资源简介

变式题库
知识点 交集
【正确答案】 B
【试题解析】
已知集合M＝{x|﹣4＜x≤2}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（　　）
A.{2} B.{x|﹣4＜x≤﹣2}
C.{x|﹣4＜x≤2} D.{x|﹣2≤x≤2}
【正确答案】 B
已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C
设集合集合，则集合
A.{1，3，1，2，4，5} B.
C. D.
【正确答案】 B
已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A
已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B
集合，，求（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A
知识点 复数的乘除和乘方,共轭复数
【正确答案】 C
【试题解析】
已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B
若(是虚数单位)，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B
已知复数的共轭复数为，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A
已知复数（为虚数单位），复数为的共轭复数，则
A. B. C. D.
【正确答案】 C
已知复数，则（ ）
A. B. C. D.2
【正确答案】 D
设i为虚数单位，则复数的共轭复数等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 C
知识点 圆锥
【正确答案】 B
【试题解析】
已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的高为（ ）
A.1 B. C.5 D.2
【正确答案】 B
已知圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B
已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】 C
从半径为6cm的圆形纸片上剪下一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥接缝处不重叠，那么这个圆锥的高为　　
A. B. C. D.
【正确答案】 D
一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是
A. B. C. D.
【正确答案】 C
用一个半径为2cm的半圆围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（ ）
A.1cm B.2cm C. D.
【正确答案】 A
知识点 正弦函数的单调性
【正确答案】 A
【试题解析】
函数在下列区间内递减的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D
已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A
已知函数，则下列区间中在其上单调递增的是
A. B. C. D.
【正确答案】 D
函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是
A. B. C. D.
【正确答案】 A
若函数在区间上单调递减，则实数的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B
函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】 D
知识点 基本（均值）不等式求最值,椭圆的定义
【正确答案】 C
【试题解析】
椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点，且最大值取值范围为（其中），则椭圆M的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A
已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【正确答案】 B
已知P是椭圆上任意一点，F1 F2是焦点，则∠F1PF2的最大值是（ ）
A.60° B.30° C.120° D.90°
【正确答案】 A
已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D
已知点M是椭圆上任意一点，两个焦点分别为，若的最大值为8，则a的值为（ ）
A.8 B.4 C. D.2
【正确答案】 C
知识点 同角三角函数的基本关系,二倍角公式,二倍角的正弦公式,三角恒等变换的应用
【正确答案】 C
【试题解析】
已知，则（ ）
A.2 B.-2 C.0 D.
【正确答案】 B
已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A
若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 A
若，则（ ）
A. B. C. D.0
【正确答案】 D
已知，则的值为（ ）
A.1 B. C. D.
【正确答案】 A
已知，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 B
知识点 导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,导数在函数中的其他应用
【正确答案】 D
【试题解析】
已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D
已知函数，则曲线过点的切线有（ ）
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
【正确答案】 C
已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C.（0，1） D.
【正确答案】 B
若过点可以作曲线的三条切线，则（ ）
A. B. C. D.或
【正确答案】 B
若过第一象限的点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 D
经过点作曲线的切线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【正确答案】 C
知识点 事件的独立性
【正确答案】 B
【试题解析】
从一副52张的扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，设事件为“抽到黑色牌”，事件为“抽到黑桃牌”，事件为“抽到”，则（ ）
A.事件与事件相互独立，事件与事件相互独立
B.事件与事件相互独立，事件与事件不相互独立
C.事件与事件不相互独立，事件与事件相互独立
D.事件与事件不相互独立，事件与事件不相互独立
【正确答案】 C
抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（ ）
A.相互独立 B.互斥
C.既相互独立又互斥 D.既不相互独立又不互斥
【正确答案】 A
一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．记事件“第一次摸出球的标号小于”， 事件“第二次摸出球的标号小于3”，事件“摸出的两个球的标号之和为6”，事件“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则（ ）
A.与相互独立 B.与相互独立
C.与相互独立 D.与相互独立
【正确答案】 C
下列事件A,B是独立事件的是(　　)
A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”
B.袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
【正确答案】 A
抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是
A.“两次得到的点数和是12” B.“第二次得到6点”
C.“第二次的点数不超过3点” D.“第二次的点数是奇数”
【正确答案】 A
分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，有下列三个命题：
①事件A与事件B相互独立；
②事件B与事件C相互独立；
③事件C与事件A相互独立．
以上命题中，正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
【正确答案】 D
知识点 平均数,极差、方差、标准差
【正确答案】 C D
【试题解析】
一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，下列说法正确的是（ ）
A.平均数是3 B.平均数是8 C.方差是11 D.方差是36
【正确答案】 BD
2020年3月6日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军.辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ）
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
【正确答案】 BCD
若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（ ）
A.a的值为-2
B.乙组样本数据的方差为36
C.两组样本数据的样本中位数一定相同
D.两组样本数据的样本极差不同
【正确答案】 ABD
已知一组数据，，，，的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（ ）
A.，，，，的平均数为3
B.，，，，的方差为2
C.，，，，的方差为8
D.，，，，的方差为8
【正确答案】 ABCD
若一组数据：的平均值为2，方差为3，则关于数据说法正确的是（ ）
A.平均值为-2 B.方差为6 C.平均值为4 D.方差为12
【正确答案】 AD
数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为，若为不等于0的常数，，，…，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 BC
知识点 平面向量的数量积,两角和与差的余弦公式,二倍角的余弦公式,数量积的坐标表示,向量的模
【正确答案】 A C
【试题解析】
已知，，，，，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
【正确答案】 AC
已知向量，，，则下列结论正确的有（ ）
A. B.若，则
C.的最大值为2 D.的最大值为3
【正确答案】 AC
已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则 B.的最大值为
C.的最大值为 D.存在唯一的使得
【正确答案】 AD
设，已知两个向量，，则向量长度的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】 ABC
已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A.的最大值为 B.若，则
C.若是与共线的单位向量，则 D.当取得最大值时，
【正确答案】 AD
知识点 直线与圆的位置关系,圆的切线方程
【正确答案】 A C D
【试题解析】
已知点在圆：上，点，，则下列说法中正确的是（ ）
A.点到直线的距离小于6 B.点到直线的距离大于2
C.的最大值为 D.的最大值为
【正确答案】 BCD
已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A.圆和圆有两条公切线
B.直线的方程为
C.圆上存在两点和使得
D.圆上的点到直线的最大距离为
【正确答案】 ABD
已知圆：，若直线垂直于圆的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则（ ）
A.2 B.4 C.6 D.10
【正确答案】 AD
已知直线，是直线上的任意一点，直线与圆相切．下列结论正确的为（ ）
A.的最小值为 B.当，时，的最小值为
C.的最小值等于的最小值 D.的最小值不等于的最小值
【正确答案】 ABC
已知点，若过点的直线交圆：于，两点，是圆上一动点，则（ ）
A.的最小值为 B.到的距离的最大值为
C.的最小值为 D.的最大值为
【正确答案】 ABD
若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r可以取值（ ）
A. B.5 C. D.6
【正确答案】 ABC
知识点 柱、锥、台的体积,证明异面直线垂直,线面垂直的判定,空间向量运算的坐标表示
【正确答案】 B D
【试题解析】
在正方体中，点在线段上运动，则（ ）
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【正确答案】 ABD
在棱长固定的正方体中，点E，F分别满足，，则（ ）
A.当时，三棱锥的体积为定值
B.当时，存在使得平面
C.当时，点A，B到平面的距离相等
D.当时，总有
【正确答案】 ACD
在正三棱柱中，，，点D为BC中点，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.三棱锥的体积为
C.且平面
D.内到直线AC、的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分
【正确答案】 ABD
在棱长为1的正方体中，已知E为线段的中点，点F和点P分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A.当λ=时，三棱锥P-EFD的体积为定值
B.当 =时，四棱锥P-ABCD的外接球的表面积是
C.的最小值为
D.存在唯一的实数对，使得EP⊥平面PDF
【正确答案】 ACD
如图，在长方体中，分别是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.平面
C.若点在平面内，且平面，则线段长度的最小值为
D.若点在平面内，且，则线段长度的最小值为
【正确答案】 ABD
知识点 函数的奇偶性
【正确答案】 1
【试题解析】
已知函数是偶函数，则___________.
【正确答案】
若函数为偶函数，则___________.
【正确答案】 1
已知为偶函数，则___________．
【正确答案】
若函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为___________．
【正确答案】
对于函数，若，则__________．
【正确答案】 2
若函数（其中）为偶函数，则_____________.
【正确答案】
知识点 抛物线的定义,根据抛物线方程求焦点或准线
【正确答案】
【试题解析】
直线与抛物线交于，两点，若线段被点平分，则抛物线的准线方程为__________.
