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专题三 指数函数与对数函数
02 指数函数的图象与性质
考纲对本模块内容的具体要求如下：
在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查.
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.
4.体会指数函数是一类重要的函数模型
逻辑推理：1.能从教材实例中归纳出指数函数的图象和性质.
2.能利用指数函数的图象和性质解决简单的与图象相关的问题.
1.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．21教育网
(2)指数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 _______
值域 _______
性质 过定点_______，即x＝0时，y＝1
当x＞0时，_______；当x＜0时，_______ 当x＜0时，_______；当x＞0时，_______
在(－∞，＋∞)上是_______函数 在(－∞，＋∞)上是_______函数
[常用结论]
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，( ( http: / / www.21cnjy.com )2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．21cnjy.com
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．21·cn·jy·com
考点一 指数函数的图象　
考法1 判断指数型函数图象的形状
（1）（2020·广东·茂名市华英学校高一月考）函数的图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）（2020·河北·武邑武罗学校高一期中）当时，函数和的图象只可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【规律方法】
识别指数函数的图象问题，应把握三点
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大，在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小．【来源：21·世纪·教育·网】
(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数函数的图象与两坐标轴的交点位置．www-2-1-cnjy-com
考法2 由指数函数的图象求参数的范围　
（1）（2020·重庆八中高一期末）已知函数，且函数图像不经过第一象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高一课时练习）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A．（-∞，-2） B．（-∞，-2]
C．（3，+∞） D．[3，+∞）
考法3 指数函数图象恒过定点
（1）（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知函数（，且）的图象过定点，则（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
（2）（2021·四川成都·高一期中）函数，且)恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y＝ax a>0且 ( http: / / www.21cnjy.com )a≠1 的图象过定点 0，1 ，据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b k≠0，a>0，a≠1 的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点 －c，k＋b .21教育名师原创作品
【跟踪练习】（1）（2021·河南·高三月考（文））函数的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）（2021·重庆一中高一期中）对任意实数，函数的图象必过定点（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·全国·高一课时练习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．， B．，
C．， D．，
考点二 指数复合型函数的定义域、值域
（1）（2020·江苏南京·高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江南湖·高一期中）已知函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·云南·昆明八中高一月考）若函数的定义域为，则该函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
求指数型复合函数的定义域和值域的一般方法
1．求指数型复合函数的定义域时，先观察函数是y＝f(ax)型还是y＝af(x)型．
(1)由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．www.21-cn-jy.com
(2)对于函数y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(t)的定义域中．21*cnjy*com
(3)求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
【跟踪练习】（1）（2021·浙江·海亮高级中学高一期中）函数的值域为______．
（2）（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.（用区间或集合作答）
（3）（2021·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
考点三 指数复合型函数单调性
考法1 求单调区间
（1）（2020·浙江·高一期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·高一期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
考法2 比较大小
（1）（2021·广东·福田外国语高中高一期中）已知，，，则，，三者的大小关系是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
（2）（2021·湖南师大附中高一期中）已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【规律方法】
指数幂的大小比较问题的三种类型及解法
考法3 解简单指数不等式
（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）设函数，则满足的的取值范围是___________．
【规律方法】
解简单的指数不等式时，需要注意底数，如果情况不确定，需要进行分类讨论.
指数不等式是指数中含有未知数的不等式.
( http: / / www.21cnjy.com / )
考点四 指数函数性质的综合应用
（2021·江苏省响水中学高一期中）已知函数为奇函数.
（1）求实数的值；
（2）设，若对于总，使恒成立，求实数a的取值范围．
【规律方法】
1．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．21世纪教育网版权所有
2．含参数恒成立问题的一般处理方法
将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．
【跟踪练习】（2021·湖南·衡阳市八中高一期中）已知函数（其中且），其中，为实数.
