的分布列的关键．
题后反思 本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
二项分布中需要注意的问题和关注点
(1)当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
(2)解决二项分布问题的两个关注点
①对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．
②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
1．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的五名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试，假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的人数大约为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．2人 B．3人 C．4人 D．5人
【解析】选B.5名同学投篮各10次，相当于做了10次独立重复事件，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的期望分别为10·＝6，10·＝5<6，10·>6，10·>6，10·<6，
故晋级下一轮大约有3人．
2．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率．
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
(3)假设某人连续2次未击中目标，则射击停止，问：乙恰好射击5次后中止射击的概率是多少？
【解析】设甲、乙两人各射击一次击中目标分别记为A，B，
则P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲射击4次，全击中目标的概率为
C＝＝.
所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为P＝1－＝.
(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，
概率为C＝6××＝.
乙恰好击中3次，概率为C＝.
所以概率为×＝.
(3)乙射击5次后，中止射击，第3次击中，第4，5次不中，而1，2次至少1次击中目标，所以所求概率为×＋ ×＋×＝.
类型三　二项分布的综合应用(数学建模、数学运算)
　与二项分布有关的应用问题
【典例】某校有关研究性学习小组进行一种验证性试验，已知该种试验每次成功的概率为.
(1)求他们做了5次这种试验至少有2次成功的概率．
(2)如果在若干次试验中，累计有两次成功就停止试验，求该小组做了5次试验就停止试验的概率．
【思路导引】(1)注意已知中5次试验的条件以及成功率，因而判断是否符合二项分布；(2)注意为何做了5次试验才停止．
【解析】(1)设5次试验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少2次成功为事件C，
则P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝1－C－C＝.
所以5次试验至少2次成功的概率为.
(2)该小组做了5次试验后停止，所以前4次有且只有一次成功，且第5次成功．
设该事件为D，则P(D)＝C×＝.
所以做了5次试验就停止的概率为.
　可转化为与二项分布有关的应用问题
【典例】甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中每人答对的概率分别为，，，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列．
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
【思路导引】(1)可用二项分布的概率公式求出，(2)可把AB划分为两个互斥事件．
【解析】(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验，所以ξ～B.
P(ξ＝0)＝C×＝，
P(ξ＝1)＝C××＝，
P(ξ＝2)＝C×＝，
P(ξ＝3)＝C×＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥．P(C)＝C×××(××＋××＋××)＝.
P(D)＝××＝.
所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
　(1)二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
(2)利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
1．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱).
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；
②获奖的概率；
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列．
【解析】(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0，1，2，3)，则P(A3)＝ eq \f(C,C) · eq \f(C,C) ＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝ eq \f(C,C) · eq \f(C,C) ＋ eq \f(CC,C) · eq \f(C,C) ＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
2.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．
【解析】(1)记“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口都没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A发生的概率为：P(A)＝××＝.
(2)记“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0，1，2，3，4).
由题意，得P(B0)＝＝，
P(B1)＝C××＝，
P(B2)＝C××＝.
由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”，所以事件B发生的概率为P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝.
1．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.记“恰有1次获得通过”为事件A，
则P(A)＝C··＝.
2．种植某种树苗，成活率为0.9，若种植这种树苗5棵，则恰好成活4棵的概率约为(　　)
A．0.33　 B．0.66　 C．0.5　 D．0.45
【解析】选A.C×0.94×(1－0.9)≈0.33.
3．(2021·玉林高二检测)将一枚硬币连续抛掷5次，则随机变量正面向上的次数X～________．
【解析】一枚硬币连续抛掷5次相当于做了5次独立重复试验，
因每次试验硬币下面向上的概率为0.5，故X～B(5，0.5).
答案：B(5，0.5)
4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
【解析】P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝×，解得p＝或p＝.
答案：或
5．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.则乙恰好比甲多击中目标2次的概率等于________．
【解析】设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件B1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件，则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C×××C×＋C××C×＝.