【正确答案】
已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，且，若，则______.
【正确答案】
设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________．
【正确答案】
已知抛物线过点，则抛物线的准线方程为______.
【正确答案】
抛物线：的焦点为，其准线与轴的交点为，如果在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是___________.
【正确答案】
已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点.若，则的值等于________.
【正确答案】
知识点 利用导数研究函数的单调性,函数的最值
【正确答案】 1
【试题解析】
函数在上的最大值是____．
【正确答案】
函数的最小值为__________．
【正确答案】
函数在的最大值为________.
【正确答案】
函数的最小值是_____．
【正确答案】
函数的最大值为___________.
【正确答案】
已知函数f(x)＝，当x∈(－∞，m]时，f(x)∈，则实数m的取值范围是________.
【正确答案】
知识点 数列求和,归纳推理
【正确答案】
【试题解析】
“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则____________，____________.
【正确答案】 220
纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以、、、、、…等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①、、、…、所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格.现有、、、…、纸各一张.若纸的宽度为，则纸的长度为______；、、…、八张纸的面积之和等于______.
【正确答案】 8
“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的，第层的货物的价格为______，若这堆货物总价是万元，则的值为______.
【正确答案】 6
如图甲是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽.它的主题图案是由一连串如图乙所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺线，记、、、、的长度组成数列，且则____________，数列的前项和为____________.
【正确答案】
等比数列中，分别是下表一 二 三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
则数列的通项公式为__________；若数列满足，当为偶数时，数列前项和为__________．
【正确答案】
九连环是中国的一种古老智力游戏，它环环相扣，趣味无穷.长期以来，这个益智游戏是数学家及现代电子计算机专家们用于教学研究的课题和例子.中国的末代皇帝溥仪(1906–1967)也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环(如图).现假设有个圆环，用表示按某种规则解下个圆环所需的最小移动次数.已知数列满足下列条件：，，，记的前项和为，则：（1）________；（2）________.
【正确答案】 .
知识点 递推数列,等差数列及其通项公式,等差数列的前n项和
【正确答案】
【试题解析】
在数列中，，点在直线上
（1）求数列的通项公式；
（2）记 ，求数列的前n项和．
【正确答案】 (1)；(2).
已知数列中，，．
（1）求，，及数列的通项公式；
（2）设，求及．
【正确答案】 （1），，；；（2），
已知数列中，，，且满足.
（1）设，证明：是等差数列；
（2）若，求数列的前项和.
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）.
已知函数，数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求.
【正确答案】 （1）；（2）.
已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）．
已知数列满足
（1）求的值，猜想数列的通项公式不需要证明).
（2）令，求数列前项的和
【正确答案】 （1），猜想；（2）.
知识点 离散型随机变量的分布列,离散型随机变量的均值
【正确答案】
【试题解析】
某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步篮两个项目.每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步篮考核合格得6分，否则得0分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进行三步篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合格的概率为0.8，三步篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的概率与考核次序无关.
（1）若小明先进行定点投篮考核，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行哪个项目的考核？并说明理由.
【正确答案】 （1）分布列答案见解析；（2）小明应选择先进行定点投篮考核，理由见解析.
为加强防疫宣传，某学校举行防疫知识问答竞赛，竞赛共有两类题，第一类是5个中等难度题，每答对一个得10分，答错得0分，第二类是数量较多、难度相当的难题，每答对一个得20分，答错一个扣5分．每位参加竞赛的同学从这两类题中共抽出4个回答（每个题抽后不放回），要求第二类题中至少抽2个．学生小明第一类5题中有4个答对，第二类题中答对每个问题的概率都是．
（1）若小明选择从第一类题中抽两个题，求这次竞赛中，小明共答对3个题的概率；
（2）若小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，根据得分期望给他建议，后面三个题应该选择从第二类题中抽出多少个题回答？
【正确答案】 （1）；（2）第二类题目中选道.
绿水青山就是金山银山，生态环境日益受大家重视．2021年广州市某公司为了动员职工积极参加植树造林，在3月12日植树节期间开展植树有奖活动，设有甲、乙两个摸奖箱，每位植树者植树每满15棵获得一次甲箱内摸奖机会，植树每满25棵获得一次乙箱内摸奖机会．每箱内各有10个球（这些球除颜色外全相同），甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中个红球、个黄球、5个黑球（），乙箱内有4个红球和6个黄球．每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金．
（1）经统计，每人的植树棵数服从正态分布，现有100位植树者，请估计植树的棵数在区间内的人数（结果四舍五入取整数）；
（2）某人植树50棵，有两种摸奖方法：方法一：三次甲箱内摸奖机会；方法二：两次乙箱内摸奖机会；请问：这位植树者选哪一种方法所得奖金的期望值较大？
附参考数据：若，则，．
【正确答案】 （1）人；（2）第二种方法所得奖金期望值大.
某商店欲购进某种食品（保质期为两天），且该商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品是刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响.为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量，如下表：
销售量(份) 15 16 17 18
天数 20 30 40 10
（1）根据该食品在本地区100天的销售量统计表，记两天一共销售该食品的份数为，求的分布列与数学期望；（视样本频率为概率）
（2）以两天内该食品所获得的利润的数学期望为决策依据，若该商店计划一次性购进32份或33份该食品，试判断哪一种获得的利润更高.
【正确答案】 （1）分布列见解析，32.8；（2）当一次性购进32份该食品时，获得的利润更高.
某品牌餐饮企业为满足人们餐饮需求 丰富产品花色 提高企业竞争力，研发了一款新产品.该产品每份成本元，售价元，产品保质期为两天，若两天内未售出，则产品过期报废.由于烹制工艺复杂，该产品在最初推广阶段由企业每两天统一生产 集中配送一次.该企业为决策每两天的产量，选取旗下的直营连锁店进行试销，统计并整理连续天的日销量(单位：百份)，假定该款新产品每日销量相互独立，得到右侧的柱状图：
（1）记两天中销售该新产品的总份数为(单位：百份)，求的分布列和数学期望；
（2）以该新产品两天内获得利润较大为决策依据，在每两天生产配送百份 百份两种方案中应选择哪种？
【正确答案】 （1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）选择每两天生产配送百份.
在我国，月日的月日数恰好与火警电话号码相同，而且这一天前后，正值风干物燥、火灾多发之际，全国各地都在紧锣密鼓地开展冬季防火工作，为增加全民的消防安全意识，于年发起，公安部将每年的月日定为全国的“消防日”．为切实提高中学生消防安全知识，增强火灾的应对能力，某市特举办以“消防安全进万家，平安相伴你我他”为主题的知识竞赛，甲、乙同学将代表学校参加．为取得好成绩，二人在消防知识题库中各随机选取题练习，每题答对得分，答错得分，练习结果甲得分，乙得分．若以二人练习中答题正确的频率作为竞赛答题正确的概率，回答下列问题．
竞赛第一环节，要求甲乙二人各选两题做答，每题答对得分，答错不得分，求甲乙二人得分和的概率分布列和期望；
第二环节中，要求二人自选两道题或四道题做答，要求一半及一半以上正确才能过关，那么甲乙二人怎样选择，各自过关的可能性较大．
【正确答案】 分布列见解析，数学期望为；甲选道题，乙选道题．
知识点 正弦定理,正、余弦定理在几何中的应用
【正确答案】
【试题解析】
已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的值；
（2）若，求的取值范围．
【正确答案】 （1）；（2）.
在中，，，分别是角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．
【正确答案】 （1）；（2）.
在中，内角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若是线段上的点，，，求的长．
【正确答案】 （1）；（2）．
已知在中，角，，的对边分别为，，，，．
（1）求的值；
（2）若点线段上的一点满足，求的值．
【正确答案】 （1）；（2）．
设三角形的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，且三角形是锐角三角形，求的值
【正确答案】 （1）或；（2）5.
已知的三个内角，，的对边分别为，，满足.
（1）求；
（2）若，，角的角平分线交边于点，求的长.
【正确答案】 （1）；（2）.
知识点 柱、锥、台的体积,二面角,线面垂直的性质,面面垂直的性质
【正确答案】
【试题解析】
如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
【正确答案】 （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
如图所示，在三棱锥A BCD中，CD⊥BD，AB＝AD，E为BC的中点.
(1)求证：AE⊥BD；
(2)设平面ABD⊥平面BCD，AD＝CD＝2，BC＝4，求三棱锥D ABC的体积．
【正确答案】 （1）见解析（2）
如图，已知正四棱锥底面边长为，高，过且与平行的平面交于点．
（1）求证：，；
（2）求三棱锥的体积．
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为2的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）4．
如图①，在等腰梯形中，分别为的中点为中点,现将四边形沿折起，使平面平面，得到如图②所示的多面体，在图②中.
