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专题三 指数函数与对数函数
04 对数函数的图象与性质
考纲对本模块内容的具体要求如下：
本节是高考的一个热点，主要考查对数式的 ( http: / / www.21cnjy.com )大小比较、对数函数的图象和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，也可能在解答题中出现，难度中档.21cnjy.com
1.直接或间接考查对数的运算性质.
2.以比较或应用对数函数值大小的方式考查对数函数的单调性.
3.以对数型函数为载体考查对数函数的图象与性质的应用.
数学抽象：能从教材实例中抽象出对数函数的图象和性质.
逻辑推理：1.能利用对数函数的图象和性质解决简单的相关问题.
2.能掌握对数函数的图象和性质，能利用对数函数的图象和性质解决与单调性、定点相关的问题.
对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：_______
值域：_______
图象过定点_______，即恒有loga1＝0.
①当x＞1时，恒有_______当0＜x＜1时，恒有_______. ②当x＞1时，恒有______；当0＜x＜1时，恒有_____.
在(0，＋∞)上是_______ 在(0，＋∞)上是_______
[常用结论]
对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．www.21-cn-jy.com
考点一 与对数函数有关的定义域与值域　
（1） （2021·黑龙江·哈九中高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·河南·高三月考（理））若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
（4）（2021·全国·高一课时练习）函数，的值域为______.
【规律方法】
(1)求抽象函数定义域时，关键是找出自变量，因为定义域是求自变量的取值范围．
(2)将函数进行分解，先求出内层函数的值域，再结合对数函数的单调性求解．
【跟踪练习】（1）（2021·浙江·温州中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高一课时练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点二 对数函数图象的有关问题
考法1 图象的识别问题
（1）（2021·广东·高三月考）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）2·1·c·n·j·y
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）（2021·山东济宁·高三期中）函数，则函数的大致图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【规律方法】
对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象时“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解.【来源：21·世纪·教育·网】
考法2 图象过定点问题
（1）（2021·黑龙江·哈九中高一期中）已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ）
A．4 B． C．9 D．
（2）（2021·广东·高三月考）已知函数的图象恒过点，若点在角的终边上，则____________.21·世纪*教育网
【规律方法】
解决与对数函数有关的函数图象 ( http: / / www.21cnjy.com )恒过定点问题的依据是对任意的a>0且a≠1，都有loga1＝0，例如，解答函数y＝m＋loga f x a>0，且a≠1 的图象恒过定点的问题时，只需令f x ＝1求出x，即得定点 x，m .www-2-1-cnjy-com
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高一课时练习）函数（）的大致图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
（2）（2021·山东菏泽·高三期中）函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.21*cnjy*com
考点三 对数函数的单调性
考法1 比较大小
（1）（2021·天津·耀华中学高三月考）设，则（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·四川宜宾·模拟预测（理））若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【规律方法】
比较对数式大小的常用方法
（1）比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性.
（2）比较底数不同、真数相同的两个对数式 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小.【来源：21cnj*y.co*m】
（3）比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量(如1，0，－1等)进行比较.
（4）比较多个对数式的大小，则应先根据每个式子的结构特征，以及它们与中间量(0和1等)的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可.【出处：21教育名师】
（5）比较含参数的两个对数式的大小，若底数中有参数，要注意对底数进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件.【版权所有：21教育】
考法2 解简单的对数不等式
（1） （2021·内蒙古·呼市二中高一期中）函数在区间内恒有，则a的取值范围是（ ）21·cn·jy·com
A． B．或
C．或 D．
（2）（2021·天津蓟州·高三期中）设函数，则使得不等式成立的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【规律方法】
对数不等式的三种考查类型
（1）形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解.
（2）形如logax>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解.21教育名师原创作品
（3）形如logf x a>logg ( http: / / www.21cnjy.com ) x a f x ，g x >0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.21*cnjy*com
考法3 与对数函数有关的复合函数的单调性
（1）（2021·江苏如东·高三期中）定义在上的奇函数的图象光滑连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
（2）（2021·海南二中高三月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·黑龙江·哈九中高一期中）函数的单调递增区间为______．
【规律方法】
（1）解决对数型复合函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意函数的定义域.