答案：
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11离散型随机变量的均值
导思 1.离散型随机变量的均值是怎样定义的？有怎样的意义和性质？2.两点分布和二项分布的均值公式有怎样的形式？
1.离散型随机变量的均值及其性质
(1)离散型随机变量的均值或数学期望：
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
①数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn．
②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)均值的性质：
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，
①Y也是随机变量；②E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(1)离散型随机变量的均值与样本平均值有什么区别与联系？
提示：①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．
②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
(2)离散型随机变量的均值能否离开其分布列而独立存在？
提示：不能，离散型随机变量的计算离不开分布列．
2．两点分布、二项分布的均值
(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p．
(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np．
(1)两点分布可以看作特殊的二项分布吗？两者的均值有何联系？
提示：二项分布试验中，若试验的结果有0和1时，可以看作两点分布，故二项分布的均值中当n＝1时，其均值即为两点分布的均值．
(2)试证明二项分布的均值E(ξ)＝np.
提示：因为P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k＝Cpkqn－k，
所以E(ξ)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋k×Cpkqn－k＋…＋n×Cpnq0.
又因为kC＝k·＝＝nC，所以E(ξ)＝np×(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋
Cpk－1q(n－1)－(k－1)＋…＋Cpn－1q0)＝np(p＋q)n－1＝np.
所以E(ξ)＝np.
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　×　)
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．(　×　)
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　 √　)
(4)随机变量X的均值E(X)＝.(　×　)
提示：(1)随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．
(2)随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．
(3)由均值的性质可知．
(4)因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
2．若X的分布列为下图，则E(X)＝(　　)
X 0 1
P a
A. B． C． D．
【解析】选A.由题意知＋a＝1，所以a＝，E(X)＝0×＋a＝a＝.
3．(教材练习改编)节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元．
ξ 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束).
设利润为η，则η＝5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，所以E(η)＝3.4E(ξ)－450＝3.4×340－450＝706(元).
答案：706
类型一　求离散型随机变量的均值(直观想象、数学运算)
　离散型随机变量均值的性质
【典例】已知随机变量X的分布列为：
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________．
【思路导引】注意随机变量Y与随机变量X之间的关系，再利用离散型随机变量均值的性质求解．
【解析】由随机变量分布列的性质， 得
＋＋＋m＋＝1, 解得m＝，所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×＝.
答案：
1．本例条件不变，若Y＝2X－3, 求E(Y).
【解析】由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，E(X)＝－得，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
2．本例条件不变， 若ξ＝aX＋3, 且E(ξ)＝－， 求a的值．
【解析】因为E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3
＝－a＋3＝－，所以a＝15.
　求离散型随机变量的均值
【典例】1.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　)
A．0.2 B．0.8 C．1 D．0
【思路导引】1.可依据期望的定义直接求解．
【解析】1.选B.因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，
所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
2．袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．
【思路导引】2．可先求随机变量的概率分布列，再求均值．
【解析】2．得分X的所有可能取值为5，6，7，8.X＝5时，表示取出1个红球3个白球，此时P(X＝5)＝ eq \f(CC,C) ＝；
X＝6时，表示取出2个红球2个白球，
此时P(X＝6)＝ eq \f(CC,C) ＝；X＝7时，表示取出3个红球1个白球，此时P(X＝7)＝ eq \f(CC,C) ＝；
X＝8时，表示取出4个红球，此时P(X＝8)＝ eq \f(C,C) ＝.
所以X的分布列为
X 5 6 7 8
P
所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
1．求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k).
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X).
2．若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，(a，b)为常数，求E(ξ)的两种思路：
一是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ).二是利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ).
1．某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B，则E(－ξ)的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
【解析】选D.因为E(ξ)＝5×＝，
所以E(－ξ)＝－E(ξ)＝－.
2．(2020·浙江高考)一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则P(ξ＝0)＝________；E(ξ)＝________．
【解析】由题知，随机取出红球的概率为，随机取出绿球的概率为，随机取出黄球的概率为，
ξ的取值情况共有0，1，2，P(ξ＝0)＝＋×＝，
P(ξ＝1)＝×＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＋××＝，所以E(ξ)＝1×＋2×＝1.
