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导数双变量问题
题型一 不等式恒成立与有解问题
【例1】已知函数，，对任意的，都有成立，则实数的取值范围是______.
【解析】∵，∴，
令得，令得或，
∴在单调递减，在单调递增，在单调递减，
而，故，
对任意的，都有成立，只需即可，
∴，即在时恒成立，只需，
∴设，
∴，令，解得；令，解得.
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴
【答案】
【例2】设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】若对于，，使成立，只需，∵，
∴，当时，，在上是减函数，
∴函数取得最小值．
∴只需，即有解即可，即，
设，
在上单调递减，∴
∴
【答案】A
【例3】已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解析】由，得，
∴在上单调递减，上单调递增，
∴，，即的值域为，
而，在单调递增，在单调递减，
若对任意的，存在唯一的，使得，则只能取，此时的值域为，∴
∴，解得.
【答案】B
【针对训练】1．已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解析】若对任意的，存在，使，只需，
由题可知， ，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴当时，取得最小值，，
∴只需，即有解，即，
设，
在上单调递减，∴
∴
【答案】B
已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________.
【解析】令，
∴，当时，，单调递增，
∴的值域为
令
∴，当时，，单调递减；当时，，单调递增.，，.
∴若对任意的，存在唯一的，使得，则只能取的值域为.
∴，即，解得.
【答案】
题型二 构造函数
【例4】设函数，若对任意，恒成立，则m的取值范围为 ．
【解析】对任意，等价于，即.
设，则式等价于在单调递减.
∴在上恒成立，即，
∴，当且仅当时等号成立
∴m的取值范围为
【答案】
【针对训练】3．己知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）设，若对任意，恒有，求的取值范围.
【解析】（1）当时，由已知得，
∴，令得，
∴当时，；当时，；
∴单调递增区间为，单调递减区间为；
（2），由得，∴在单调递减，
设，则对任意，恒有，等价于，即.
令，则，
只需在单调递减，即恒成立，即恒成立.
故设，
则，
∴当时，，为减函数；当时，，为增函数.
∴,
∴的取值范围为.
【例5】已知函数，，若，其中，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由，得，
当时，，单调递减；当时，单调递增.
作函数的图象如下：
由图可知，当时，有唯一解，
又由题意得，，即，则，且.
∴
设，，则，令，解得，
∴当时，，单调递增；当时，，单调递减.
∴，即的最大值为.
【答案】A
【例6】已知函数(为常数).
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，设的两个极值点，求的最小值.
【解析】（1），
当时，由，在单调递增；
当时，由，在单调递增；
当时，由，解得；由，解得.
∴在单调递增；在上单调递减.
综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2），∴
由题意得为的两个解，即为的两个解
∴，即
设，由且，解得.
∴设，
∴，在上单调递减
∴，即的最小值为.
【例7】已知函数有两个相异零点．
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
【解析】（1）由，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
有两个相异的零点，则，得.
当时，，，，
∴使得；使得，
综上：的取值范围为.
（2）由题意得，即.
又由（1）可知，，要证，只需证，
即证.
构造函数，则
∴在上单调递减，
∴．
∴，
又∵在上单调递增，
∴只需证，即证.
构造函数，，只需证在上单调递增，
∵
∴要证在上恒成立，只需证，
构造函数，，则
∴在上单调递增，，
∴，在上单调递增，
∴，即成立．
【针对训练】4．已知函数，.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围.
【解析】（1）由题意，，.
∴切线方程是，即.
（2）定义域是，，
∴由有两个极值点得在上有两个不等的实根．
∴，解得，且，
∴，
由得
，
令，，则，
∴在上单调递减，.
∴，即的取值范围为.
5．设函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若且方程，在上有两个不相等的实数根，求证：．
【解析】（1）
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，令得；令得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）方程即，在上有两个不等实根，不妨设，则，
得，
欲证，只需证，
∵，
∴，即，
即需证：，
整理得：，即证，
令，，设，则，
∴在上单调递增，.
∴，原命题得证．
6．已知函数．
（1）讨论在其定义域内的单调性；
（2）若，且，其中，求证：．
【解析】（1），，
当时，，则在区间上单调递增；
当时，，则在区间上单调递增；
当时，，，在区间上单调递增；
，，在区间上单调递减.
综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（2）由（1）得：当时，在上单调递增，在上单调递减，且，，
∴
要证，只需证，
∵，，当时，单调递增，
∴只需证明，即证.
设，，
则.
当时，，单调递增，.
∴，原命题得证.
【课时跟踪检测】
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知函数满足，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】在定义域单调递增，
对于，，使得成立，
即对于，，使得成立，
即满足，
令，，则在上单调递增，.
令，，则，令，解得，当时.
∴当时，，单调递增，.
∴，即.
【答案】C
2．若方程存在两个不相等的实数根，则（　　）
A． B． C． D．
【解析】是方程的两个不相等的实数根，
不妨设，则,
得，
令，，则，，∴.
∴，
令，，则，.
令，，则.
∴在上单调递增，.
∴在在上单调递增，.
∴，即.
【答案】B
3．已知函数，若关于的方程恰有两个不同实数根，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解析】根据题意，绘制的图像如下：
由图可知，方程有两个实根，等价于有两个实根，
不妨令，，由题意可得，即.
∴，.
设，.则，令，解得.
∴当时，单调递增；当时，单调递减.
∴，即的最大值为.
【答案】B
4．已知函数，，，若，，使得成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，.