（1）证明：；
（2）求三棱锥的体积．
【正确答案】 （Ⅰ）见解析（Ⅱ）
知识点 双曲线标准方程的求法,双曲线中的定点、定值
【正确答案】
【试题解析】
已知双曲线以、为焦点，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线与双曲线相交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程.
【正确答案】 （1）；（2）或.
在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和为，设点的轨迹为曲线.
（1）写出的方程；
（2）设过点的斜率为（）的直线与曲线交于不同的两点,，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围.
【正确答案】 （1）（2）
已知动圆与圆和圆都外切．
（1）证明动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支，并求其方程；
（2）若直线AB与轨迹C交于A，B两点．，记直线AQ和BQ的斜率分别为，，且，于点P．证明：存在点N，使得为定值．
【正确答案】 （1）证明见解析，()；（2）证明见解析.
在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，．交曲线于，两点，交曲线于，两点，线段的中点为，线段的中点为．证明：直线过定点，并求出该定点坐标．
【正确答案】 （1）（2）直线过定点，证明见解析.
已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
【正确答案】 （1）；（2）存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）四边形的四个顶点均在双曲线C上，且，轴，若直线和直线交于点，四边形的对角线交于点D，求点D到双曲线C的渐近线的距离之和.
【正确答案】 （1）；（2）.
知识点 利用导数研究函数的单调性,导数在函数中的其他应用,导数中的极值偏移问题
【正确答案】
【试题解析】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当,为两个不相等的正数，证明：.
【正确答案】 （1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数； （2）见解析.
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数（为自然对数的底数）在区间内的零点为，记（其中表示，中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，，证明：.
【正确答案】 （1）答案见解析；（2）证明见解析.
已知函数
讨论函数的单调性；
设，若不相等的两个正数满足，证明：．
【正确答案】 （1）见解析； （2）见解析.
已知函数.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若有两个极值点，求证：.
【正确答案】 （1）答案见解析；（2）证明见解析.
已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设函数，若存在不相等的实数，，使得，证明：．
【正确答案】 （1）见解析；（2）详见解析.
设函数.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.
【正确答案】 （1）见解析；（2）见解析.
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题　 　高三变式题库　
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题　 　高三变式题库　
1/91
答案解析
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题　 　高三变式题库　
46/91
/91
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
求出函数y＝的定义域，得到集合N，再利用集合的交集的定义求解．
详解:
集合N＝{x|y＝}＝{x|（x+2）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥4}，
∴M∩N＝{x|﹣4＜x≤-2}．
故选：B．
【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
由交集定义计算．
详解:
根据集合交集定义运算即可．
因为，，所以．
故选：C
【正确答案】 B
【试题解析】 略
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用交集运算求解.
详解:
∵，，
∴．
故选：A．
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
化简集合，根据交集的概念计算可得结果.
详解:
由得，得或，
所以或，
因为，
所以或.
故选：B
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据函数的定义域分别求出集合A、B，再根据交集的运算即可得出答案.
详解:
解：
，
，
所以.
故选：A.
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
直接化简即可
详解:
解：因为，
所以.
故选：B
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据复数的乘法运算，即可.
详解:
解：
,
故选B.
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据共轭复数的概念及复数的乘法运算，求即可.
详解:
由题设知：.
故选：A
【正确答案】 C
【试题解析】 详解:
∵，
∴．选C．
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
首先根据题意得到，再计算即可.
详解:
由题知：，
所以.
故选：D
【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
先化简求出，即可得出共轭复数.
详解:
，.
故选：C.
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据侧面展开图求出底面圆的半径，进而结合母线长，求出锥体的高．
详解:
圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，该扇形弧长为，即底面圆周长，
设圆锥的底面半径为r，根据题意，得，解得，
根据勾股定理，得圆锥的高为，
故选：B
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由展开图扇形的弧长即为底面周长，求出底面半径，再由勾股定理求出高，从而求出轴截面面积；
详解:
解：因为圆锥的母线长为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，所以圆锥的底面周长为，所以底面半径为，高为，所以轴截面面积为
故选：B
【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
详解:
解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由，得，
又，
所以，解得；
所以圆锥的高为，
所以圆锥的体积为．
故选：C．
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
先设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，由题意得出母线长和底面圆半径，即可求出结果.
详解:
设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，则母线长为，如图所示；
由，所以扇形的弧长为，解得；
所以圆锥的高为．
故选D．
点睛:
本题主要考查圆锥的计算，熟记公式即可，属于基础题型.
【正确答案】 C
【试题解析】 详解:
设圆锥的母线长为R，底面半径为r，
则：πR=2πr，
∴R=2r，
∴母线与底面所成角的余弦值==，
∴母线与底面所成角是60°．
故选C．
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据弧长公式，结合圆锥的性质进行求解即可.
详解:
因为用一个半径为2cm的半圆围成一个圆锥，所以半圆长为，
所以圆锥底面圆的半径为：，
故选：A
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
由每个选项中的取值范围，计算出的取值范围，利用正弦函数的单调性判断即可.
详解:
对于A选项，当时，，正弦函数在区间上不单调，则函数在区间上不单调；
对于B选项，当时，，正弦函数在区间上不单调，则函数在区间上不单调；
对于C选项，当时，，正弦函数在区间上不单调，则函数在区间上不单调；
对于D选项，当时，，正弦函数在区间上单调递减，则函数在区间上单调递减.
故选：D.
点睛:
本题考查正弦型函数在区间上单调性的判断，一般要结合的取值范围，计算出角的取值范围，结合正弦函数的单调性来判断，考查推理能力，属于中等题.
【正确答案】 A
【试题解析】 详解:
由题意可得,
，
，
，．故A正确．
考点：三角函数单调性．
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
先由辅助角公式及两角和的正弦公式可得，再结合正弦函数求其单调增区间，再利用集合间的包含关系即可得解.
详解:
解：，
由，，
可得，.当时，函数在上单调递增.又，
即函数在为增函数，
故选:D.
点睛:
本题考查了三角恒等变换及三角函数的单调区间，重点考查了辅助角公式，属中档题.
【正确答案】 A
【试题解析】 详解:
∵函数
∴
令，则.
∴当时，，即函数的一个单调增区间为.
故选A.
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
将函数化为，求出的范围，再根据正弦函数的单调性列出不等式组，即可得出答案.
详解:
解：，
因为，则，
又因函数在区间上单调递减，
所以，解得.
当时，.
故选：B.
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
详解:
由题得，
所以函数的单调递增区间就是函数的减区间.
令
所以函数的增区间为.
故选：D
点睛:
本题主要考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据基本不等式可得的最大值，根据题意，列出不等式，即可求得答案.
详解:
由基本不等式及椭圆定义可知，
的最大值为，
由题意知，
，.
故选：A
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
由题意求出的值，结合不等式的知识可得的最小值.
详解:
解：由题意双曲线和椭圆有相同的焦点，
，
当且仅当即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
点睛:
本题主要考察椭圆、双曲线的性质及基本不等式性质的应用，考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据余弦定理有，结合基本不等式求最值，进而可得∠F1PF2的最大值.
详解:
由椭圆方程知：，即，
∴在△中，，
∴令，则，当且仅当时等号成立.
又，所以∠F1PF2的最大值为60°.
故选：A
点睛:
关键点点睛：由余弦定理得到关于的关系，再结合椭圆定义以及基本不等式求最值.
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
计算出的取值范围，结合椭圆的定义可求得的取值范围.
详解:
对于椭圆，，，，
根据椭圆的定义可得，
设，则，且，即，
则
所以，.
故选：D.
点睛:
本题考查利用椭圆的定义求解代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
有椭圆的定义知，，
再利用基本不等式可得，即可得a的值.
详解:
由，所以，
当且仅当时取等号，故，所以．
故选：C
点睛:
本题考查了椭圆的定义和基本不等式，属于基础题.
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
根据，利用诱导公式和商数关系求解.
详解:
因为，
所以，
，
，
故选：B
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
由二倍角公式变形后，弦化切转化为正切的式子代入计算．
详解:
因为，
所以
故选：A．
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
利用二倍角公式转化后进行弦化切，代入即可求解.
详解:
由题知，
.
故选：A.
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据两角差的正弦、余弦公式、诱导公式，化简计算，可得的值，即可得答案.
详解:
原式，
整理得，所以
故选：D
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据，利用商数关系求解.
详解:
因为，
所以，
所以 ，
故选：A
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
结合同角三角函数的基本关系式求得正确结论.
详解:
.
故选：B
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围.
