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导数与函数的单调性
考点一 求函数的单调区间
【例1】已知函数，则(　　)
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【解析】∵函数的定义域为，，
∴当时，解得，即函数的单调递增区间为；
当时，解得，即函数的单调递减区间为.
【答案】D
【针对训练】1．若幂函数的图象过点，则函数的单调递减区间为________．
【解析】设幂函数，∵图象过点，
∴，解得，
∴，故，
∴，
令，得，
故函数的单调递减区间为．
【答案】
考点二 判断含参函数的单调性
【例2】已知函数，讨论的单调性．
【解析】的定义域为，
.
当时，则，当且仅当，时，，
∴在上单调递减．
当时，令，得或.
当时，；
当时，.
∴在和上单调递减，在上单调递增．
综合可知，当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增．
【针对训练】2．已知函数，其中的函数图象在点处的切线平行于轴．
（1）确定与的关系；
（2）若，试讨论函数的单调性．
【解析】（1），
由函数的图象在点处的切线平行于轴，得，
∴.
（2）由（1）得.
∵函数的定义域为，
∴当时，，由，得；由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，令，得或，
若，即，由，得或；由，得，
即函数在和上单调递增，在上单调递减.
若，即，由，得或，由，得，
即函数在和上单调递增，在上单调递减；
若，即，在上恒有，即函数在上单调递增．
综上可得，当时，函数g(x)在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数g(x)在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数g(x)在上单调递增；
当时，函数g(x)在和上单调递增，在上单调递减．
考点三 根据函数的单调性求参数
【例3】若函数在单调递增，则的取值范围是________．
【解析】函数在单调递增，等价于，即在恒成立．
设，则在恒成立，
∴，解得.
【答案】
【针对训练】3．若函数在上单调递减，则的取值范围为________．
【解析】∵在上单调递减，
∴当时，恒成立，即恒成立．
∵，∴，，当时，取到最大值，
∴，
又∵，∴的取值范围是．
【答案】
【变式发散】1．若函数在上单调递增，则的取值范围为________．
【解析】∵在上单调递增，
∴当时，恒成立，即恒成立，
又∵当时，，
∴，即的取值范围是．
【答案】
2．若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为________．
【解析】∵在上存在单调递减区间，∴在上有解，
∴当时，有解，即，
而当时，，∴，
又∵，∴的取值范围是．
【答案】
3．若函数在上不单调，则的取值范围为________．
【解析】∵在上不单调，
∴在上有解，即在上有解，
令，则.
∴实数的取值范围是.
【答案】
【课时跟踪检测】
基础达标
1．下列函数中，在上为增函数的是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
【解析】对于A，的单调递增区间是（）；
对于B，，当时，，∴函数在上为增函数；
对于C，，令，得或，∴函数在和上单调递增；
对于D，，令，得，∴函数在区间上单调递增．
【答案】B
2．已知函数，若是的导函数，则函数的大致图象是(　　)
【解析】设，则，∴函数在上单调递增，结合选项知选A.
【答案】A
3．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中，的图象大致是(　　)
【解析】当时，，∴，故在上为减函数；
当时，，∴，故在上为增函数，因此排除A、B、D，故选C.
【答案】C
4．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【解析】∵，∴，
由，得，∴在上是减函数，则，
∴，解得.
【答案】A
5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【解析】，∵函数在区间上单调递增，
∴对任意恒成立，
即对任意恒成立，
∴对任意恒成立，
∵，∴，当且仅当时等号成立，
∴.
【答案】B
6．函数的单调递减区间为________．
【解析】由题意知，函数的定义域为，由，得，
∴函数的单调递减区间为．
【答案】
7．已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为____________．
【解析】由图象特征可得，在和上, 在 上，∵，∴或，∴或，
∴的解集为．
【答案】
8．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是________．
【解析】∵函数在上存在单调递增区间，
∴，即有解，
设，则，
令，解得，
则当时，，单调递增；当时，，单调递减，
∴当时，取得最大值，且，
∴.
【答案】
9．设，其中，曲线在点处的切线与轴相交于点．
（1）确定的值；
（2）求函数的单调区间．
【解析】（1）∵，
∴，
令，得，，
∴曲线在点处的切线方程为，
由点在切线上，可得，解得.
（2）由（1）知，，
∴.
令，解得或.
当或时，；当时，，
故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
10．已知是自然对数的底数，实数是常数，函数的定义域为．
（1）设，求函数的图象在点处的切线方程；
（2）判断函数的单调性．
【解析】（1）∵，∴，
∴，，.
∴当时，函数的图象在点处的切线方程为.
（2）∵，∴.
易知在上单调递增．
∴当时，，故在上单调递增；
当时，由，得，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
能力提升
1．已知函数是偶函数，当时，函数，设，，，则，，的大小关系为(　　)
A． B． C． D．
【解析】∵函数是偶函数，∴函数的图象关于直线对称，
∴，，．
又∵当时，函数，
∴当时，，即在上为减函数，∴.
【答案】A
2．已知函数，，且，那么(　　)
A． B． C． D．
【解析】由，得，
当时，，∴在上为增函数，
又∵，∴为偶函数，
∴当时，有，∴，即.
【答案】D
3．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围是________．
【解析】由题意知，由得函数的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间内，函数在区间上就不单调，
∴或
∴或.
【答案】
4．已知函数，其中是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是________．
【解析】由，得，
∴是上的奇函数．
又，当且仅当时取等号，
∴在其定义域内单调递增．
∵，
∴，
∴，解得，
故实数的取值范围是.
【答案】
5．已知函数，若函数在上为单调函数，则的取值范围是________．
【解析】，
若函数在上为单调函数，则或在上恒成立，
即或在上恒成立．
令，则在上单调递增，
∴或，即或，
又，∴或.
【答案】
6．已知函数，，其中.
（1）当时，求函数f(x)的极值；
（2）若存在区间，使得与在区间上具有相同的单调性，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，，定义域为，则，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增．
∴在处取得极小值，，无极大值．
（2）由题意知，，，
当时，，即在上单调递增，而在上单调递增，故必存在区间，使得与在区间上单调递增；
当时，，故在上单调递减，而在上单调递增，故不存在满足条件的区间；
当时，，即在上单调递减，而在上单调递减，在上单调递增，若存在区间，使得与在区间上有相同的单调性，则有，解得.
综上可知，实数的取值范围为．

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