当时，，单调递减；当时，，单调递减.
∴
，在上单调递增，在上单调递减，.
作函数与的图像如图所示，
当时，方程两根分别为和，
∴满足题意得的最小值为.
【答案】A
二．填空题
5．已知函数，若存在满足，则的取值范围为_____.
【解析】显然，，由题意可知，即，
∴，
由可得，即，则，
设，，
∴，在上单调递减，
又∵，，
∴，即的取值范围为．
【答案】
6．已知函数有两个极值点，则的取值范围为_________.
【解析】函数的定义域为，，
依题意，方程有两个不等的正根，
则，解得.
由韦达定理得，，
∴，
令，则，，
当时，，在上单调递减，则，
∴在上单调递减，.
∴的取值范围是.
【答案】
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
7．已知函数，.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值；
（Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围.
【解析】（Ⅰ），
当时，，在上单调递增，无极值.
当时，令，得.当时，则；当时，.
∴在上单调递增，在上单调递减，，无极小值.
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值.
（Ⅱ）对任意，总存在，使得不等式成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值恒成立.
设，.
，当时，，单调递增；当时，，单调递减.
又∵，
∴
∴在时恒成立，即在时恒成立.
设，.则，.
∴在上单调递减，.
∴
又∵
∴的取值范围为.
8．已知函数，为的导数.
（1）设函数，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，
求实数的取值范围；
证明：当时，.
【解析】（1）依题意，的定义域为，且，
则.
当时，，在上单调递减；
当时，令得，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上，当时，的单调递减区间为，无递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
∵有两个极值点，∴有两个零点.
由（1）知，时，不符合题意；
当时，.
（i）当时，，没有零点，不符合题意；
（ii）当时，，只有一个零点，不符合题意；
(ⅲ)当时，.
，设，，则.
∴，即.
∴存在，使得.
又∵，
∴存在，使得.
的值变化情况如下表：
0 0
极大值 极小值
∴当时，有两个极值点.
综上，的取值范围是.
∵，，
∴.
∵是的两个零点，
∴.
∴，.
设，则，
∴在上单调递增.
又∵，
∴，即.
9．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若为函数的两个极值点，证明：．
【解析】（1），，令，.
当，即时，，在上单调递增；
当，即或时，
当时，，，在上单调递增；
当时，令，得，.
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
综上：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减.
（2）由（1）知时有两个极值点，且，.
不妨设，
则，
要证，即证，即，即.
设
由（1）知当时，在上单调递增，，则在上单调递减， ∴，原式得证.
10．已知函数在和时取极值，且.
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围.
【解析】（1）∵，
∴，
∵在和时取极值，
∴，即是的两个不等实根，
∴ ，解得，经检验，符合题意.
（2）由（1）知，
∴
∵是的两个不等实根，
∴，
∴，
∴
设，
∵，∴，
又∵是的两个不等实根，
∴，解得，
由知， ，
∴在上单调递减，，.
∴，即的取值范围为.
11．已知函数.
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）若对任意，总存在不相等的正实数，，恒有成立，求 的取值范围.
【解析】（1）由已知可得，函数的定义域为.
当时，令，所以原函数可化为，且.
①当时，因为在上单调递减，由于在上单调递增，故令，即，解得.
所以原函数在区间单调递减.
②当时，因为在上单调递减，由于在上单调递减，故原函数的不存在单调递减区间.
综上所述：原函数的单调递减区间为.
（2）解法一：由题意可知，由于，故
， 即，，
∵，，且，∴恒成立，
∴，因为，∴.
整理可得不等式，令 （）
∴，当且仅当时，取最大值，∴.
解法二：由于，令，∴，
，，且，∵，∴，
∴，
由于，所以上式不能取等号.即不等式，
令 （）
∴，当且仅当时，取最大值，∴.
12．已知函数（为常数）.
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，，且，求的范围.
【解析】（1）∵，
∴只要，即时恒成立，在定义域上单调递增.
（2）由（1）知有两个极值点则，
的二根为，
则，，
，
设，又，∴.
则，，
∴在递增，.
即的范围是.
13．已知函数.
（1）求曲线上一点处的切线的方程；
（2）设函数的两个极值点为，求的最小值.
【解析】对求导得：，故切线斜率为，
因此切线方程为，即，
故切线的方程为；
（2）函数，定义域为，
，
因为是函数的两个极值点，所以是方程的两不等正根，
则有，
∴，故，且有，
，
，
令，则，
，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，，所以，的最小值为.
14．设函数，，其中，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若且方程在，上有两个不相等的实数根，，求证.
【解析】（1）
1°若，即时，令，得或，
令，得．
在和上单调递增，在上单调递减
2°若，即时，恒成立在上单调递增
3°若，即时，
令得或，令得
在和上单调递增，在上单调递减
综上：时， 在上单调递减，和上单调递增
时， 在上单增
时，在上单减，在和上单增
（2）方程即
在上有两个不等实根和不妨设
则① ②
①-②得因为，由（1）知
在上单减， 上单增，即时，，时， 故若证，只需证
即证只需证因为，所以
即需证：整理得：
即证令，
显然在上单增．所以故得证
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，
（1）若，，总有成立，则；
（2）若，，总有成立，则；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集．
1、同型构造：对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2、换元：通过将所有涉及的式子转化为关于（亦可）或等相同形式的式子，整体换元，将双变量问题转化为单变量的函数问题，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解。或者通过的等量关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题。
核心思路：双变量（三变量）问题转化为单变量函数问题。

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