详解:
设过点的直线为，
，设切点为，
则 ，得有三个解，
令，，
当，得或，，得，
所以在，单调递增，单调递减，
又，，有三个解，
得，即.
故选：D
点睛:
方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
设切点坐标，利用导数的几何意义列方程求切点坐标，由此可得切线的条数.
详解:
设切点为A，直线AP的斜率为k,则，
又，，
∴
又方程的判别式为，且，
∴ 方程有两个不同的解，
∴ 曲线过点的切线有两条，
故选：C.
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
设切点分别为和(s，t)，再由导数求得斜率相等，得到构造函数由导数求得参数的范围．
详解:
的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为又，即有，即为，即有则有
即为令则，
当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，
故选:B
【正确答案】 B
【试题解析】 分析:
切点，写出切线方程，结合切线过点，整理成关于的方程有三个不同的实根，结合函数单调性求解.
详解:
设切点，切线方程，
切线过点，，
整理得：，由于可以作三条切线，
所以关于的方程有三个不同的实根，
，，令，
或.
函数的增区间为，减区间为，
所以函数极大值，极小值，
关于的方程有三个不同的实根，
所以，所以.
故选：B
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
首先设切点，利用导数的几何意义，列式，并转化为函数有2个零点，利用导数判断函数的性质，即可判断选项.
详解:
设切点，则，
得，
设，由条件可知，函数存在两个零点，
，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，若函数有2个零点，
则.
故选：D
【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
设出切点坐标，写出切线方程
把代入，研究方程根的情况即可.
详解:因为，
设切点为，所以曲线在点处的切线方程为.
将代入，得
即：或，
所以，此时，切点为；或
因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条.
故选：C.
【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
根据相互独立事件的判定方法，分别判定事件与，与之间的关系，即可求解.
详解:
由题意，从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，设事件为“抽到黑色牌”，事件为“抽到黑桃牌”，事件为“抽到”，
可得，所以，又由，
则，所以事件与事件不是独立事件；
又由，所以，又由，
所以，所以事件与事件是独立事件.
故选：C.
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
根据相互独立事件、互斥事件的知识确定正确选项.
详解:
由于表示“向上的点数为1”，所以不是互斥事件.
，
所以，
所以是相互独立事件，不是互斥事件.
故选：A
【正确答案】 C
【试题解析】 分析:
先利用古典概率公式分别计算，，，，，， ，，再利用相互独立事件的概率公式逐一判断四个选项即可得正确选项.
详解:
设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，
全部的基本事件有：，，，，，，，，，
，，，共个，
事件发生包含的基本事件有：，，，，，有个，
事件发生包含的基本事件有：，，，，，有个
所以，
事件发生包含的基本事件：，有个，，
事件发生包含的基本事件：，，，有个，，
事件发生包含的基本事件：，有个，，
因为，所以与相互独立不正确，故选项A不正确；
事件发生包含的基本事件：，，有个，，
因为，所以与相互独立不正确，故选项B不正确；
事件发生包含的基本事件：有个，所以，
因为，所以与相互独立，故选项C正确；
事件发生包含的基本事件：，，有个，所以，
因为，所以与相互独立不正确，故选项D不正确；
故选：C.
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.
详解:
对于A选项，两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，事件发生时，影响到事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到岁的，可能也能活到岁，故不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.
点睛:
本小题主要考查相互独立事件的概念以及相互独立事件的识别，属于基础题.
【正确答案】 A
【试题解析】 分析:
利用独立事件的概念即可判断．
详解:
“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，
而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立，
故选A．
点睛:
本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题．
【正确答案】 D
【试题解析】 分析:
根据相互独立事件的定义可判断两两独立．
详解:
，，，
，
因为，故相互独立；
因为，故相互独立；
因为，故相互独立；
综上，选D.
点睛:
判断两个事件是否相互独立，可以根据实际意义来判断（即一个事件的发生与否不影响另一个事件的发生），也可以根据来确定两个事件是相互独立的.
【正确答案】 BD
【试题解析】 分析:
利用平均数和方差的线性关系直接求解.
详解:
设：，，，…，的平均数为，方差为，则，.
所以，，…，的平均数为，
方差为.
故选：BD.
【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
由中位数、平均数、方差、极差的概念逐项判断即可得解.
详解:
因为5个有效评分是7个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，所以中位数不变，平均数、方差、极差可能发生变化，
所以可能变化的数字特征是平均数、方差、极差.
故选：BCD.
点睛:
本题考查了样本数字特征的辨析，牢记知识点是解题关键，属于基础题.
【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.
详解:
由题意可知：，故，故A正确；
乙组样本数据方差为，故B正确；
设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；
甲组数据的极差为，则甲组数据的极差为，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确；
故选：ABD.
【正确答案】 ABCD
【试题解析】 分析:
利用平均数和方差的公式逐个分析判断即可
详解:
解：因为数据，，，，的平均数和方差均为2，
所以，
对于A，，，，，的平均数为
所以A正确，
对于B，由A可知，，，，的平均数为3，则其方差为
所以B正确，
对于C，，，，，的平均数为4，则方差为
所以C正确，
对于D，，，，，的平均数为6，所以其方差为
所以D正确，
故选：ABCD
【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
利用平均数、方差的概念进行求解即可.
详解:
的平均值为2，方差为3，
即
则
，故A正确；
故D正确，
故选：AD.
【正确答案】 BC
【试题解析】 分析:
根据以及平均数、方差的知识确定正确选项.
详解:
由于，所以，且.
故选：BC
【正确答案】 AC
【试题解析】 分析:
由已知条件两边平方相加，消去 得，可知A正确，B错误，再根据角的范围可得，所以C正确，D错误.从而可得答案.
详解:
由已知，得，.
两式分别平方相加，得，
，，A正确，B错误.
，，，，，
，C正确，D错误.
故选：AC.
点睛:
本题考查了平方关系式，考查了两角差的余弦公式的逆用，考查了由三角函数值求角，属于基础题.
【正确答案】 AC
【试题解析】 分析:
先利用平面向量的基本运算得到三角关系，再利用三角函数运算逐一判断即可.
详解:
对于，，正确；
对于，若，则，，错误；
对于，，，，所以当时最大值为2，正确；
对于，
因为，所以，则，即，错误.
故选：AC.
点睛:
本题考查了平面向量的基本运算和三角函数的性质，属于中档题.
【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
根据两向量平行的充要条件即可判断选项A；
又，，从而可判断选项B、C；
若，则，解出的值即可判断选项D．
详解:
解：显然，当时，有，即，所以，选项A正确．
，
因为，，所以，故，
所以当时，取最大值为，选项B错误，
，
因为，，所以，故，
所以当时，取最大值为，选项C错误，
若，则，即，
所以，又，所以，选项D正确．
故选：AD．
【正确答案】 ABC
【试题解析】 分析:
先求出的坐标，再利用坐标求模长，根据三角函数式的范围，得模长范围，便可确定结果.
详解:
由题得，，
，
，，
，
，
长度的取值可以是，，．
故选：ABC．
【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:
设，，利用向量的减法的几何意义可判定A；利用向量的数量积运算法则转化为，可判定B；根据与共线的单位向量有两个相反的方向，可以否定C；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的乘积，转化为求何时向量在向量上的投影最大，利用向量共线且方向相同的坐标表示即可判定D.
详解:
∵，∴是单位向量，设，，则，
当，方向相反，即时取等号，∴的最大值为，故A正确；
等价于即，即，∴，故B错误；
与共线的单位向量为，故Ｃ错误；
最大，当且仅当向量在向量上的投影最大，即向量与同向，亦即，此时，故D正确.
故选：AD
【正确答案】 BCD
【试题解析】 分析:
首先求出线段的中点，即可求出线段的垂直平分线，再由圆心在直线上，即可求出到直线的距离的最值，当的外接圆与圆相内切时，最小，当的外接圆与圆相外切时，最大，数形结合即可求出的最大值；
详解:
解：，，所以线段的中点为，，所以线段的垂直平分线为，即，因为圆：，圆心，半径，
又点恰在直线上，所以点到直线的距离最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
由正弦定理可知，当的外接圆与圆相内切时，最小，此时最大，此时恰在与的一个交点上，由解得或，所以，所以，，所以且，当的外接圆与圆相外切时，最大，此时，故C、D正确；
故选：BCD
【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
A：判断两圆相交可得切线条数；B：两圆相交，做差可得公共弦方程；C：判断弦AB经过圆心，则弦为最长弦，不再存在比AB更长的弦；D：求圆心到直线的距离加半径即为到直线AB的最大距离.