答案：　1
3．某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
【解析】X的取值分别为1，2，3，4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明一年内参加考试次数X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
【补偿训练】
1.已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A.　　　B．　　　C．　　　D．
【解析】选A.因为η＝12ξ＋7，则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12＋7＝34.
所以2m＋3n＝①，又＋m＋n＋＝1，
所以m＋n＝②，由①②可解得m＝.
2．若X是一个随机变量，求E(X－E(X))的值．
【解析】因为E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，所以E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.
类型二　两点分布和二项分布的均值(数学抽象、数学运算)
1．若随机变量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为(　　)
A．2×0.44 B．2×0.45
C．3×0.44 D．3×0.64
　【解析】1.选C.因为ξ～B(n，0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
2．(2021·兰州高二检测)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．
A．100 B．200 C．300 D．400
【解析】2．由题意可知，不发芽的种子数记为Y服从二项分布，即Y～B(1 000，0.1)，所以E(Y)＝1 000×0.1＝100，
所以X的数学期望E(X)＝2×E(Y)＝200.
答案：200
3．某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值．
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值．
【解析】3．(1)投篮1次，命中次数X的分布列如表：
X 0 1
P 0.4 0.6
则E(X)＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，
即Y～B(5，0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
1．常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布：E(X)＝p；(2)二项分布：E(X)＝np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．两点分布与二项分布的辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生，要么不发生．
(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布中随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值为x＝0，1，2，…，n.
②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
【补偿训练】
“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战)，并且不能重复参加该活动，若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
(1)若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
(2)假定(1)中被邀请到的3个人中恰有2个人接受挑战，根据活动规定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列和均值．
【解析】(1)因为每个人接受挑战和不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率是，不接受挑战的概率也是.设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，则P(M)＝C××＋C×＝.
(2)因为X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以X～B.P(X＝0)＝C×＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝C××＝，
P(X＝4)＝C××＝，
P(X＝5)＝C×＝，
P(X＝6)＝C×＝，所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.
类型三　均值的应用(数据分析、数学运算)
【典例】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列．
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值).
(3)经过技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
1．实际生活中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．
1．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：
ξ 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
η 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
据此判定(　　)
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙质量相同 D．无法判定
【解析】选A.E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
因为E(η)＞E(ξ)，故甲比乙质量好．
2．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率．
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
【解析】(1)由已知得小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，则事件A的对立事件为“X＝5”，
因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝.所以这两人的累计得分X≤3的概率为.
(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).
由已知得X1～B，X2～B，
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝.
所以E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.
因为E(2X1)>E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
1．若随机变量X的分布列如下表，则E(X)＝(　　)
X 0 1 2 3 4 5
P 2x 3x 7x 2x 3x x
A. B． C． D．
【解析】选D.因为2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，
所以x＝，E(X)＝3x＋14x＋6x＋12x＋5x＝40x＝.
2．(教材例题改编)甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为(　　)
A．1　 B．　 C．2　 D．
【解析】选B.随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，则P(ξ＝0)＝ eq \f(CC,CC) ＝，P(ξ＝1)＝ eq \f(CCC,CC) ＝，P(ξ＝2)＝ eq \f(CCC,CC) ＝，P(ξ＝3)＝ eq \f(C,CC) ＝，则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为________．
【解析】因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，
所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.
答案：0
4．(2021·中卫高二检测)已知X的分布列如表，设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________．
X －1 0 1
P a
【解析】由已知得＋＋a＝1，所以a＝，所以E(X)＝－＋＝－，因为E(Y)＝2E(X)＋1，所以E(Y)＝.
答案：
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13离散型随机变量的方差
导思 1.离散型随机变量的方差、标准差是怎样定义的？具有怎样的性质？2.两点分布与二项分布的方差应如何计算？
1.方差、标准差的定义以及方差的性质
(1)方差及标准差的定义：
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
①方差： D(X)＝．
②标准差为：．
(2)方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．
(1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？
提示：离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏离均值的平均程度．
(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？
提示：离散型随机变量的方差越小随机变量越稳定．
(3)离散型随机变量的方差与样本方差之间的关系如何？
提示：①区别：随机变量的方差是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本方差是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．
②联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体的方差．
2．两点分布与二项分布的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
(1)两点分布的方差是如何推导的？
提示：因为X服从两点分布，所以E(X)＝p，
D(X)＝(1－p)2p＋(0－p)2(1－p)＝p(1－p)(1－p＋p)＝p(1－p).