（1）若函数的图象过点，.求的值域；
（2）若函数的定义域和值域都是，求的值
1.（2021·黑龙江·鸡东县第二中学高一期中）已知函数，且，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·广东·高三月考）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
3．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高一课时练习）函数（，且）的图像经过第二 三 四象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2021·全国·高一课时练习）若且，则函数的图像一定经过的定点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
7．（2021·广西·浦北中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
9．（2021·四川·威远中学校高一期中）已知函数的定义域和值域都是，则（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2021·黑龙江·桦南县第一中学高三期中（理））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·天津益中学校高一期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（ ）
A．50 B．53 C．60 D．66
13．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为，，则下列说法正确的为（ ）【出处：21教育名师】
A．， B．，
C．的值域为 D．的值域为
14．（2021·湖南·衡阳市八中高一期中）已知函数，则下列说法正确的是为（ ）
A．的图像关于原点对称 B．
C．的值域为 D．，且，则恒成立
15．（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．，则实数a的取值范围是
B．恒成立，则实数a的取值范围是
C．
D．，则实数a的取值范围是
16．（2021·黑龙江·铁人中学高一期中）已知函数且的图象恒过定点，则此定点坐标为______
17．（2021·辽宁·凤城市第一中学高一月考）已知函数，若对任意的，均存在使得，则实数的取值范围是______．
18．（2021·重庆一中高一期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若，求的值域.
19．（2021·重庆一中高一期中）已知定义域为，对任意都有，当时，，.
（1）求；
（2）试判断在上的单调性，并证明；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围.
20．（2021·吉林·长春市第二中学高一期中）已知为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）利用定义法判断函数的单调性；
（3）解不等式
21．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）若，，求区间．
22．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）已知函数，（，）.
（1）若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
23．（2021·福建师大附中高一期中）已知函数（a是常数）.
（1）当a=1时，求证以下两个结论∶
（i）f（x）为增函数（用单调性的定义证明）.
（ii）f（x）的图像始终在的图像的下方.
（2）设函数，若对任意，总有成立，求a的取值范围.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例1.2
例1.3
例2
例3.1
例3.2
例3.3
例4
真题演练
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专题三 指数函数与对数函数
02 指数函数的图象与性质
考纲对本模块内容的具体要求如下：
在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查.
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.
4.体会指数函数是一类重要的函数模型
逻辑推理：1.能从教材实例中归纳出指数函数的图象和性质.
2.能利用指数函数的图象和性质解决简单的与图象相关的问题.
1.指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．21教育网
(2)指数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
[常用结论]
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y ( http: / / www.21cnjy.com )＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．21·cn·jy·com
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．21世纪教育网版权所有
考点一 指数函数的图象　
考法1 判断指数型函数图象的形状
（1）（2020·广东·茂名市华英学校高一月考）函数的图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / ) C． ( http: / / www.21cnjy.com / )D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据指数函数的性质知：单调减，且函数值恒大于0，即可知正确选项.
【详解】
由知：函数在定义域内单调递减，且恒成立，
∴只有B所表示的函数图象符合要求.
故选：B.
（2）（2020·河北·武邑武罗学校高一期中）当时，函数和的图象只可能是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】A
【分析】
由分析函数的单调性以及二次函数图象的开口方向与对称轴，由此可得出合适的选项.
【详解】
当时，指数函数为增函数，二次函数的图象开口向上，且函数图象的对称轴为轴，
因此，函数和的图象只可能是A选项中的图象.
故选：A.
【规律方法】
识别指数函数的图象问题，应把握三点
(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大，在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小．2·1·c·n·j·y
(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数函数的图象与两坐标轴的交点位置．2-1-c-n-j-y
考法2 由指数函数的图象求参数的范围　
（1）（2020·重庆八中高一期末）已知函数，且函数图像不经过第一象限，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的图像即可求解．
【详解】
函数为减函数，且图像不经过第一象限, ,即.
故选 C.
（2）（2021·全国·高一课时练习）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A．（-∞，-2） B．（-∞，-2]
C．（3，+∞） D．[3，+∞）
【答案】B
【分析】
作出函数的图象，将函数向上或下平移后，得到，
结合图象即可得出的取值范围.
【详解】
解：作出函数的图象，如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com / )
由于将函数向上或下平移后，得到，
而函数的图象不经过第二象限，
由图可知，至少要向下平移2个单位，则.