详解:
解：对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
【正确答案】 AD
【试题解析】 分析:由圆心到直线的距离等于半径的可得．
详解:
∵直线垂直于圆的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，
∴圆心到直线的距离等于半径的．
由题意圆心为，半径为，
∴，解得或．
故选：AD．
【正确答案】 ABC
【试题解析】 分析:
利用的几何意义可判断A选项的正误；利用直线与圆相切求得，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，可判断B选项的正误；判断函数在上的单调性，可判断CD选项的正误.
详解:
因为直线与圆相切，则，，可得.
对于A选项，的几何意义为直线上的点到原点的距离，所以，的最小值即为原点到直线的距离，即为，A选项正确；
对于B选项，当，时，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B选项正确；
对于CD选项，因为
，
因为，令，任取，则，
，所以，
，
同理可知，，
所以，，即，故函数在上单调递减，故函数在上无最小值，
因此，的最小值等于的最小值，C选项正确，D选项错误.
故选：ABC.
点睛:
结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义：
（1）：表示点与点连线的斜率；
（2）：表示点到点的距离；
（3）：表示点到直线的距离的倍.
【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
对于A，由圆的性质可得当直线与轴垂直时，有最小值，从而可求出其最小值；对于B，当直线与垂直时，到的距离有最大值；对于C，设，从而可得，进而可求出其最小值；对于D，当，，三点共线时，最大
详解:
如图，当直线与轴垂直时，有最小值，且最小值为，所以A正确；
设，则
所以，所以的最小值为，所以C错误；
当，，三点共线时，最大，且最大值为，所以D正确；
当直线与垂直时，到的距离有最大值，且最大值为，所以B正确.故选：ABD
点睛:
关键点点睛：本题考查直线与圆，考查运算求解能力，解题的关键是由题意画出图形，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于中档题
【正确答案】 ABC
【试题解析】 分析:
首先求得圆心到直线的距离为5，从而得到若圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则或，分析题意，得到结果.
详解:
圆心到直线的距离，半径为，若圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则或，
故当圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，所以，故选：ABC.
点睛:
该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，圆上点到直线距离与半径比较，属于简单题目.
【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
利用线面垂直的定义和线面垂直的判断定理可确定选项A正确，转化顶点，确定底面积和高度均为定值可得三棱锥的体积为定值，考虑极限的情况可得异面直线与所成角的取值范围，建立空间直角坐标系，利用空间向量得到直线与平面所成角的正弦值的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最大值.
详解:
如图所示，由正方体的性质可得，
平面，平面，则，
平面，平面，故平面，
平面，则，
同理可得，
且平面,平面,
从而直线平面，选项A正确；
，因为点在线段上运动，所以，面积为定值，
且到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，故体积为定值，选项B正确；
由，当点与线段的端点重合时，与所成角为；
设的中点为，当点由的端点向中点运动时，为异面直线与所成角，在中，，所以
在中，不变，逐渐变小．所以逐渐增大，
当点与重合时，异面直线与所成角为
所以异面直线与所成角的取值范围是．
所以C不正确．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为1，则，，，，，，，，，
与选项A的方法同理可得平面，所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角的正弦值为，则：
当时，有最大值，即直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
利用正方体的性质可以直接计算时，三棱锥的体积判断A，当时，若平面，可推出与的矛盾，可判断B，时，E是AB中点显然正确，当时，建立空间直角坐标系，设，求出所需各点坐标，计算可判断D正确.
详解:
不妨设正方体的棱长为1，如图，
对于
对于B：要使平面，则必须，又，所以需要，所以E在中点，因为，所以与不垂直，所以不存在，错误；
对于C：因为，所以正确；
对于D：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，
，，所以，，因为，所以，故D正确.
故选：ACD
【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
A．根据空间向量的加减运算进行计算并判断；B．根据，然后计算出对应三棱锥的高和底面积，由此求解出三棱锥的体积；C．先假设，然后推出矛盾；取中点，根据四点共面判断平面是否成立；D．将问题转化为“内到直线和点的距离相等的点”的轨迹，然后利用抛物线的定义进行判断.
详解:
A．，故正确；
B．，因为为中点且，所以，
又因为平面，所以且，所以平面，
又因为，，
所以，故正确；
C．假设成立，又因为平面，所以且，
所以平面，所以，显然与几何体为正三棱柱矛盾，所以不成立；
取中点，连接，如下图所示：
因为为中点，所以，且，所以，所以四点共面，
又因为与相交，所以平面显然不成立，故错误；
D．“内到直线AC、的距离相等的点”即为“内到直线和点的距离相等的点”，
根据抛物线的定义可知满足要求的点的轨迹为抛物线的一部分，故正确；
故选：ABD.
点睛:
方法点睛：求解空间中三棱锥的体积的常用方法：
（1）公式法：直接得到三棱锥的高和底面积，然后用公式进行计算；
（2）等体积法：待求三棱锥的高和底面积不易求出，采用替换顶点位置的方法，使其求解高和底面积更容易，由此求解出三棱锥的体积.
【正确答案】 ACD
【试题解析】 分析:
对于A选项，当时，，只需要证明点到平面的距离恒定，就能说明三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，只需求出四棱锥的外接球的半径即可算出表面积；对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小即可求解；对于D选项，建立空间直角坐标系，利用向量方法来证明即可.
详解:
对于A选项，当时，点为线段的中点，又为线段的中点，故为三角形的中位线，，点在线段运动时，点到平面的距离恒定，故三棱锥的体积为定值；对于B选项，当时，点为正方体的中心，设四棱锥的外接球的半径为，由，解得，故四棱锥的外接球的表面积为对于C选项，把问题转化为在平面内求点使得最小，如图，作点关于线段的对称点，过点作的垂线，垂足分别为和，
则，设，则，故，故
对于D选项，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
易求得，，故，若平面，
则
解得（舍）或故存在唯一的实
数对，使得平面.
故选：.
【正确答案】 ABD
【试题解析】 分析:
连接，，，根据线面垂直的判定定理，先证明面，即可得到；判断A正确；根据A选项，可判断D选项中点的轨迹是直线，求出的最小值，进而可判断D正确；根据线面平行、面面平行的判定定理及性质，可证明B正确，结合B选项，得到C选项中，的轨迹是直线，求出的最小值，即可判定C错.
详解:
解析：连结，，．，，面．又面，故A选项是正确的；
又，，所以面，面，又
面面，又面，面B选项是正确的．
若在平面内，且面，则的轨迹是直线，此时的最小值为时．此时在中，，，，
，，故C选项错误.
面，且，点的轨迹是直线，的最小值是时，即与重合，此时，，选择项是正确的，
故选：ABD．
【正确答案】
【试题解析】 分析:
首先利用奇偶性求得，然后求得.
详解:
依题意是偶函数，所以，
所以，整理得，
所以，
所以，
所以.
故答案为：
【正确答案】 1
【试题解析】 分析:
利用偶函数的性质列方程求a.
详解:
∵函数为偶函数，
∴ ，即
∴
∴
∴
∴ ，
故答案为：1.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据偶函数的定义得：，即可求出的值.
详解:
解：因为是偶函数，所以，
即，
解得，即．
故答案为：.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
先根据偶函数得到，根据在上单调递增判断出，把2-x代入后解不等式即可.
详解:
∵为偶函数，
∴，
∴，即，
∴，
∵在上单调递增，∴，
∵，
∴，解得或，
∴不等式的解集为．
故答案为：.
【正确答案】 2
【试题解析】 分析:
由题设得，易知为奇函数，即可得关于的表达式，进而由已知求值.
详解:
∵，又为奇函数，
∴，即．
故答案为：2
【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据函数为偶函数，利用恒成立，化简式子进而得到答案.
详解:
因为函数为偶函数，
又，
则恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，
即恒成立，所以，又，所以.
故答案为：.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
设，，由点差法建立关系式，可求出，即可求解
详解:
设，，由线段被点平分，可知，
又，，所以，
由题意可知，直线的斜率存在，且为1，
所以，所以，
即，所以.
故抛物线的准线方程为.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
设，进而结合抛物线的定义与已知条件得，进而由解得答案.
详解:
解：设，由题知，，
因为，所以
因为点在上，
所以，解得，
所以，
所以，解得，
故答案为：
【正确答案】
【试题解析】 详解:
试题分析：根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线准线的距离．
解：依题意可知F坐标为（，0）
∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，
∴抛物线准线方程为x=﹣
所以点B到抛物线准线的距离为+=，
故答案为
考点：抛物线的定义；抛物线的简单性质．
【正确答案】
【试题解析】 分析:
代入求解抛物线,再化简成标准形式求解准线方程即可.
详解:
由题, ,故.故抛物线的准线方程为.
故答案为：
点睛:
本题主要考查了根据抛物线上的点抛物线方程以及准线的问题.属于基础题.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据题意求出点、的坐标，设出点坐标，由垂直关系得，再利用建立关于的不等式即可求解.