(2)二项分布的方差公式适合两点分布的方差公式吗？
提示：适合．因为两点分布是二项分布的特例，所以二项分布的方差公式适合两点分布的方差公式．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．(　×　)
(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平．(　×　)
(3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(　√　)
(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　×　)
提示：(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．
(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．
(3)由方差的意义可知．
(4)离散型随机变量的方差越大，说明随机变量的稳定性越差，方差越小，稳定性越好．
2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为________．
【解析】ξ的标准差＝＝.
答案：
3．已知随机变量X，Y满足，X＋Y＝8，且X～B(10，0.6)，则D(X)＋E(Y)＝________．
【解析】由题意X～B(10，0.6)，知随机变量X服从二项分布，n＝10，p＝0.6，
则均值E(X)＝np＝6，方差D(X)＝npq＝2.4，
又因为X＋Y＝8，所以Y＝－X＋8，
所以E(Y)＝－E(X)＋8＝－6＋8＝2，D(X)＋E(Y)＝4.4.
答案：4.4
类型一　离散型随机变量方差的计算(数据分析、数学运算)
1．已知随机变量X的分布列为
X 1 3 5
P 0.4 0.1 0.5
则X的标准差等于(　　)
A．3.56 B． C．3.2 D．
　【解析】1.选D.数学期望E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
由方差的定义，D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝1.936＋0.004＋1.62＝3.56.
所以标准差＝.
2．已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ －1 0 1
P
则ξ的均值为________，方差为________．
【解析】2．均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×＋0×＋1×＝－；方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝.
答案：－　
3．已知随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1
试求D(X)和D(2X－1).
【解析】3．E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.
所以D(X)＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.利用方差的性质D(aX＋b)＝a2D(X).
因为D(X)＝1.56，所以D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24．
　求离散型随机变量ξ的方差的步骤
(1)理解ξ的意义，明确其可能取值．
(2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布则继续下面步骤．
(3)求ξ取每个值的概率．
(4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验．
(5)根据方差定义求D(ξ).
【补偿训练】
已知η的分布列为
η 0 10 20 50 60
P
(1)求方差及标准差．
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y).
【解析】(1)因为E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
所以D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
所以＝8.
(2)因为Y＝2η－E(η)，所以D(Y)＝D(2η－E(η))
＝22D(η)＝4×384＝1 536.
类型二　两点分布与二项分布的方差(数据分析、数学运算)
【典例】一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的， 并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．
(2)若遇上红灯， 则需等待30秒， 求司机总共等待时间η的期望与方差．
【思路导引】
先判断ξ服从什么分布，再利用相应的公式求解．
【解析】(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B，
所以E(ξ)＝6×＝2，D(ξ)＝6××＝.
(2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
　求离散型随机变量的均值与方差的关注点
(1)写出离散型随机变量的分布列．
(2)正确应用均值与方差的公式进行计算．
(3)对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．
1．(2021·遵义高二检测)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)
A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－8
【解析】选C.因为X～B(n，p)，所以E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
所以解得
所以P(X＝1)＝C×＝3×2－10.
2．(1)篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的方差；
(2)将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数的方差．
(3)老师要从10名同学中随机抽3名同学参加社会实践活动，其中男同学有6名，求抽到男同学人数的方差．
【解析】(1)设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即
X 0 1
P 0.3 0.7
所以D(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21.
(2)设正面向上的次数为Y，则Y～B，
D(Y)＝np(1－p)＝5××＝1.25.
