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导数与函数的极值、最值
考点一 利用导数研究函数的极值
考法(一)　已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值
【例1】已知函数（，为自然对数的底数），求函数的极值．
【解析】由，得.
当时，，为上的增函数，∴函数无极值．
当时，令，得，即，
当时，；当时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值且极小值为，无极大值．
综上，当时，函数f(x)无极值；
当时，函数在处取得极小值，无极大值．
【例2】设函数，其中.讨论函数极值点的个数，并说明理由．
【解析】．
令，．
（1）当时，，，函数在上单调递增，无极值点．
（2）当时，．
当时，，，，函数在上单调递增，无极值点．
当时，，设方程的两根为，（），
∵，∴，.
由，可得.
∴当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减；
当时，，，函数单调递增．
∴函数f(x)有两个极值点．
当时，，
设方程的两根为，（），
由，可得.
∴当时，，，函数单调递增；
当时，，，函数单调递减．
∴函数f(x)有一个极值点．
综上所述，当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；
当时，函数有两个极值点．
考法(二)　已知函数的极值点的个数求参数
【例3】已知函数存在两个极值点，求的取值范围．
【解析】∵，∴，
令，要使存在两个极值点，则方程有两个不相等的正数根.
故只需满足，解得，∴的取值范围为.
考法(三)　已知函数的极值求参数
【例4】设函数.
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
【解析】（1）∵，
∴.
∴.
由题设知，即，解得，此时，∴的值为1.
（2）由（1）得.
若，则当时，; 当时，.
∴在处取得极小值．
若，则当时，，，∴.
∴2不是的极小值点．
综上可知，的取值范围是.
考点二 利用导数研究函数的最值
【例5】已知函数.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）设，求函数在区间上的最大值．
【解析】（1）∵函数的定义域为，且， 由，得 ；由，得.
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当，即时，函数在区间上单调递增，
∴；
当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减，∴；
当时，函数在区间上单调递减，∴.
综上所述，当时，；当时，；当时，.
【针对训练】1．已知函数，则的最小值是________．
【解析】．
∵，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增．
∴当，有最小值．
又，
∴当时，有最小值，
即.
【答案】
2．已知函数（其中为常数且）在处取得极值．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上的最大值为1，求的值．
【解析】（1）∵，∴的定义域为，，
∵函数在处取得极值，∴，
又∵，∴，则，
令，得，.
当x变化时，，随的变化情况如下表：
x 1
＋ 0 － 0 ＋
? 极大值 ? 极小值 ?
∴的单调递增区间为和，单调递减区间为.
（2）由（1）知，
令，得，，∵在处取得极值，∴.
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
∴在区间上的最大值为，令，解得.
当，即时，
若，即，在和上单调递增，在上单调递减，
∴最大值可能在或处取得，
∵，
∴，解得.
若，即，在区间和上单调递增，在上单调递减，
∴最大值可能在或处取得，
∵，
∴，解得，与矛盾.
若，即，在区间上单调递增，在上单调递减，
∴最大值可能在处取得，而，矛盾．
综上所述，或.
考点三 利用导数求解函数极值和最值的综合问题
【例6】已知函数．
（1）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在和处取得极值，且（为自然对数的底数），求的最大值．
【解析】（1）∵，在上单调递增，
∴恒有，即恒成立，
∴，
∵，当且仅当时取“＝”，∴.
即函数f(x)在上为单调递增函数时，的取值范围是．
（2）∵在和处取得极值，且，
∴是方程的两个实根，由根与系数的关系得，
∴，
设，令，
则，
∴在上是减函数，
∴，
故的最大值为.
【针对训练】3.已知函数的导函数的两个零点为和.
（1）求的单调区间；
（2）若的极小值为，求在区间上的最大值．
【解析】（1）.
令，
∵ex＞0，
∴的零点就是的零点，且与符号相同．
又∵a＞0，
∴当时，，即，当或时，，即，
∴的单调递增区间是，单调递减区间是和．
（2）由（1）知，是的极小值点，∴
解得，，，∴.
