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专题三 指数函数与对数函数
03 对数与对数函数
考纲对本模块内容的具体要求如下：
本节是高考的一个热点，主要考查 ( http: / / www.21cnjy.com )对数式的大小比较、对数函数的图象和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，也可能在解答题中出现，难度中档.www.21-cn-jy.com
数学抽象：1.能从教材实例中抽象出对数函数的概念.
2.能从教材实例中理解对数的运算性质.
数学运算：1.能从教材实例中了解对数函数定义域、对数函数的实际应用.
2.掌握指数与对数的互化，能利用指数与对数的互化求对数的值，理解对数与指数的内在联系.
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．21·世纪*教育网
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝_______；②logaab＝_______(a＞0，且a≠1)．
(2)换底公式：logab＝_______(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝_______；
②loga＝_______；
③logaMn＝_______(n∈R)．
[常用结论]
换底公式的两个重要结论
(1)loga b＝；(2)logambn＝loga b.
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.
考点一 对数函数的概念
(1)（2021·全国·高一课时练习）若函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值是(　　)21世纪教育网版权所有
A．1或2　　　B．1 C．2 D．a>0且a≠1
（2）（2021·安徽·合肥市第六中学高一月考）函数的图像过点和
（1）求函数的解析式；
（2）当的定义域为，求的最大值及取最大值时的值．
【规律方法】
1．判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数解析式的求法
若已知一个函数是对数函数，则可设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，再根据条件求出a值．
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高一课时练习）已知对数函数（且）的图像经过点，则实数______．21cnjy.com
（2）（2021·全国·高一单元测试）已知函数（且），且函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若成立，求实数m的取值范围．
考点二 对数的运算
考法1 对数运算性质的应用
（2021.河北.练习题）计算下列各式：
(1)lg－lg＋lg；
(2)；
(3)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
【规律方法】
对数式化简或求值的常用方法和技巧
(1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；21·cn·jy·com
②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差)．
(2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．
(3)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．
(4)当真数是形如“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．
考法2 换底公式的应用
（1）（2021·江苏省响水中学高一期中）若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·全国·高一课时练习）化简：（ ）
A． B． C．1 D．2
【规律方法】
换底公式的作用
换底公式的作用是将不同底数的对数式 ( http: / / www.21cnjy.com )转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形使用.,注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e为底的常用对数或自然对数.
考法3 对数运算性质的综合应用
(1)若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值；
(2)解方程：log ＋log2(x＋2)＝3.
【规律方法】
应用对数的运算性质解对数方程的三种方法
( http: / / www.21cnjy.com / )
【跟踪练习】（2021·全国·高一课时练习）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
考点三 利用对数式与指数式的关系求值
（1）（2021·全国·高一课时练习）若，则______.
（2）（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，，则_______．
【规律方法】
1．logaN＝x与ax＝N(a>0，且a≠1，N>0)是等价的，转化前后底数不变．
2．对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．
【跟踪练习】（2021·江苏南京·高一期中）求值：
（1）；
（2）若，求的值．
1．（2020·全国·高一）已知函数的图象经过点，则下列命题错误的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则.
2．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（文））已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·江苏·高一期中）若正实数m满足，则的值为（ ）
A．-2 B．0 C．-4 D．
4．（2021·重庆一中高三期中）若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
5．（2021·全国·高一课时练习）计算：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021·福建省福州第一中学高一期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江苏·南京师大附中高一期中）已知，则2，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期中）设，则下列四个等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·全国·高一课时练习）若函数是对数函数，则 .
10．（2021·天津市第一零二中学高三期中）设，且，则______．
11．（2021·全国·高一课时练习）有下列4个等式，其中且，，：
①； ②
③； ④．
其中，正确等式的序号是______．
12．（2021·全国·高一单元测试）求值：
（1）______；
（2）______；
（3）______；
（4）______.
13．（2021·全国·高一单元测试）已知，试用m表示______.