详解:
解：由题意，，，
∵在直线上，设点，
∴，，
又，
∴，即，
∴，解得或，
又，
∴的取值范围是.
故答案为：.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
过点作垂直于准线于点，根据已知条件可得，可得，设准线与轴相交于点，根据，即可求得的值.
详解:
抛物线：的焦点为坐标为，准线为
过点作垂直于准线于点，
由抛物线的定义知，
因为，所以，
所以，可得，
设准线与轴相交于点，则，，
在中，，所以，
所以的值等于．
故答案为：．
【正确答案】
【试题解析】 分析:
求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．
详解:
函数，，令，解得．
因为，函数在上单调递增，在单调递减；
时，取得最大值，．
故答案为．
点睛:
本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．
【正确答案】
【试题解析】 分析:
（1） 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值．
详解:
，
当时，
当时，
所以在上递减，在递增，
所以函数在处取得最小值，即．
点睛:
本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 ．
【正确答案】
【试题解析】 分析:
利用导数得到函数单调性，即可求解.
详解:
解：,
当时，，原函数单调递增，
当时，，原函数单调递减，
所以，
故答案为：.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
对求导，讨论函数的单调性，求函数的极小值即为最小值.
详解:
，令，则时，时，在上单调递减，在上单调递增.是函数的唯一极小值点，即为最小值点，.
故答案为: .
点睛:
本题考查利用导数求函数的单调性和最值，属于基础题.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
由题去绝对值分情况讨论，分别求导求最值，即可求得最大值.
详解:
由题知当时，，
∴
∴在为减函数，
∴；
当时，，
∴，
∴当时，，当时，，
∴，
综上可知，.
故答案为：.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数进行讨论．
详解:
当时，，
令，则或；，则，
函数在上单调递减，在单调递增，
函数在处取得极大值为，
在出的极小值为.
当时，，
综上所述，的取值范围为
故答案为：
【正确答案】 220
【试题解析】 分析:
首先根据杨辉三角得到，然后计算；接着利用裂项相消对进行求和.
详解:
解法一
由题意知，
.
.
解法二 由题意知，所以.
.
故答案为：220，
点睛:
本题主要考查组合数的运算性质及数列裂项求和，属于中档题目.
【正确答案】 8
【试题解析】 分析:
可设的纸张的长度为，则数列成以为公比的等比数列，设的纸张的面积，则数列成以为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列的首项，并利用等比数列的求和公式求出答案.
详解:
可设的纸张的长度为，面积为，
的长度为，所以数列是以为公比的等比数列，
纸的宽度为，则，纸的长度为
所以纸的长度为
所以，纸的面积为，
又，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此，这8张纸的面积之和等于.
故答案为：；.
点睛:
本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
【正确答案】 6
【试题解析】 分析:
由题意可得第层的货物的价格为，根据错位相减法求和即可求出.
详解:
解：由题意可得第n层的货物的价格为，
设这堆货物总价是
，①，
则，②，
由① ②可得
，
，
∵这堆货物总价是万元，
，
故答案为：；.
点睛:
本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据勾股定理可得出，可得出为等差数列，求出的通项公式，可求得，利用裂项相消法可求得数列的前项和.
详解:
是以为直角的直角三角形，由勾股定理可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
，，所以，.
则
因此，数列的前项和为
故答案为：；.
点睛:
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于型数列，利用分组求和法；
（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.
【正确答案】
【试题解析】 分析:
根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到，，；
由，
利用分组求和可得答案.
详解:
当时，则，或，显然不合题意；
当时，当且仅当，时，符合题意；
当时，，或，显然不合题意.
因此，，；公比，故
则
则
故答案为：；.
【正确答案】 .
【试题解析】 分析:
分为偶数和为奇数两种情况，由题中条件，利用叠加法，由等比数列的求和公式，求出数列的通项，即可求出；再由分组求和的方法，即可求出.
详解:
（1）当为偶数时，
；
当为奇数时，
∴
（2）
故答案为：；.
点睛:
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据题中条件，讨论为奇数和为偶数两种情况，利用叠加法（累加法）求出数列的通项即可；在求数列的和时，可利用分组求和的方法求解.
【正确答案】 (1)；(2).
【试题解析】 分析:
由条件结合等差数列定义，证明为等差数列，根据等差数列通项公式求数列的通项，(1)由(1)可得，利用裂项相消法求其前n项和.
详解:
(1)∵ 点在直线上，
∴ ，
∴ ，又，
∴ 数列为首项为，公差为的等差数列，
∴ ，
(2)由(1)
【正确答案】 （1），，；；（2），
【试题解析】 分析:
（1）分别令利用递推公式以及可得，，，将递推公式整理可得，可得是常数列，结合其首项即可求得的通项公式；
（2）利用并项求和结合等差数列前项和公式可得；当为偶数时，采用并项求和求，当且为奇数时，，再检验，写成分段的形式即可.
详解:
（1）当时，，
当时，，
当时，，
当时，由可得，
所以，所以是常数列，
又因为，所以，所以，
（2）
，
当为偶数时
，
所以当为偶数时，
当且为奇数时，
，
当时，满足上式，
所以当为奇数时，，
综上所述：
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）由递推关系式可整理得到，由此可证得结论；
（2）由（1）可得，由通项公式可证得为等比数列，由等比数列通项公式可求得，由此得到，采用错位相减法可求得结果.
详解:
（1），
，，
是以为首项，公差的等差数列；
（2）由（1）得：，，
整理可得：，是以为首项，公比的等比数列，
，，
…①，
①得：…②，
得：，
.
点睛:
方法点睛：当数列通项公式满足等差等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和，具体步骤如下：
①列出的形式；
②左右两侧同乘通项中的等比部分的公比，得到；
③上下两式作差得到，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分；
④整理所得式子求得.
【正确答案】 （1）；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）根据函数解析式建立数列的递推关系式，进而求解数列通项即可；
（2）根据（1）所得数列通项公式，运用并项法化简求和即可得出答案.
详解:
由可得，
，
∴，
∴是以为公差的等差数列.
又，∴；
（2）由（1）可得，
.
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）．
【试题解析】 分析:
（1）证明（常数），即得证；
（2）由题得，化简即得解.
详解:
解：（1）数列满足，．
整理得（常数），
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．
（2）由于数列是以为首项，1为公差的等差数列．所以，
所以．
【正确答案】 （1），猜想；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）根据递推关系代入即可得解，根据特征猜想公式；
（2）利用错位相减法求和.
详解:
（1）解，
猜想
（2）由（1）
……..①
……..②，由①-②得
，
所以
【正确答案】 （1）分布列答案见解析；（2）小明应选择先进行定点投篮考核，理由见解析.
【试题解析】 分析:
（1）由已知可得，的所有可能取值为0，4，10，分别计算出概率得分布列；
（2）由（1）求出期望，再求得小明先进行三步篮考核，记为小明的累计得分的分布列，计算出期望，比较期望的大小可得．
详解:
解：（1）由已知可得，的所有可能取值为0，4，10，
则，
，
，
所以的分布列为：
0 4 10
0.2 0.24 0.56
（2）小明应选择先进行定点投篮考核，理由如下：
由（1）可知小明先进行定点投篮考核，累计得分的期望为，
若小明先进行三步篮考核，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为0，6，10，
，
，
，
则的期望为，
因为，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先进行定点投篮考核.
【正确答案】 （1）；（2）第二类题目中选道.
【试题解析】 分析:
（1）小明共答对3个题有两种情况：第一类题目答对道，第二类题答对道或第一类题目答对道，第二类题答对道，分别求概率再相加即可求解；
（2）有两种情况：第一类题目选道，第二类题目选道或第一类题目选道，第二类题目选道，分别计算两种情况下后三道题目得分的期望，即可求解.
详解:
（1）小明共答对3个题有两种情况：
当第一类题目答对道，第二类题答对道时，
第一类题目答对道概率为，第二类题答对道概率为，
此时小明共答对3个题概率为，
当第一类题目答对道，第二类题答对道时，
第一类题目答对道概率为，第二类题答对道概率为，
此时小明共答对3个题概率为，
所以小明共答对3个题的概率为，
（2）由题意知：有以下两种情况：
第一类题目选道，第二类题目选道，
第二类题目答对的数学期望为，答错的期望为，
所以这三道题得分的数学期望为分，
第一类题目选道，第二类题目选道，
由于小明第一个题是从第一类题中抽出并回答正确，则剩下的个题中有个会做，
第一题得分的期望为分，
第二题得分的期望为分，
所以这三道题得分的数学期望为分，
因为，所以应从第二类题目中选道.