由（1）可知当时取得极大值，
故在区间上的最大值取和中的最大者．
而，
∴函数在区间上的最大值是.
【课时跟踪检测】
基础达标
1．函数，的最小值为(　　)
A．0 B. C. D.
【解析】，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∵，，∴当时，有最小值，且最小值为0.
【答案】A
2．若函数在处有极值，则的值为(　　)
A． B．0 C．1 D．
【解析】，若函数在处有极值，则，解得，经检验符合题意，故选C.
【答案】C
3．已知函数是上的可导函数，的导函数的图象如图，则下列结论正确的是(　　)
A．分别是极大值点和极小值点
B．分别是极大值点和极小值点
C．在区间上是增函数
D．在区间上是减函数
【解析】由极值点的定义可知，是极小值点，无极大值点；由导函数的图象可知，函数在区间上是增函数，故选C.
【答案】C
4．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为(　　)
A．15 B．16 C．17 D．18
【解析】
∵是函数的极小值点，
∴，解得，
∴函数的解析式为，，
由，得，
故函数在上是减函数，在和上是增函数，
由此可知当时，函数取得极大值.
【答案】D　
5．已知函数的大致图象如图所示，则(　　)
A. B. C. D.
【解析】由图象可知的图象过点与，是函数的极值点，因此，解得，∴，∴，
则是方程的两个不同的实数根，因此，
∴.
【答案】C
6．若函数的极大值是正数，极小值是负数，则的取值范围是________．
【解析】，由得，
∴当时，，函数单调递减；
当或时，，函数单调递增，
∴的极大值为，极小值为．
∴，解得.
∴的取值范围是.
【答案】
7．若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．
【解析】由题意，得函数的定义域为，，
令，得或（舍去），
则由已知得，解得.
【答案】
8．已知函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求函数在上的最小值．
【解析】（1）由切线方程知，当时，，
∴.
∵，
∴由切线方程知，，
∴，.
（2）由（1）知，，
∴函数，.
设，则，在上单调递减．
∴，∴在上单调递减．
∴函数在上的最小值为.
能力提升
1．若函数在时有极值10，则的值为(　　)
A．或 B．或
C． D．以上都不对
【解析】由题意，，则，即，
，即，
联立，解得或
经检验，不符合题意，舍去．故选C.
【答案】C
2．已知直线分别与函数和交于两点，则之间的最短距离是(　　)
A. B. C. D.
【解析】由得；由得，
∴设，
∴，当时，；当时，；
∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴.
【答案】D
3．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则________.
【解析】由题意知，当时，的最大值为.
令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
∴，解得.
【答案】1
4．已知函数在上有最大值，则实数的取值范围是________．
【解析】由，知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
∴函数在上存在最大值的条件为，其中，即为，整理得，即，即
即，解得.
【答案】
5．已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）是否存在实数，使得函数在上的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】由题意，知函数的定义域为，．
（1）由，解得，∴函数的单调递增区间是；
由，解得，∴函数的单调递减区间是.
∴当时，函数有极小值，无极大值．
（2）不存在，理由如下：
由（1）可知，当时，单调递减；当时，f(x)单调递增．
若，即时，函数在上为增函数，∴函数的最小值为，不符合题意．
若，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，
∴函数的最小值为的极小值，即，解得，与矛盾，不符合题意．
若，即时，函数在上为减函数，∴函数的最小值为，解得，与矛盾，不符合题意．
综上所述，不存在这样的实数，使得函数在上的最小值为0.
6．已知函数，其中为常数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，求的最大值．
【解析】（1）函数的定义域为，，
当，即时，
当或时，，∴在和上单调递增，
当时，，∴在上单调递减．
当，即时，，∴在上单调递增．
当，即时，
当或时，，∴在和上单调递增，
当时，，则在上单调递减．
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）∵，
∴在上的最大值等价于在上的最大值．
由，得
∴
令，则.
由（1）可知当时，在上单调递减，∴，
∴，即在上单调递减，
∴，∴在上单调递增，
∴，
∴的最大值为.

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