(3)设抽到男同学的人数为ξ.ξ服从超几何分布，分布列为
ξ 0 1 2 3
P eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) eq \f(CC,C) eq \f(CC,C)
即
ξ 0 1 2 3
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.3＋1＋0.5＝1.8，
D(ξ)＝(0－1.8)2×＋(1－1.8)2×＋(2－1.8)2×＋(3－1.8)2×＝0.56.类型三　方差的实际应用(数学建模、数据分析)
【典例】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列．
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
【思路导引】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值．
【解析】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)　利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论．依据方差的几何意义作出结论．
1．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：
ξ 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
η 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．
【解析】E(ξ)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(η)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(ξ)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(η)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＜D(η)，故甲厂的材料稳定性较好．
2．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如表所示：
甲：
分数X 80 90 100
概率P 0.2 0.6 0.2
乙：
分数Y 80 90 100
概率P 0.4 0.2 0.4
试分析两名学生的成绩水平．
【解析】因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，
D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，
E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，
D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，即E(X)＝E(Y)，D(X)所以甲与乙的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲的学习成绩较稳定．
1．某人从家乘车到单位，途中有3个路口．假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为(　　)
A．0.48 B．1.2 C．0.72 D．0.6
【解析】选C.因为途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3，0.4)，
所以D(X)＝3×0.4×0.6＝0.72.
2．已知X的分布列为
X －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则D(X)等于(　　)
A．0.7　　 B．0.61　 C．－0.3　 D．0
【解析】选B.E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，
D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.
3．(2021·天水高二检测)由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：
ξ1(甲得分) 0 1 2
P(ξ1＝xi) 0.2 0.5 0.3
ξ2(乙得分) 0 1 2
P(ξ2＝xi) 0.3 0.3 0.4
现有一场比赛，派哪位运动员参加较好(　　)
A．甲 B．乙
C．甲、乙均可 D．无法确定
【解析】选A.E(ξ1)＝E(ξ2)＝1.1，D(ξ1)＝1.12×0.2＋0.12×0.5＋0.92×0.3＝0.49，D(ξ2)＝1.12×0.3＋0.12×0.3＋0.92×0.4＝0.69，所以D(ξ1)即甲比乙得分稳定，选甲参加较好．
4．(教材练习改编)设随机变量ξ～B，则D(ξ)＝________．
【解析】因为随机变量ξ～B，所以D(ξ)＝6××＝.
答案：
5．若随机变量X的分布列如表所示，
X 0 1
P 0.4 0.6
则E(X)＝________，D(X)＝________．
【解析】E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(X)＝0.6×(1－0.6)＝0.6×0.4＝0.24.
答案：0.6　0.24
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9正态分布
导思 1.正态曲线的特点和性质是什么？正态分布密度函数有什么特征？2.3σ原则的内容是什么？
1.正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，如图乙所示：
　(1)正态分布概率密度函数有哪些特性？
提示：①集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置．②对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交．③均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降．
(2)正态曲线的位置是由哪个参数确定的？曲线的矮胖与瘦高是由哪个参数确定的？
提示：正态曲线的位置是由参数μ确定的，曲线的矮胖与瘦高是由参数σ确定的．
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(a　在正态分布随机变量X满足的公式中，μ与σ分别表示随机变量X什么值？
提示：μ是反映随机变量取值X的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量X总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
3．正态分布在三个特殊区间内取值的概率值
(1)P(μ－σ(2)P(μ－2σ(3)P(μ－3σ4．3σ原则
通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
　(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)值的大小与μ与σ具体等于多少有关吗？
提示：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)值的大小与μ与σ具体等于多少没有关系．
(2)在同一个正态分布中P(μ－1.5＜X≤μ＋1.5)与P(μ－3＜X≤μ＋3)谁大？
提示：由P(μ－1.5＜X≤μ＋1.5)的意义以及正态分布曲线可知：P(μ－3＜X≤μ＋3)的值大于P(μ－1.5＜X≤μ＋1.5)的值．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．(　×　)
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量．(　√　)
(3)正态曲线是一条钟形曲线．(　√.　)
提示：(1)因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)因为离散型随机变量最多取可列出的不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．
(3)由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
2．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的均值与标准差分别是________．
【解析】由正态曲线f(x)＝e－知，
即μ＝10，σ＝2.