所以实数的取值范围是.
故选：B.
考法3 指数函数图象恒过定点
（1）（2021·福建省福州第八中学高一期中）已知函数（，且）的图象过定点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据解析式，结合指数的性质易知过定点，结合已知即可求.
【详解】
由解析式知：，故过定点.
∴，则.
故选：D
（2）（2021·四川成都·高一期中）函数，且)恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数恒过点即可求解.
【详解】
当时， ，
所以函数恒过定点.
故选：C
【规律方法】
解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y＝ax a>0且a≠1 ( http: / / www.21cnjy.com ) 的图象过定点 0，1 ，据此可解决形如y＝k·ax＋c＋b k≠0，a>0，a≠1 的函数图象过定点的问题，即令指数x＋c＝0，即x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点 －c，k＋b .
【跟踪练习】（1）（2021·河南·高三月考（文））函数的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
根据函数的奇偶性及单调性判断即可.
【详解】
由，得为偶函数，故排除选项A，D；
在区间上，令，则，
即，
故，
故，
故在上为增函数.
故选：B.
（2）（2021·重庆一中高一期中）对任意实数，函数的图象必过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数的知识确定正确选项.
【详解】
当，即时，，
所以过定点.
故选：B
（3）（2021·全国·高一课时练习）函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（ ）21·世纪*教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】
利用指数函数的单调性结合图象的平移即可求解.
【详解】
解：由图知，该指数型复合函数为减函数，所以，由图象的平移可知，是由向左平移得到的，所以，即，故，.【来源：21·世纪·教育·网】
故选：A.
考点二 指数复合型函数的定义域、值域
（1）（2020·江苏南京·高一月考）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意只需解不等式即可得答案.
【详解】
解：要使函数有意义，则，即，所以
所以函数的定义域为
故选：D
（2）（2021·浙江南湖·高一期中）已知函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由于，进而得，即函数的值域是
【详解】
解：因为,
所以
所以函数的值域是
故选：B
（3）（2020·云南·昆明八中高一月考）若函数的定义域为，则该函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质求出的值域，再利用指数函数的单调性即可求解.
【详解】
令，
因为，则，
又因为为单调递增函数，
所以.
故选：C
【规律方法】
求指数型复合函数的定义域和值域的一般方法
1．求指数型复合函数的定义域时，先观察函数是y＝f(ax)型还是y＝af(x)型．
(1)由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．www-2-1-cnjy-com
(2)对于函数y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝f(t)的定义域中．21教育名师原创作品
(3)求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
【跟踪练习】（1）（2021·浙江·海亮高级中学高一期中）函数的值域为______．
【答案】
【分析】
利用指数函数的性质以及反比例函数的单调性即可求解.
【详解】
，
因为，则，
所以，即，
所以，
即函数的值域为.
故答案为：
（2）（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.（用区间或集合作答）
【答案】
【分析】
由已知及指数的性质可得，即可求的定义域.
【详解】
由题设，，可得，
∴的定义域为.
故答案为：
（3）（2021·内蒙古·乌兰浩特一中高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
二次根式，被开方数大于等于0且分母不为0，列出不等式组，求出答案.
【详解】
由题意得：，解得：且，故定义域为
故选：D
考点三 指数复合型函数单调性
考法1 求单调区间
（1）（2020·浙江·高一期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间.
【详解】
由与复合，而为单调递增函数，所以函数的单调递减区间为单调递减区间,即单调递减区间为.
故选：B
（2）（2021·高一期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据与的单调性，结合复合函数单调性同增异减，求得函数的单调递增区间.
【详解】
由于在上递减，在递增，上递减，根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间为.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查指数函数、二次函数的单调性，属于基础题.
考法2 比较大小
（1）（2021·广东·福田外国语高中高一期中）已知，，，则，，三者的大小关系是（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用指数函数的性质比较即可
【详解】
因为在上为减函数，且，
所以，即，
因为在上为增函数，且，
所以，
所以，所以
故选：C．
（2）（2021·湖南师大附中高一期中）已知，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
利用指数函数的性质及幂函数的性质即得.