14．（2021·宁夏·银川一中高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为_________.2·1·c·n·j·y
15．（2021·江苏·南京外国语学校高一期中）已知a，b是方程的两个实数根，则__________．【来源：21·世纪·教育·网】
16．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，当点在的图像上运动时，点是图像上的点．
（1）求的表达式；
（2）当时，求实数x的取值范围；
（3）当x在（2）给出的范围内取值时，求的最大值．
17．（2021·江苏·盐城中学高一 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.21教育网
（1）试利用对数运算性质计算的值；
（2）已知x，y，z为正数，若，求的值.
（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数.试判断的位数.（注）
18．（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高一期中）设函数，
（1）若令，求实数的取值范围；
（2）将表示成以（）为自变量的函数，并由此求最值及相应的值.
19．（2021·全国·高一课时练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）.
20．（2021·全国·高一课时练习）已知是对数函数，并且它的图象过点，，其中.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求在上的最大值与最小值；
（3）求在上的最小值.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知对数函数．
（1）若函数，讨论函数的单调性；
（2）对于（1）中的函数，若，不等式的解集非空，求实数m的取值范围．
22．（2021·江苏省镇江中学高一期中）已知，（且）．
（1）求的值；
（2）若，解关于x的不等式：（其中）．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2.1
例2.2
例2.3
例3
真题演练
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专题三 指数函数与对数函数
03 对数与对数函数
考纲对本模块内容的具体要求如下：
本节是高考的一个热点，主要考查对数式 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小比较、对数函数的图象和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，也可能在解答题中出现，难度中档.21*cnjy*com
数学抽象：1.能从教材实例中抽象出对数函数的概念.
2.能从教材实例中理解对数的运算性质.
数学运算：1.能从教材实例中了解对数函数定义域、对数函数的实际应用.
2.掌握指数与对数的互化，能利用指数与对数的互化求对数的值，理解对数与指数的内在联系.
1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．21教育名师原创作品
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．
(2)换底公式：logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
(3)对数的运算性质：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
[常用结论]
换底公式的两个重要结论
(1)loga b＝；(2)logambn＝loga b.
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.
考点一 对数函数的概念
(1)（2021·全国·高一课时练习）若函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，则a的值是(　　)21·cn·jy·com
A．1或2　　　B．1 C．2 D．a>0且a≠1
【答案】C
【解析】∵函数f(x)＝(a2－3a＋3)logax是对数函数，
∴a2－3a＋3＝1，a>0且a≠1，解a2－3a＋3＝1可得a＝1或a＝2，
∴a＝2.
故选C.
（2）（2021·安徽·合肥市第六中学高一月考）函数的图像过点和
（1）求函数的解析式；
（2）当的定义域为，求的最大值及取最大值时的值．
【答案】
（1）
（2）当时，函数的最大值为22
【分析】
（1）解方程组即得解；
（2）由题得，再求出，再利用二次函数的图象和性质求解.
（1）解：由题得，，所以，.
所以
（2）
．
又因为函数的定义域为，
所以要使函数有意义，
则有所以，所以，
所以当，即时，．
所以当时，函数的最大值为22．
【规律方法】
1．判断一个函数是否为对数函数的方法
判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
2．对数函数解析式的求法
若已知一个函数是对数函数，则可设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，再根据条件求出a值．
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高一课时练习）已知对数函数（且）的图像经过点，则实数______．21cnjy.com
【答案】2
【分析】
将点代入对数函数解析式计算即可.
【详解】
由题意知，，所以，得.
故答案为：2
（2）（2021·全国·高一单元测试）已知函数（且），且函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)将点代入函数解析式，求出，可得的解析式；
(2)解对数不等式，结合函数的定义域，可求出实数的取值范围．
【详解】
(1)，解得，故函数的解析式
(2) 即，解得或
故实数m的取值范围是
考点二 对数的运算
考法1 对数运算性质的应用
（2021.河北.练习题）计算下列各式：
(1)lg－lg＋lg；
(2)；
(3)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.