2 对数型复合函数一般可分为两类 ( http: / / www.21cnjy.com )：一类是对数函数为外函数，即y＝loga f x a>0，且a≠1 型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f logax a>0，且a≠1 型.对于y＝f logax a>0，且a≠1 型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝f logax a>0，且a≠1 的单调性与函数u＝f x f x >0 的单调性在a>1时相同，在00，且a≠1 型复合函数的单调性，一般用复合函数的单调性法则判断即可，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f t 的单调性即可.
【跟踪练习】（1）（2021·吉林·长春市第二中学高一期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高三月考）若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
（3）（2021·江苏淮安·高三期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
（4）（2021·吉林·长春市第二中学高一期中）函数的单调递增区间为______．
1.（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·湖南·高考真题）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
7.（2021·浙江温州·高一期中）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
8.（2021·广西桂林·模拟预测（理））已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9.（2021·江苏常州·高三期中）已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·天津市第一零二中学高三期中）若，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·河北保定·高三期中）函数的定义域为___________.
12．（2021·全国·高一课时练习）如图所示的四条曲线分别是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为______.（按从大到小的顺序排）21世纪教育网版权所有
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13．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数的图象恒过点定点，若角终边经过点，则___________.
14．（2020·上海市徐汇中学高一月考）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有7个不同实数根，则___________21教育网
15．（2021·陕西金台·高一期中）已知函数（且），在区间上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）如果，求使成立的的取值范围.
16．（2021·吉林·长春市第二中学高一期中）已知函数，函数（且）
（1）求函数的值域；
（2）已知，若不等式在上有解，求实数的最大值．
17．（2021·福建·厦门一中高一期中）已知函数，.
（1）当时，解不等式：；
（2）当时，若函数的图象始终位于函数的图象上方，求实数的范围.
18．（2021·浙江·高二期中）已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围：
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
19．（2021·山东·高考真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16，
（1）求实数的值；
（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．
20.（2020·河北·高一练习）设函数f(x)＝lg(a∈R)，且f(1)＝0.
(1)求a的值；
(2)求f(x)的定义域；
(3)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2.1
例2.2
例3.1
例3.2
例3.2
真题演练
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专题三 指数函数与对数函数
04 对数函数的图象与性质
考纲对本模块内容的具体要求如下：
本节是高考的一个热点，主要考查对 ( http: / / www.21cnjy.com )数式的大小比较、对数函数的图象和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题和填空题为主，也可能在解答题中出现，难度中档.21世纪教育网版权所有
1.直接或间接考查对数的运算性质.
2.以比较或应用对数函数值大小的方式考查对数函数的单调性.
3.以对数型函数为载体考查对数函数的图象与性质的应用.
数学抽象：能从教材实例中抽象出对数函数的图象和性质.
逻辑推理：1.能利用对数函数的图象和性质解决简单的相关问题.
2.能掌握对数函数的图象和性质，能利用对数函数的图象和性质解决与单调性、定点相关的问题.
对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0.
①当x＞1时，恒有y＞0当0＜x＜1时，恒有y＜0. ②当x＞1时，恒有y＜0；当0＜x＜1时，恒有y＞0.
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
[常用结论]
对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图 ( http: / / www.21cnjy.com )象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．【来源：21·世纪·教育·网】
考点一 与对数函数有关的定义域与值域　
（1） （2021·黑龙江·哈九中高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据开偶数次方根号里的数大于等于0，分母不等于0，对数的真数大于0，列出不等式组，从而可得出答案.
【详解】
解：由函数
得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
（2）（2021·河南·高三月考（理））若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意得到恒成立，根据定义域为得到恒成立，且满足，,解出得范围,二者取交集即可.
【详解】
因为，的定义域为，
所以首先满足恒成立，，
再者满足，变形得到
，最终得到.
故选：B.
（3）（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数的性质可求原函数的值域.
【详解】
设，则，故，
故的值域为，
故选：D.
（4）（2021·全国·高一课时练习）函数，的值域为______.
【答案】
【分析】
根据对数函数的单调性即可求出.
【详解】
∵，
∴，∴，
故函数的值域为.
故答案为：.
【规律方法】
(1)求抽象函数定义域时，关键是找出自变量，因为定义域是求自变量的取值范围．
(2)将函数进行分解，先求出内层函数的值域，再结合对数函数的单调性求解．
【跟踪练习】（1）（2021·浙江·温州中学高一期中）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据对数函数的概念和分式的意义计算即可.