答案：10与2
3．(教材习题改编)若随机变量X的正态分布密度函数为f(x)＝e－，X在(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1、p2，则p1、p2的关系为________．
【解析】由题意知μ＝0，σ＝1，所以正态曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.
答案：p1＝p2
类型一　正态曲线的应用(数学抽象、数据分析)
1．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
【解析】1.选A.根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状，由题图可得．
2．我市某次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是(　　)
A.甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
【解析】2．选A.由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．
3．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布密度函数的解析式．
【解析】3．由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，
所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是，所以＝，解得σ＝4.
故函数的解析式为φμ，σ(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞).
　求正态曲线的两个方法
(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为.
(2)待定系数法：求出μ，σ便可．
【补偿训练】
1.设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1).
(1)求c的值．
(2)求P(－4＜x＜8).
【解析】(1)由X～N(2，9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.
(2)P(－4＜x＜8)＝P(2－2×3＜x＜2＋2×3)＝0.954 5.Ｋ
2．如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
【解析】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.
由＝，解得σ＝.于是概率密度函数的解析式是φ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞).总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
类型二　正态分布下的概率计算(数学运算、数据分析)
【典例】1.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，则ξ在(0，＋∞)内取值的概率为(　　)
A．0.9 B．0.1 C．0.5 D．0.4
【思路导引】1.根据正态曲线的对称性进行求解．
【解析】1.选A.因为ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，
所以曲线的对称轴是直线x＝1，
又ξ在(0，2)内取值的概率为0.8，根据正态曲线的性质，则在(0，＋∞)内取值的概率为0.8＋0.1＝0.9.
2．已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)≈0.682 7，则σ＝________，P(|ξ－2|<4)＝________．
【思路导引】2．由已知可求得μ的值，结合“3σ”原则进行求解．
【解析】2．因为ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ<6)≈0.682 7，
所以μ＝4，结合“3σ”原则可知所以σ＝2.
所以P(|ξ－2|<4)＝P(－2<ξ<6)
＝P(－2<ξ<2)＋P(2<ξ<6)
＝[P(－2<ξ<10)－P(2<ξ<6)]＋P(2<ξ<6)
＝P(－2<ξ<10)＋P(2<ξ<6)
＝[P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＋P(μ－σ<ξ<μ＋σ)]
≈(0.997 3＋0.682 7)＝0.84.
答案：2　0.84
3．在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，4)，求正态总体X在(－1，1)内取值的概率．
【思路导引】3．本题可先求出X在(－1，3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1，1)内取值的概率就等于在(－1，3)内取值的概率的一半．
【解析】3．由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)≈0.682 7.
又因为正态曲线关于x＝1对称，所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)≈0.341 4.
　正态变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
(2)注意概率值的求解转化：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)＝P(X>μ＋a)；
③若b＜μ，则P(X＜b)＝.
(3)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
1．随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，若P(2<ξ<3)＝a，则P(ξ<－1)＋P(1<ξ<2)＝(　　)
A．　　　B．－a　　　C．a＋0.003a　　　D．＋a
【解析】选B.因为随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，所以正态曲线关于x＝1对称，
因为P(2<ξ<3)＝a，所以P(－1<ξ<0)＝a，
P(1<ξ<2)＝P(0<ξ<1)，P(ξ<－1)＋P(1<ξ<2)＝－a.
2．设ξ～N(2，1)，试求：
(1)P(1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤4)；(3)P(ξ≤0).
【解析】因为ξ～N(2，1)，所以μ＝2，σ＝1.
(1)P(1<ξ≤3)＝P(2－1<ξ≤2＋1)
＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7.
(2)因为P(3<ξ≤4)＝P(0<ξ≤1)＝
＝[P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]
≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
(3)因为P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)，所以P(ξ≤0)＝[1－P(0<ξ<4)]
≈(1－0.954 5)＝0.022 75.