点睛:
关键点点睛：本题解题的关键点选对正确的分布模型，才可准确求出概率以及数学期望，作出正确的决策.
【正确答案】 （1）人；（2）第二种方法所得奖金期望值大.
【试题解析】 分析:
（1）根据正态分布三段区间的概率值，求特殊区间概率，进而求得植树在内的人数.
（2）由题设，确定甲箱摸奖的概率，注意参数的取值范围求期望值的最值，再由乙箱摸奖的概率求期望值，比较它们的大小.
详解:
（1）由题设，，而，
∴100位植树者中植树的棵数在内的人数为人.
（2）摸甲箱：由题设知，故中100元、50元、没中奖的概率分别为、、；
摸乙箱：中100元、50元的概率分别为、，
∴甲箱内一次摸奖，奖金可能值为，且，，，则，
∴三次摸奖的期望为，而可能取值为，即.
两次乙箱内摸奖，所得奖金可能值为，
，，，
此时，期望奖金为元.
综上，，故第二种方案摸奖期望值大.
【正确答案】 （1）分布列见解析，32.8；（2）当一次性购进32份该食品时，获得的利润更高.
【试题解析】 分析:
（1）根据题意，两天一共销售该食品的份数为的取值依次为，求出各概率得分布列，再由期望公式计算出期望；
（2）根据（1）的分布列求出购进32份和33份该食品的利润期望，比较可得．
详解:
（1）根据题意，两天一共销售该食品的份数为的取值依次为，
，
，
，
，
，
，
，
所以的分布列为
30 31 32 33 34 35 36
所以.
（2）当一次性购进32份时，利润的数学期望为，
当一次性购进33份时，利润的数学期望为
，
由可知，当一次性购进32份该食品时，获得的利润更高.
【正确答案】 （1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）选择每两天生产配送百份.
【试题解析】 分析:
（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.
（2）分别计算出配送百份、配送百份所获利润，由此作出决策.
详解:
（1）根据题意可得，的所有可能取值为.
的分布列如下：
（2）当每两天生产配送百份时，利润为百元.
当每两天生产配送百份时，利润为.百元.
由于
所以选择每两天生产配送百份.
【正确答案】 分布列见解析，数学期望为；甲选道题，乙选道题．
【试题解析】 分析:
求出甲答题的正确率和乙答题的正确率，设甲乙二人得分和的随机变量为，则的可能取值为，，，，，进而求出相应概率并列分布列，利用数学期望的计算方法计算即可；
分别求出甲乙选题和选道题的过关率，即可判断.
详解:
解：由已知得，甲答题的正确率为，乙答题的正确率为，
设甲乙二人得分和的随机变量为，则的可能取值为，，，，.
则
的分布列为
甲选题，过关率为
甲选题时，过关率为
甲选道题
乙选题，过关率为
乙选题，过关率为
乙选道题.
【正确答案】 （1）；（2）.
【试题解析】 分析:
(1)结合余弦定理可得，根据三角形内角的范围即可得出结果.
(2)根据正弦定理和三角恒等变换可得，利用辅助角公式化简得到，结合三角形内角的范围即可得出结果.
详解:
（1）由，得，即，
所以．因为，所以；
（2）由正弦定理知：，
，
因为,所以，∴,∴.
【正确答案】 （1）；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式结合诱导公式求出，结合角的范围即可求解；
（2）利用余弦定理将表示为关于的二次函数，结合求出的范围，进而可得的取值范围．
详解:
（1）由正弦定理得，
即，
，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
（2）由得，且
由（1）知：，由余弦定理得：
当时，由二次函数的性质知：
的值域为，当且仅当时取等号，此时，所以，即
所以的取值范围为．
【正确答案】 （1）；（2）．
【试题解析】 分析:
（1）由正弦定理化边为角，再由三角函数恒等变换公式变形可求得；
（2）在中分别应用余弦定理可求得．
详解:
（1），由正弦定理得，
，
，是三角形内角，，则，
，因为，所以，即；
（2）设，
中由余弦定理得，即①，
在中②，
中，③
因为，，
所以②×2＋③得④
由①④联立可解得．
所以．
【正确答案】 （1）；（2）．
【试题解析】 分析:
（1）由正弦定理可得，故设，，由余弦定理可求出，再由余弦定理即可求的值；
（2）由题意可得，，计算即可求解.
详解:
（1）由正弦定理可得，故设，，
由余弦定理得：，
所以，
因为，所以，
由余弦定理得：；
（2）因为，所以，所以，
所以.
【正确答案】 （1）或；（2）5.
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理将已知条件边化角即可求解；
（2）由已知，利用余弦定理可求得的值，结合为锐角三角形，则，得，从而可得答案.
详解:
解：在三角形中，由，根据正弦定理得，
又，所以，
因为，所以或．
（2）因为为锐角三角形，所以，
因为，，
所以由余弦定理，得，即，
解得或，
又为锐角三角形，所以，即，所以.
【正确答案】 （1）；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式以及三角形的内角和即可求得角；
（2）利用余弦定理可得的值，进而可求出角，在中，求出、利用正弦定理即可求解.
详解:
（1）由正弦定理化边为角可得：
，
即
所以，
因为，所以
即.因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
代入数据可得：即.解得：或(舍).
所以，所以，
在中，由是的角平分线，得，则，
在中，由正弦定理得：即，
可得：.
【正确答案】 （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【试题解析】 分析:
（Ⅰ）通过证明，证得平面，由此证得.
（Ⅱ）将转化为来求得三棱锥的体积.
详解:
（Ⅰ）∵平面，平面，
∴，
又∵底面为直角梯形，，
∴，
∵，∴平面，
而平面，∴.
（Ⅱ）∵，平面，
∴平面，
∴
点睛:
本小题主要考查线线垂直的证明，考查锥体体积计算，属于中档题.
【正确答案】 （1）见解析（2）
【试题解析】 详解:
试题分析：(Ⅰ)先利用等腰三角形的三线合一证得线线垂直，再利用三角形的中位线得到线线平行和垂直，再利用线面垂直的判定和性质进行证明；(Ⅱ)利用等体积法将所求体积进行等价转化，利用线面垂直的判定得到线面垂直，再利用三棱锥的体积公式进行求解．
试题解析：（Ⅰ）证明：设的中点为，连接，∵，∴，又∵为的中点，∴，∵，∴.
∵，∴平面，又∵平面，∴.
（Ⅱ）解：由已知得三棱锥与的体积相等.
∵，平面⊥平面，∴平面，.
由已知得.
∴三棱锥的体积.
所以，三棱锥的体积为.、
考点：1.空间中垂直关系的转化；2.几何体的体积．
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）
【试题解析】 分析:
（1）由线面平行关系得，再通过证明得到．由三垂线定理得；
（2）先计算，再根据可得所求的体积.
详解:
（1）因为平面，而平面，平面平面，
所以.
由正四棱锥可得四边形为正方形且，
故且为的中点，，
所以，故.
由四边形为正方形可得，又平面，
为在平面内的射影，故，所以.
（2）因为为的中点，故.
点睛:
本题考查线面平行的性质、线线垂直的证明，也考查了三棱锥体积的计算，后者需注意根据几何体的特征进行体积计算的转移.
【正确答案】 （1）证明见解析；（2）4．
【试题解析】 分析:
（1）由等腰三角形的性质可得，而平面平面，则由面面垂直的性质定理可得面，再由线面垂直的性质定理可得，
（2）过点作∥交于．过点作∥交干点，连接，则可得面，由可得三角形为直角三角形，从而可得为所求的二面角的平面角，所以由，可得，再结合平行关系和是边长为2的等边三角形，可求出三棱锥的体积
详解:
（1），为中点，，
面，面面，且面面，
面，
∵面，
．
（2）过点作∥交于．过点作∥交干点，连接，因为∥且由（1）知面，
所以面，
∵面，
在中，，
，
∥，，
面
为所求的二面角的平面角
，
，∥，
，
∥，，
，．
，．
．
【正确答案】 （Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【试题解析】 分析:
（Ⅰ）由已知可得EF⊥AB，EF⊥CD，折叠后，EF⊥DF，EF⊥CF，利用线面垂直的判定得EF⊥平面DCF，从而得到EF⊥MC；（Ⅱ）由已知可得，AE＝BE＝1，DF＝CF＝2，又DM＝1，得到MF＝1＝AE，然后证明AM⊥DF，进一步得到BE⊥平面AEFD，再由等积法求三棱锥M﹣ABD的体积．
详解:
（Ⅰ）由题意，可知在等腰梯形中，，
∵，分别为，的中点，
∴，.
∴折叠后，，.
∵，∴平面.
又平面，∴.