【详解】
由题得，，，，
因为幂函数在上单调递增，
所以，
又因为指数函数在上单调递增，
所以.
故选：ABC.
【规律方法】
指数幂的大小比较问题的三种类型及解法
考法3 解简单指数不等式
（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）设函数，则满足的的取值范围是___________．【出处：21教育名师】
【答案】
【分析】
分段函数不等式问题，可以结合图像或通过分类讨论解决﹒
【详解】
f(x)如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
当时，函数单调递增，则，要使，
则或，解得或，即．
故答案为：
【规律方法】
解简单的指数不等式时，需要注意底数，如果情况不确定，需要进行分类讨论.
指数不等式是指数中含有未知数的不等式.
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考点四 指数函数性质的综合应用
（2021·江苏省响水中学高一期中）已知函数为奇函数.
（1）求实数的值；
（2）设，若对于总，使恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）1
（2）
【分析】
（1）由奇函数的定义求解即可；
（2）对于总，使恒成立，则函数的值域是函数值域的子集，分，，讨论求解即可
（1）∵函数为奇函数
∴，
∴
（2）∵对于总，使恒成立，
∴函数的值域是函数值域的子集
设，∴
∵，∴，即
∴函数的值域是
①若，则函数在[2，4]上为增函数，
∴函数的值域为，
②若，则函数在[2，4]上为减函数，
∴函数的值域为，
无解
②若，则函数，
∴函数的值域为，不符合
综上所述，实数a的取值范围为．
【规律方法】
1．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．【来源：21cnj*y.co*m】
2．含参数恒成立问题的一般处理方法
将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．
【跟踪练习】（2021·湖南·衡阳市八中高一期中）已知函数（其中且），其中，为实数.
（1）若函数的图象过点，.求的值域；
（2）若函数的定义域和值域都是，求的值
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据函数的图象经过点和，列出方程组，求得的值，得到，进而得到，结合指数函数与二次函数的性质，即可求解.
（2）根据指数型函数的单调性，分类讨论，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.
（1）解：由题意，函数的图象经过点，，
可得，解得，，所以，
则，即，
因为，
当，即时，函数取得最小值，最小值为
所以的值域为.
（2）解：①当时，可得在上单调递增，
所以，即，解得，，所以.
②当时，可得在上单调递减，
所以，即，解得，（舍去），
综上可得，的值为.
1.（2021·黑龙江·鸡东县第二中学高一期中）已知函数，且，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先判定函数的奇偶性和单调性，然后将转化为，根据单调性建立不等关系，解之即可.
【详解】
因为 ，所以
则函数为偶函数，且在单调递增.
所以
故,
∴，即
解得或.
实数的取值范围是.
故选：C
2.（2021·广东·高三月考）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
由指数函数、对数函数的单调性结合图象的平移变换得出与的图象.
【详解】
由于，
所以为上的单调递增函数，且过点，将其向右平移一个单位得的图象，故函数的图象过定点，且为上的单调递增函数.
为上的单调递增函数，且过点，将其向右平移一个单位得的图象，故函数图象过定点，且为上的单调递增函数.
故选：B．
3．（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）已知，，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据指数函数的单调性，判断与0和1的大小关系即可得到答案.
【详解】
在上单调递增，且，，，
又在上单调递减，，.
故选：D
4．（2021·全国·高一课时练习）函数（，且）的图像经过第二 三 四象限，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】
根据指数函数的图象以及平移法则即可判断．
【详解】
若，则函数的图象必经过第一象限，而函数（，且）的图像经过第二 三 四象限，所以，此时函数必过第一、二象限，且经过定点，若，图象往上平移，则必过第一、二象限，若，图象往下平移且经过第二 三 四象限，所以．
故选：A．
5．（2021·全国·高一课时练习）若且，则函数的图像一定经过的定点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
令代入计算可得．
【详解】
令，则，，过定点．
故选：B．
6．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.
【详解】
的定义域为，，即，
，解得：且，
的定义域为.