类型三　正态分布的综合应用(数据分析、逻辑推理)
【典例】1.设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，
(1)求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．
(2)如果把题设条件“这个班的学生共54人”换成“现已知该班同学中不及格的人数有9人”求相应结论．
【思路导引】1.将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 7＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
【解析】1.(1)μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
因为P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝
2P(X－μ≤－σ)＋0.682 7＝1，
所以P(X－μ≤－σ)≈0.158 7，
所以P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)
＝1－0.158 7＝0.841 3.
所以54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．
因为P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
所以P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.682 7＋2P(X－μ≥σ)＝1，
所以P(X－μ≥σ)≈0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7，所以54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．
(2)因为X～N(110，202)，所以μ＝110，σ＝20，
所以P(110－20＜X≤110＋20)＝0.682 7，
所以X＜90的概率为×(1－0.682 7)≈0.158 7.
设该班学生共有x人，则0.158 7 x＝9，
即x≈57(人)，所以P(X≥90)＝1－0.158 7＝0.841 3，所以这个班这次数学考试中及格的人数为0.841 3×57≈48(人)，
又P(X＜90)＝P(X＞130)，
所以130分以上的人数有9人．
2．某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52).质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
【思路导引】2．可依据3σ原则来确定该事件是什么事件．
【解析】2．由于外直径ξ～N(4，0.52)，
则ξ在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之内取值的概率为0.997 3，在(2.5，5.5)之外取值的概率为0.002 7，而5.7 (2.5，5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．
正态曲线的应用及求解策略
　解答此类题目的关键在于将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
1．某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差(单位：微米)服从正态分布N(1，32)，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间(4，7)内的概率为(　　)
(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%)
A．31.74% B．27.18% C．13.59% D．4.56%
【解析】选C.P(4<ξ<7)＝[P(－5<ξ<7)－P(－2<ξ<4)]＝×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.
2．某年级的一次数学测验成绩近似服从正态分布N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，那么
(1)成绩不及格的人数占总人数多少？
(2)成绩在80～90分内的学生占总人数多少？
【解析】(1)设学生的得分为随机变量X，
则X～N(70，102)，其中μ＝70，σ＝10.
成绩在60～80分之间的学生人数的概率为
P(70－10所以不及格的人数占×(1－0.682 7)＝0.158 65.
即成绩不及格的学生人数占总人数的15.865%.
(2)P(70－20所以成绩在80～90分内的学生占
[P(50即成绩在80～90分内的学生占总人数的13.59%.
1．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.因为ξ～N(3，σ2)，所以ξ＝3为正态分布的对称轴，
所以P(ξ<3)＝.
2．把一个正态曲线M沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新曲线N，则下列说法不正确的是(　　)
A．曲线N仍是正态曲线
B．曲线M和曲线N的最高点的纵坐标相等
C．以曲线N为概率密度曲线的总体的期望，比以曲线M为概率密度曲线的总体期望大2
D．以曲线N为概率密度曲线的总体的方差，比以曲线N为概率密度曲线的总体方差大2
【解析】选D.由正态曲线的性质，以及题设条件可知；两个曲线都是正态曲线的形态一样，说明方差相等，所以D错误，A正确，而位置是水平向右的平移，所以B正确C正确．
3．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．不确定
【解析】选C.由正态曲线性质知均值为0.
4．正态分布的概率密度函数P(x)＝e－在(3，7]内取值的概率为________．
【解析】由题意可知X～N(5，4)，且μ＝5，σ＝2，所以P(3答案：0.682 7
5．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值为________，标准差是________．
【解析】零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
答案：4　0.5
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10第二课　随机变量及其分布
题组训练一　n次独立重复试验概率的计算
1．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
【解析】选A.根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.62×0.4＋C0.63＝0.648.
2．某学校对高二年级学生进行体能测试，若每名学生测试达标的概率都是(相互独立)，经计算，5名学生中恰有k名学生同时达标的概率是，则k的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．3或4
【解析】选D.设X表示这5名学生中达标的人数，则P(X＝k)＝C××
，k＝0，1，2，3，4，5.由已知，得P(X＝k)＝，即C××
＝，解得k＝3或k＝4.