【解析】　(1)方法一：原式
＝(5lg2－2lg7)－×lg2＋(2lg7＋lg5)
＝lg2－lg7－2lg2＋lg7＋lg5＝lg2＋lg5
＝(lg2＋lg5)
＝lg10＝.
方法二：原式＝lg－lg4＋lg(7)
＝lg＝lg(×)＝lg＝.
(2)原式＝
＝
＝＝1.
(3)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2
＝2＋1＝3.
【规律方法】
对数式化简或求值的常用方法和技巧
(1)对于同底数的对数式，化简的常用方法是：
①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；www.21-cn-jy.com
②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差)．
(2)对常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．
(3)对含有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简．
(4)当真数是形如“±”的式子时，常用方法是“先平方后开方”或“取倒数”．
考法2 换底公式的应用
（1）（2021·江苏省响水中学高一期中）若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由换底公式得，再根据运算律求解即可.
【详解】
解：由换底公式得
故选：D
（2）（2021·全国·高一课时练习）化简：（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
利用换底公式可化简运算.
【详解】
原式
.
故选：B.
【规律方法】
换底公式的作用
换底公式的作用是将不同底数的对 ( http: / / www.21cnjy.com )数式转化为同底数的对数式，将一般对数转化为自然对数或常用对数来运算，要注意换底公式的正用、逆用及变形使用.,注意：在使用换底公式时，通常根据需要和从简的原则进行换底，一般换成以10或e为底的常用对数或自然对数.
考法3 对数运算性质的综合应用
(1)若lg(x－y)＋lg(x＋2y)＝lg2＋lgx＋lgy，求的值；
(2)解方程：log ＋log2(x＋2)＝3.
【解析】(1)由题可知lg[(x－y)(x＋2y)]＝lg(2xy)，所以(x－y)(x＋2y)＝2xy，即x2－xy－2y2＝0.21·世纪*教育网
所以.
解得＝2或＝－1.
又因为x>0，y>0，x－y>0.所以＝2.
(2)由方程可得log2x＋log2(x＋2)＝log28.
所以log2[x(x＋2)]＝log28，
即x(x＋2)＝8.解得x1＝2，x2＝－4.
因为x>0，x＋2>0，所以x＝2.
【规律方法】
应用对数的运算性质解对数方程的三种方法
( http: / / www.21cnjy.com / )
【跟踪练习】（2021·全国·高一课时练习）计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】
（1）8
（2）
（3）2
（4）
【分析】
根据换底公式以及对数的运算性质即可解出．
（1）
．
（2）
．
（3）
（4）
．
考点三 利用对数式与指数式的关系求值
（1）（2021·全国·高一课时练习）若，则______.
【答案】8
【分析】
根据指数式对数式互化即可解出．
【详解】
由得，．
故答案为：8．
（2）（2021·江苏·常州市第一中学高一期中）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，，则_______．
【答案】
【分析】
根据指数和对数互化以及换底公式，对数的运算即可求解.
【详解】
因为，所以，
由，可得，所以，
所以，
故答案为：.
【规律方法】
1．logaN＝x与ax＝N(a>0，且a≠1，N>0)是等价的，转化前后底数不变．
2．对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个．
【跟踪练习】（2021·江苏南京·高一期中）求值：
（1）；
（2）若，求的值．
【答案】
（1）
（2）2
【分析】
（1）由指数幂的运算性质与对数的运算性质求解即可；
（2）由指数与对数的互化和对数的运算性质求解即可
（1）
；
（2），则，，
∴，
∴．
1．（2020·全国·高一）已知函数的图象经过点，则下列命题错误的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则.
【答案】B
【分析】
将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，利用对数函数的基本性质可判断ABC选项的正误，利用作差法可判断D选项的正误.21世纪教育网版权所有
【详解】
由题意可得，则，且，解得，.
对A，函数为增函数，A选项正确；
对B，函数不为偶函数，B选项错误；
对C，当时，，C选项正确；
对D，因为，故若，
则，则，
，
D选项正确.
故选：B.
2．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（文））已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用换元法，即可求得的解析式
【详解】
令，则，
所以，
所以.