故选：.
7．（2021·广西·浦北中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的定义域定义求解即可.
【详解】
要使得函数有意义，
则，，，解得.
故函数的定义域为.
故选：D.
8．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据指数函数和二次函数值域的求法可求得在每一段上的值域，根据有最小值可构造不等式求得结果.
【详解】
当时，；当时，；
若存在最小值，只需，解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
9．（2021·四川·威远中学校高一期中）已知函数的定义域和值域都是，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】
分和，利用指数函数的单调性列方程组求解.
【详解】
当时，，方程组无解
当时，，解得
故选：A.
10．（2021·黑龙江·桦南县第一中学高三期中（理））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）【版权所有：21教育】
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的单调性，结合指数函数的性质进行判断即可.
【详解】
因为，，，
，
所以，
故选：D
11．（2021·天津益中学校高一期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
求得，原不等式化为，由指数函数的单调性和绝对值不等式的解法，可得所求范围．
【详解】
解：函数是定义在上的偶函数，且当时，．
可得时，，
所以，，
所以，即为，
即有，
可得或或，
解得或或，
所以的取值范围是，，．
故选：C．
12．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）有学者根据公布数据建立了某地新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：，其中为最大确诊病例数，为非零常数，当时，标志着疫情已初步得到控制，则此时约为（ ）
A．50 B．53 C．60 D．66
【答案】A
【分析】
根据题意得，进而根据指数方程求解即可得答案.
【详解】
解：因为，
所以，整理得
所以，由于为非零常数，
所以.
故选：A
13．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为，，则下列说法正确的为（ ）
A．， B．，
C．的值域为 D．的值域为
【答案】AC
【分析】
根据指数型函数恒过定点的性质判断A，B选项，再根据指数函数与二次函数复合的性质求置于盘判断C，D选项.www.21-cn-jy.com
【详解】
解：令得，即函数图象必过定点，所以，，故正确；
，，解得
，令，所以，，
所以的值域.故正确，
故选：.
14．（2021·湖南·衡阳市八中高一期中）已知函数，则下列说法正确的是为（ ）
A．的图像关于原点对称 B．
C．的值域为 D．，且，则恒成立
【答案】AC
【分析】
根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确，结合指数函数的性质求得函数的值域，可判定C正确；根据函数的单调性的定义和判定方法，可判定D不正确.
【详解】
由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
又由，即，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以A正确，B不正确；
由，
因为，所以，所以，则，
所以，即函数的值域为，所以C正确；
任取且，
则
因为，所以，
即，所以，所以D 不正确.
故选：AC.
15．（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．，则实数a的取值范围是
B．恒成立，则实数a的取值范围是
C．
D．，则实数a的取值范围是
【答案】BD
【分析】
求出在的值域可判断A B；
求出在的值域，，转化为的值域是值域的子集，可判断C；由在的值域可判断D.
【详解】
因为，所以时，，
若，则，故A错误；
若恒成立，则实数a的取值范围是，故B正确；
因为在上单调递增，所以在单调递减，
所以，
，所以的值域是值域的子集，
而的值域是，的值域是，故C错误；
因为在的值域是，所以实数a的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
16．（2021·黑龙江·铁人中学高一期中）已知函数且的图象恒过定点，则此定点坐标为______
【答案】
【分析】
根据指数幂的运算性质进行求解即可.
【详解】
因为，所以定点坐标为，
故答案为：
17．（2021·辽宁·凤城市第一中学高一月考）已知函数，若对任意的，均存在使得，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】
当时，的值域为，由对任意的，均存在使得，可得当时，的值域包含，对称轴为，再按对称轴的取值，进行分类讨论，即可求解．21cnjy.com
【详解】
当时，的值域为，
又对任意的，均存在使得，
当时，的值域包含，对称轴为，
当时，，解得，即，
当时，且，解得，解得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
18．（2021·重庆一中高一期中）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若，求的值域.
【答案】
（1）增区间为，减区间为
（2）
【分析】
（1）根据复合函数单调性同增异减来求得的单调区间.