与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
【补偿训练】
患某病的猪服用某药品后被治愈的概率是90%，则服用这种药的5头病猪中恰有3头被治愈的概率为(　　)
A．0.93　　　　　　　　 B．1－(1－0.9)3
C．C×0.93×0.12 D．C×0.13×0.92
【解析】选C.5头猪中恰有3头被治愈的概率为C×0.93×0.12.
题组训练二　离散型随机变量的均值与方差的计算
本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲，乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲，乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
(1)求甲，乙两人所付的租车费用相同的概率．
(2)设甲，乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E(ξ).
【解析】(1)由题意，得甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.
记甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
P(A)＝×＋×＋×＝.
故甲，乙两人所付的租车费用相同的概率为.
(2)ξ可能的取值有0，2，4，6，8.P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝2)＝×＋×＝，
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝6)＝×＋×＝，P(ξ＝8)＝×＝.
所以甲，乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
ξ 0 2 4 6 8
P
所以E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.
求离散型随机变量X的均值与方差的步骤
(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值．
(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k).
(3)写出X的分布列．
(4)由分布列和均值的定义求出E(X).
(5)由方差的定义，求D(X)，若X～B(n，p)，则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
题组训练三　正态曲线的性质及应用
某班有50名学生，一次考试后的数学成绩ξ～N(110，102)，若P(100≤ξ≤110)＝0.34，则估计该班学生的数学成绩在120分以上(含120分)的人数为(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
【解析】选C.因为数学成绩ξ服从正态分布N(110，102)，
且P(100≤ξ≤110)＝0.34，所以P(ξ≥120)＝P(ξ<100)＝×(1－0.34×2)＝0.16，
所以该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50＝8.
正态曲线的应用及求解策略
1.将待求的问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．
2．利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想．
【补偿训练】
设随机变量ξ服从正态分布N(3，16)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξA．4　　　B．3　　　C．2　　　D．1
【解析】选B.由P(ξ>c＋2)＝P(ξ题组训练四　相互独立事件的性质及应用
据天气预报，在元旦期间甲、乙两地都降雨的概率为，至少有一个地方降雨的概率为，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在这段时间甲、乙两地降雨互不影响．
(1)分别求甲、乙两地降雨的概率．
(2)在甲、乙两地3天假期中，仅有一地降雨的天数为X，求X的分布列、均值与方差．
【解析】(1)设甲、乙两地降雨的事件分别为A，B，且P(A)＝x，P(B)＝y.由题意得解得
所以甲地降雨的概率为，乙地降雨的概率为.
(2)在甲、乙两地中，仅有一地降雨的概率为P＝P(A)＋
P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C＝，
P(X＝2)＝C＝，P(X＝3)＝C＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
方差D(X)＝×＋×＋×＋×＝.
求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A∪B)＝1－P( )”常应用于相互独立事件至少有一个发生的概率．
【补偿训练】
在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分别从不同方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹)，由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为0.9，0.9，0.8，若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为(　　)
A．0.998　　　B．0.046　　　C．0.002　　　D．0.954
【解析】选D.三枚导弹中仅有一枚命中目标或均未命中目标的概率为
P＝0.9×0.1×0.2＋0.1×0.9×0.2＋0.1×0.1×0.8＋0.1×0.1×0.2＝0.046，
由对立事件的概率公式知至少有两枚导弹命中目标的概率为
P＝1－0.046＝0.954.
题组训练五　条件概率的求解
集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
【解析】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
【延伸探究】
1.(变结论)在本例条件不变的前提下，求乙抽到偶数的概率．
【解析】在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，
(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，
所以所求概率P＝＝.
2．(变条件)若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A).
【解析】甲抽到的数大于4的情形有：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5，2)，(6，1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
1．求解条件概率的关键
搞清要求的条件概率事件是在什么条件下发生的．
2．计算条件概率的两种方法
(1)P(B|A)＝.
(2)P(B|A)＝.在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的基本事件个数；n(A)是指事件A发生的基本事件个数．
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