故选：B
3．（2021·江苏·高一期中）若正实数m满足，则的值为（ ）
A．-2 B．0 C．-4 D．
【答案】A
【分析】
对指数式两边取以2为底的对数，化简即可求解.
【详解】
，
，
故选：A
4．（2021·重庆一中高三期中）若，则的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】
根据对数的运算性质，化简整理，可得，根据基本不等式“1”的活用，化简计算，即可得答案.
【详解】
由题意得，
则，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为4.
故选：D
5．（2021·全国·高一课时练习）计算：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据对数的运算性质即可解出．
【详解】
．
故选：.
6．（2021·福建省福州第一中学高一期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对于a，b的比较，构造函数，通过研究函数的单调性来进行比较，对于a，c或b，c的比较通过作差法来进行比较21教育网
【详解】
，故；，故；
，
令，（），则
因为，所以，，，故恒成立，在上单调递增，所以，故
综上：
故选：C
7．（2021·江苏·南京师大附中高一期中）已知，则2，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.
【详解】
，，
∴；
又
∴ ，∴.
故选：D.
8．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期中）设，则下列四个等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据指数与对数的关系可得，再利用换底公式、对数的运算法则以及指数幂的运算法则计算可得；
【详解】
解：因为，所以，所以，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD
9．（2020·全国·高一课时练习）若函数是对数函数，则 .
【答案】5
【分析】
根据对数函数的定义即可求解.
【详解】
解：根据对数函数的定义有，解得，
故答案为：5．
10．（2021·天津市第一零二中学高三期中）设，且，则______．
【答案】
【分析】
利用指对数互化，表示出a和b，代入，化简即可解的m的值﹒
【详解】
∵>0
∴a=，b=，代入得，
，
故答案为：
11．（2021·全国·高一课时练习）有下列4个等式，其中且，，：
①； ②
③； ④．
其中，正确等式的序号是______．
【答案】②③
【分析】
利用对数的运算性质逐一判断即可.
【详解】
解：对①，，不符合对数的运算性质，故①错误；
对②，，符合对数的运算性质，故②正确；
对③，，符合对数的运算性质，故③正确；
对④，，不符合对数的运算性质，故④错误.
故答案为：②③.
12．（2021·全国·高一单元测试）求值：
（1）______；
（2）______；
（3）______；
（4）______.
【答案】22
【分析】
根据对数的运算法则和运算性质求解即可.
【详解】
故答案为：22；1；；4
13．（2021·全国·高一单元测试）已知，试用m表示______.
【答案】
【分析】
利用换底公式，结合对数的运算法则化简即可.
【详解】
因为
所以.
故答案为：.
14．（2021·宁夏·银川一中高三月考（文））已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为_________.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】
【分析】
利用换底公式得出，先计算出，然后利用函数为奇函数，得出的值.
【详解】
，
由题意得，
由于函数是定义在上的奇函数，
因此，.
故答案为：.
15．（2021·江苏·南京外国语学校高一期中）已知a，b是方程的两个实数根，则__________．【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】
【分析】
根据a，b是方程的两个实数根，得到，再利用换底公式和对数运算求解.
【详解】
因为a，b是方程的两个实数根，
即知a，b是方程的两个实数根，
所以，
所以，
，
故答案为：
16．（2021·全国·高一课时练习）已知函数，当点在的图像上运动时，点是图像上的点．
（1）求的表达式；
（2）当时，求实数x的取值范围；
（3）当x在（2）给出的范围内取值时，求的最大值．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）运用换元法，代入法进行求解即可；
（2）运用对数函数的单调性进行求解即可；
（3）运用换元法，结合基本不等式进行求解即可.
（1）设，因为点在的图像上运动，
所以，因此有，
所以；
（2），
于是有：且且，解得：，
所以实数x的取值范围是；
（3）由（2）可知：
设，设，因为，所以，
，
因为，所以，当且仅当时取等号，即当时取等号，所以，因此 ，
所以的最大值为.
