资源简介

导数的概念及运算、定积分
考点一 导数的运算
【例1】求下列函数的导数．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【解析】（1）.
（2）.
（3）.
（4）∵，
∴.
【例2】已知是函数的导数，，则(　　)
A. B. C. D．－2
【解析】∵，∴，解得，∴，
∴.
【答案】C
【针对训练】1．，若，则等于(　　)
A． B．1 C． D．
【解析】∵，∴由，得，
则，解得.
【答案】B
2．若函数满足，则________.
【解析】∵，为奇函数且，
∴.
【答案】
考点二 导数的几何意义及其应用
考法(一)　求切线方程
【例3】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B． C． D．
【解析】∵为奇函数，∴
∴，∴，
∴曲线在点处的切线方程为.
【答案】D
考法(二)　求切点坐标
【例4】已知函数在点处的切线与直线垂直，则切点的坐标为________．
【解析】∵，∴，由题意得，即，∴，∴，∴，即．
【答案】
考法(三)　由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
【例5】设曲线(为自然对数的底数)上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围是(　　)
B． C. D.
【解析】由，得，
∵，∴．
由，得，
又∵，∴．
要使过曲线上任意一点的切线，总存在过曲线上某点处的切线，使得，则，解得.
【答案】D
【例6】曲线在点处的切线的斜率为，则________.
【解析】∵y′＝(ax＋a＋1)ex，
∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，解得a＝－3.
【答案】
考法(四)　两曲线的公切线问题
【例7】已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为________．
【解析】由，得.
∵，，
∴曲线在处的切线方程为.
设直线与曲线相切于点，，
∴，将代入得，
∴，∴
【答案】
【针对训练】3．曲线在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B. C. D．1
【解析】∵，∴，
∴曲线在点处的切线方程为，即，与两坐标轴的交点坐标分别为，，
∴与两坐标轴围成的三角形的面积.
【答案】B　
4．已知直线与曲线相切(其中为自然对数的底数)，则实数的值为________．
【解析】由题意知，则，，代入曲线方程得，所以切线方程为，即，∴.
【答案】1
5．若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为________．
【解析】设切点，则由，得，
由，得，则有，解得.
【答案】
考点三 定积分的运算及应用
【例8】________.
【解析】.
【答案】2
【例9】________.
【解析】，
∵表示的是圆在轴及其上方的面积，
∴，
故.
【答案】
【例10】由曲线和曲线围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　)
A. B. C. D.
【解析】由，解得或，所以阴影部分的面积为.
【答案】A　
【针对训练】6．设，则(　　)
A. B. C. D.
【解析】.
【答案】A　
7．由曲线，，所围成图形的面积为____________．
【解析】如图所求阴影的面积就是的面积减去由轴，，围成的曲边三角形的面积，即.
【答案】
【课时跟踪检测】
基础达标
1．曲线在点处的切线方程为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】∵，∴，故曲线在点处的切线方程为，即.
【答案】C　
2．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为(　　)
A． B． C．和 D．
【解析】，令，则，解得或，∴或；经检验，点，均不在直线上，故选C.
【答案】C　
3．已知函数的导函数为，且满足关系式，则(　　)
A．2 B．－2 C． D．
【解析】∵，∴，
∴，解得.
【答案】D
4.已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】设，，分别表示直线，，的斜率，数形结合知.
【答案】B　
5．设曲线在处的切线方程为，则(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】∵，∴，∴当时，.
又∵曲线在处的切线方程为，∴，即.
【答案】A
6．若曲线在处的切线与直线相互垂直，则实数________.
【解析】∵，∴.
又∵直线的斜率为，∴，解得.
【答案】2
7．如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则曲线在处的切线方程为________．
【解析】由题图可知曲线在处的切线斜率等于，即.又∵，∴，，由题图可知，∴，，则曲线在处的切线方程为.
【答案】
8．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）方程可化为，当时，.
又∵，∴，解得.
故.
（2）是定值，理由如下：
设为曲线上任一点，
由知曲线在点处的切线方程为．
令，得，得切线与直线的交点坐标为.
令，得，得切线与直线的交点坐标为．
∴曲线在点处的切线与直线，所围成的三角形的面积.
故曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.
能力提升
1．设点是曲线上的任意一点，则曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
【解析】∵，∴切线的斜率，∴切线的倾斜角的取值范围为.
【答案】C
2．已知，是的导函数，即，，…，，，则(　　)
A． B．
C． D．
【解析】∵，
∴，，
，，…，
∴的解析式以4为周期重复出现，
又∵，∴.
【答案】D
3．若，则(　　)
A． B． C. D．1
【解析】∵，
∴，
∴.
【答案】B
4．若存在过点的直线与曲线和都相切，则(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或7
【解析】∵，∴，
设过点的直线与相切于点，则在该点处的切线斜率为，
∴切线方程为，即.
又∵点在切线上，∴或.
当时，切线方程为；由与相切可得；
当时，切线方程为；由与相切，可得.
综上，的值为或.
【答案】A
5．曲线上的点到直线的最短距离是(　　)
A． B．2 C． D.
【解析】设为曲线上的任意一点，则曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离即为曲线上的点到直线的最短距离．
∵，∴，解得，∴．记点到直线的距离为，则.
【答案】A
6．设函数的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，则实数的取值范围为________．
【解析】由，得，则有在上恒成立，∴.
当时，在上取得最大值，∴.
【答案】
7．若曲线的一条切线为，其中，为正实数，则的取值范围为________．
【解析】由，得.设切点为，则有，
∴，又∵，∴，
∴，当且仅当时等号成立．
【答案】
8．已知函数，曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求函数的单调区间；
（2）设直线为函数图象上任意一点处的切线，问：在区间上是否存在，使得直线与曲线也相切？若存在，满足条件的有几个？
【解析】（1）∵函数（且），∴，
∵曲线在点处的切线平行于直线，
∴，∴，∴.
∵且，∴，
∴函数的单调递增区间为和，无单调递减区间．
（2）在区间上存在唯一一个满足条件的.
∵，∴，
∴切线的方程为，即.
设直线与曲线相切于点，
∵，∴，∴，
∴直线的方程也可以写成，即.
由得，∴.
下证在区间上存在唯一一个满足条件的.
由（1）可知，在区间上单调递增，
又∵，，
∴结合零点存在性定理，知方程在区间上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的.

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