（Ⅱ）易知，.
∵，∴.
又，∴四边形为平行四边形.
∴，故.
∵平面平面，平面平面，且，
∴平面.
∴
.
即三棱锥的体积为.
点睛:
本题考查空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
【正确答案】 （1）；（2）或.
【试题解析】 分析:
（1）设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，即可得出双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，利用，并代入韦达定理，求出实数的值，即可得出直线的方程.
详解:
（1）设双曲线的标准方程为，由题意可得，
解得，因此，双曲线的标准方程为；
（2）设直线的方程为，设点、，
将直线的方程与双曲线的方程联立得，消去得，
，由韦达定理得，，
，，解得.
因此，直线的方程为或.
点睛:
本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了直线与双曲线中的向量垂直问题，一般将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.
【正确答案】 （1）（2）
【试题解析】 分析:
（1）曲线的方程根据定义易得，，c=1, 所以的方程为;
(2),转化为P在直线的垂直平分线上，又点在轴上，解得，，求得范围．
详解:
解：（1）由题设知,
根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，设其方程为
则，，，所以的方程为.
（2）依题设直线的方程为.将代入并整理得，
.
设，，
则， .
设的中点为，则，，即.
因为，
所以直线的垂直平分线的方程为，
令解得，，
当时，因为，所以；
当时，因为，所以.
综上得点纵坐标的取值范围是.
【正确答案】 （1）证明见解析，()；（2）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）设，易得且，利用两点距离的坐标公式列方程，化简整理即可得M的轨迹为双曲线C的一支，写出方程即可.
（2）令直线为且，，联立直线与双曲线并应用韦达定理得、、、，结合求出参数，则可知直线过定点，根据易知在以为直径的圆上，即可证结论.
详解:
（1）设动圆圆心，则由题意知：且，
∴，则，
两边平方并整理得：，
两边平方并整理得：，即，.
∴动圆圆心M的轨迹C是双曲线的一支，且方程为，.
（2）若令直线为且，，
联立直线与曲线得：，
，则
由，即，
∴，可得.
∴为，过定点，又于点P，故在以为直径的圆上，
∴存在使，为定值.
点睛:
关键点点睛：第二问，设直线及，联立双曲线应用韦达定理求、、、，结合求参数，进而确定的轨迹为圆.
【正确答案】 （1）（2）直线过定点，证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）根据题意，由两点间距离公式以及点到直线的距离公式列方程化简即可求解；
（2）直线，斜率都存在且不为，设：，与双曲线方程联立消元，求出，代入方程可得，即得点坐标，同理可得点坐标，进而可得直线的方程，即可得所过的定点，同时注意验证二次项系数为和直线，中一个斜率不存在，一个斜率为两种情况是否过该定点，即可求解.
详解:
（1）设，由题意可得：，
即
两边同时平方整理可得：，
所以曲线的方程为：；
（2）若直线，斜率都存在且不为，设：，则：，
由可得：，
当时，即，方程为，此时只有一解，不符合题意，
当时，，
由韦达定理可得：，所以点的横坐标为，
代入直线：可得：，
所以线段的中点,
用替换可得，，
所以线段的中点，
当时，
直线的方程为：，
整理可得：
，
此时直线过定点，
若时， 则，，或，，直线的方程为，此时直线也过点，
若直线，中一个斜率不存在，一个斜率为，不妨设斜率为，则：，：，此时直线的方程为，此时直线也过点，
综上所述：直线过定点，
点睛:
思路点睛：圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.
【正确答案】 （1）；（2）存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
【试题解析】 分析:
（1）由已知得，渐近线为，利用点到直线的距离公式列方程即可求得，进而可得双曲线的方程；
（2）假设存在满足题意，可得，设设，，直线
与双曲线方程联立，消去可得关于的二次方程，得出、代入即可求解.
详解:
（1）由题意可得：，所以双曲线
所以渐近线方程为，
设，则，即，
因为在双曲线上，所以，即，
所以，解得：，
所以双曲线的方程为：
（2）假设存在，使得的平分线与轴或轴垂直，则可得，
，设，，直线，
由可得：，
所以，，
所以，
即恒成立，
整理可得：，
所以
即，
所以，
所以，解得，
所以存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
点睛:
思路点睛：圆锥曲线中求是否存在满足条件的定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.
【正确答案】 （1）；（2）.
【试题解析】 分析:
（1）由题意，列出关于的方程组即可求解；
（2）由题意，根据双曲线的对称性知点D在轴上，设点，对角线MP的方程为，，由对称性知，联立，由韦达定理及推出直线MP过定点D，再由点到直线距离公式即可求解.
详解:
解：（1）由题意，，解得，，所以双曲线C的方程为；
（2）由轴，，可知四边形MNPQ为等腰梯形，且关于轴对称，故四边形MNPQ的对角线的交点D在轴上，如图所示：
设点，则对角线MP的方程为，
设，由对称性知，
联立，消去得，
所以，即，
由韦达定理得，
由三点共线知，即，
所以，整理得，
所以，所以，即，
所以直线MP过定点，即D，
因为双曲线C的渐近线方程为，
取方程为时，
由点到直线距离公式得，
由对称性知点D到双曲线C的渐近线的距离之和为.
【正确答案】 （1）时，在区间内为增函数；时，在区间内为增函数；在区间内为减函数； （2）见解析.
【试题解析】 分析:
(1)求出，分两种种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，原不等式等价于，令，则原不等式也等价于即.设，利用导数可得在区间内为增函数，，从而可得结论.
详解:
（1）函数的定义域为，.
若，，则在区间内为增函数；
若，令，得.
则当时，，在区间内为增函数；
当时，，在区间内为减函数.
（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，
令，则原不等式也等价于即.
下面证明当时，恒成立.
设，则，
故在区间内为增函数，，即，
所以.
点睛:
本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.
【正确答案】 （1）答案见解析；（2）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）由题设有，讨论、判断的符号，进而确定的单调性；
（2）由题意得，研究在上的符号，由区间单调性结合零点存在性定理确定存在使得，根据题设定义写出解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证只需要证，构造函数，应用导数研究单调性并确定，即可证结论.
详解:
（1）的定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令有，
∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）且定义域为，
∴，而在上，即在区间内单调递增，又，，且在区间内的图像连续不断，
∴根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.
∴存在，使得，即，
∴当时，，即；当时，，即，
∴可得，
当时，，由得单调递增；
当时，，由得单调递减：
若在区间内有两个不相等的实数根，，则，
∴要证，需证，又，而在内递减，
故可证，又，即证，即
下证：记，，由知：，
记，则：当时，；当时，，故，而，所以，
由，可知.
∴，即单调递增，
∴当时，，即，故，得证.
点睛:
关键点点睛：
（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；
（2）由导数研究在上零点的个数，写出解析式并判断单调性，利用分析法：将要证明的结论转化为函数不等式恒成立.
【正确答案】 （1）见解析； （2）见解析.
【试题解析】 分析:
(1)对a分和a＜0讨论，利用导数求函数的单调性；
（2）得 ，再求出 ，不妨设，则，转化为证明，令，，再证明即得证.
详解:
，，
当时，在单调递增，
当时，时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，
，
，
，
不妨设，则，
所以只要证，
令，t，
在上单调递减，
，，．
点睛:
本题主要考利用导数求函数的单调性，考查利用导数求函数的最值和证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
【正确答案】 （1）答案见解析；（2）证明见解析.
【试题解析】 分析:
（1）求导函数，再对参数进行分类讨论即可.
(2)先求，再对参数进行分类讨论，再利用韦达定理求出的解析式，即可证明.
详解:
（1），
当时，f（x）递増区间为；
当m<0时，f（x）递增区间为，通减区间是；
（2），
当时，在递增，无极值点；
当或时，令，
得
若，则，在递增，无极值点；
若，则，不妨设.
此时g（x）有两个极值点.
因为，故，即.
【正确答案】 （1）见解析；（2）详见解析.
【试题解析】 分析:
（1）对函数进行求导得，再对分三种情况进行讨论；
（2）先求出，再对进行求导研究函数的图象特征，当时，图象在上是增函数，不符合题；当时，再将问题转化为构造函数进行求解证明.
详解:
（1）函数的定义域为.
，
因为，所以，
①当，即时，
由得或，由得，
所以在，上是增函数， 在上是减函数；
②当，即时，所以在上是增函数；
③当，即时，
由得或，
由得，
所以在，.上是增函数，在.上是减函
综上可知：
当时在，上是单调递增，在上是单调递减；
当时，在.上是单调递增；
当时在，上是单调递增，在上是单调递减.
（2），，
当时， ，
所以在上是增函数，
故不存在不相等的实数，，

展开更多......

收起↑