17．（2021·江苏·盐城中学高 ( http: / / www.21cnjy.com )一期中）数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.www-2-1-cnjy-com
（1）试利用对数运算性质计算的值；
（2）已知x，y，z为正数，若，求的值.
（3）定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数.试判断的位数.（注）
【答案】
（1）
（2）
（3）609
【分析】
(1)利用对数的运算性质计算即可；
(2)令则，根据对数与指数的互化可得，，利用对数的换底公式化简原式即可；
(3)利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果.
（1）原式；
（2）由题意知，令，则，
所以，
所以；
（3）设，则，又，
所以，所以，则，
所以的位数为609.
18．（2021·天津市西青区杨柳青第一中学高一期中）设函数，
（1）若令，求实数的取值范围；
（2）将表示成以（）为自变量的函数，并由此求最值及相应的值.
【答案】
（1）
（2）答案见解析
【分析】
（1）由函数t=log3x在上是增函数，代值计算对数可得；
（2）换元可得，由二次函数在区间的最值可得．
（1）因为为增函数，且
所以，
即
所以实数t的取值范围
（2）由
令，
①当时，，即，解得，，此时；
②当时，，即
∴，此时
19．（2021·全国·高一课时练习）计算：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】
（1）0
（2）2
（3）
【分析】
直接利用对数的运算性质进行运算即可.
（1）原式
.
（2）原式.
（3）原式
.
20．（2021·全国·高一课时练习）已知是对数函数，并且它的图象过点，，其中.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求在上的最大值与最小值；
（3）求在上的最小值.
【答案】
（1）
（2）最大值为3，最小值为
（3）
【分析】
（1）由对数函数的定义，运用待定系数法可求解析式；
（2）注意结构特点，设，y就是关于t的二次函数，求其在闭区间上的最值，可以结合图象求解；
（3）与（2）相比，只是二次函数的对称轴的位置是不确定的，因而需要根据对称轴相对于给定区间的位置进行分类讨论.2·1·c·n·j·y
（1）
设（，且），
∵的图象过点，
∴，即，
∴，即，∴.
（2）
∵，∴，即.
设，则，，
∴.
又，，
∴.
∴当时，在上的最大值为3，最小值为.
（3）
设，则，
由（2）知，对称轴为直线.
①当时，在上是增函数，；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，；
③当时，在上是减函数，.
综上所述，.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知对数函数．
（1）若函数，讨论函数的单调性；
（2）对于（1）中的函数，若，不等式的解集非空，求实数m的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增，上单调递减；（2）
【分析】
（1）根据函数为对数函数即可求出参数的值，从而求出、的解析式，再求出的定义域，最后根据复合函数的单调性求出的单调区间；
（2）依题意，，由（1）求出即可得解；
【详解】
解：（1）因为为对数函数，所以，解得或，因为且，所以，所以，因为，所以，所以，解得，即函数的定义域为，又，又函数在上单调递增，上单调递减，再定义域上单调递增，根据复合函数的单调性可得函数在上单调递增，上单调递减；2-1-c-n-j-y
（2）因为，不等式的解集非空，所以，，由（1）可得在上单调递增，上单调递减；因为，，所以，所以，所以，即【版权所有：21教育】
【点睛】
本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
22．（2021·江苏省镇江中学高一期中）已知，（且）．
（1）求的值；
（2）若，解关于x的不等式：（其中）．
【答案】
（1）
（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；【出处：21教育名师】
【分析】
（1）利用对数式与指数式的互化，及指数幂的运算即可得解；
（2）利用对数的运算可得，再分类讨论，，，和，解不等式即可得解.
（1）
由，，得，
（2）
，
，
不等式
（1）当时，不等式为：，解得，不等式的解集为；
（2）当时，方程的两个根为和
①当时，，二次函数开口向下，不等式的解集为；
②当时，，二次函数开口向上，不等式的解集为；
③当时，二次函数开口向上，不等式的解集为；
④当时，二次函数开口向上，不等式的解集为；
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2.1
例2.2
例2.3
例3
真题演练
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