（2）根据在区间上的单调性来求得对应的值域.
（1）
的开口向上，对称轴为，在上递减.
根据复合函数单调性同增异减可知，增区间为，减区间为.
（2）
，
由（1）知增区间为，减区间为，
所以在区间上的值域为.
19．（2021·重庆一中高一期中）已知定义域为，对任意都有，当时，，.
（1）求；
（2）试判断在上的单调性，并证明；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】
（1）
（2）在上递减，证明见解析
（3）
【分析】
（1）利用赋值法求得.
（2）利用函数单调性的定义，证得在上递减.
（3）结合函数的单调性化简不等式，利用分离常数法来求得的取值范围.
（1）
，
令，，
令，.
（2）
在上递减，证明如下：
任取，
.
由于，
所以，
所以在上递减.
（3）
令，得，
，
依题意对恒成立，
即，
即，
即，
由于在上递减，所以，
，
令（），任取
，
由于，
所以，所以在上递增，
故，即.
，在上递减，所以.
20．（2021·吉林·长春市第二中学高一期中）已知为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）利用定义法判断函数的单调性；
（3）解不等式
【答案】
（1）
（2）证明见解析
（3）
【分析】
（1）根据即可求得答案；
（2）根据函数单调性的定义，结合指数函数的单调性即可证明问题；
（3）根据（2）中函数的单调性即可解得答案.
（1）
∵a>0，且函数是奇函数，∴，解得：.（经检验满足奇函数）
（2）
，，设
，
∵，∴，而，∴，即，所以函数在R上是单调递增函数.
（3）
，，
∵在R上是单调递增函数，∴，所以不等式的解集是.
21．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高一期中）已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）若，，求区间．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）根据已知条件结合奇函数的定义即可求解；
（2）设，则，可得的表达式，再由可得时的表达式即可求解；
（3）作出的图象可得的单调性，分时，和时，利用单调性解不等式即可求解.
（1）
因为是定义在上的奇函数，当时，，
所以，
（2）
设，则，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以.
（3）
作出函数的图象如图所示：
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由图知：在上单调递增，
当时，，即，可得，
当时，，即，可得，
所以区间.
22．（2021·山东·枣庄市第三中学高一期中）已知函数，（，）.
（1）若为奇函数，求的值和此时不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
【答案】
（1），不等式解集为；
（2）.
【分析】
（1）由奇函数定义可得，由此可得，由此可将不等式化为，解不等式得，由指数函数单调性可得的范围；
（2）令，将恒成立的不等式转化为，由的范围和二次函数性质可求得的最小值，由此可得的范围.
（1）
为奇函数，对恒成立，
即对恒成立，.
此时，即，
或（舍），解得：，不等式的解集为.
（2）由得：，即，
当时，令，原问题等价对恒成立，
即对恒成立，
令，，
在上单调递增，在上单调递减，，，
即的取值范围为.
23．（2021·福建师大附中高一期中）已知函数（a是常数）.
（1）当a=1时，求证以下两个结论∶
（i）f（x）为增函数（用单调性的定义证明）.
（ii）f（x）的图像始终在的图像的下方.
（2）设函数，若对任意，总有成立，求a的取值范围.
【答案】
（1）见解析
（2）
【分析】
（1）（i）任取，化简计算并判断正负即可得出单调性；
（ii）两个函数作差和0比较大小即可；
（2）由题意可得，结合，利用换元法转化为，，再结合二次函数的性质即可.
（1）（i）由题意，（是常数），当时，，
证明:
函数在上单调递增，又，则，
于是得，即，
在上单调递增.
（ii），
即的图像始终在的图像的下方.
（2）由题意，得，，
令，则，其对称轴为，
①当，即时，此时单调递减，
∴，即，
解得或，
∴；
②当，即时，此时先减后增左端点高，
∴即，无解；
③当，即时，此时先减后增右端点高，
∴即，无解；
④当，即时，此时单调递增，
∴即，
解得或，
∴；
综上，.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例1.2
例1.3
例2
例3.1
例3.2
例3.3
例4
真题演练
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