【详解】
由题意知，，解得且，
所以函数的定义域为，
故选：C
（2）（2021·全国·高一课时练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题得，即求.
【详解】
∵，又函数的值域为R，
则，解得．
故选：C．
考点二 对数函数图象的有关问题
考法1 图象的识别问题
（1）（2021·广东·高三月考）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
由指数函数、对数函数的单调性结合图象的平移变换得出与的图象.
【详解】
由于，
所以为上的单调递增函数，且过点，将其向右平移一个单位得的图象，故函数的图象过定点，且为上的单调递增函数.
为上的单调递增函数，且过点，将其向右平移一个单位得的图象，故函数图象过定点，且为上的单调递增函数.
故选B
（2）（2021·山东济宁·高三期中）函数，则函数的大致图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
由题设可得，根据解析式分析函数各区间上的性质，即可知大致图象.
【详解】
当，则，则，
当，则，则，
∴，
∴时，递减且值域为；时，递增且值域为；只有C符合要求.
故选：C
【规律方法】
对有关对数函数图象的识别问题，主要依据底数确定图象时“上升”还是“下降”、图象位置、图象所过的定点、图象与坐标轴的交点、函数值域等求解.21教育名师原创作品
考法2 图象过定点问题
（1）（2021·黑龙江·哈九中高一期中）已知函数（且）恒过定点，且满足，其中m，n是正实数，则的最小值（ ）
A．4 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】
由对数函数解析式易知，则有，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值即可，注意等号成立条件.
【详解】
由过定点，
∴，
∴，当且仅当，即时取等号．
故选：C．
（2）（2021·广东·高三月考）已知函数的图象恒过点，若点在角的终边上，则____________.21教育网
【答案】
【分析】
由图象的平移以及对数函数的性质可得点的坐标，由三角函数的定义求得与的值，再由正弦的二倍角公式即可求解.21cnjy.com
【详解】
因为恒过点，
将图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位
可得的图象，
所以恒过点，即，
因为点在角的终边上，所以，
所以，，
所以，
故答案为：.
【规律方法】
解决与对数函数有关的函数图象恒过 ( http: / / www.21cnjy.com )定点问题的依据是对任意的a>0且a≠1，都有loga1＝0，例如，解答函数y＝m＋loga f x a>0，且a≠1 的图象恒过定点的问题时，只需令f x ＝1求出x，即得定点 x，m .【出处：21教育名师】
【跟踪练习】（1）（2021·全国·高一课时练习）函数（）的大致图象是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】C
【分析】
根据对数复合函数的性质，结合其对应的基本函数的平移过程确定函数图象即可.
【详解】
函数的定义域为且对任意的x，均有，排除B；
由，则是将增函数向左移一个单位，并把小于0部分的图象翻折到x轴上方，
∴结合对数函数的图象知C符合.
故选：C
（2）（2021·山东菏泽·高三期中）函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.21*cnjy*com
【答案】
【分析】
先求出定点，再将点代入直线中，结合基本不等式即可求解.
【详解】
解：函数的图像恒过定点
所以
又点在直线上
所以，即
当且仅当时，取等号.
所以的最小值为
故答案为：.
考点三 对数函数的单调性
考法1 比较大小
（1）（2021·天津·耀华中学高三月考）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用对数函数和指数函数的性质可得，，即可比较．
【详解】
因为
因为
所以
故选：A
（2）（2021·四川宜宾·模拟预测（理））若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数函数和幂函数的单调性分别比较和的大小，即可比较，再根据，即可得出答案.
【详解】
解：因为函数是减函数，
所以，
又函数在上是增函数，
所以，
所以，即，
，
所以.
故选：B.
【规律方法】
比较对数式大小的常用方法
（1）比较同底的两个对数式的大小，常利用对数函数的单调性.
（2）比较底数不同、真数相同的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个对数式的大小，常用以下两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利用对数函数的单调性比较大小；②在同一象限内利用对数函数图象的位置关系比较大小.【版权所有：21教育】
（3）比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，常借助中间量(如1，0，－1等)进行比较.
（4）比较多个对数式的大小，则应先根据每个式子的结构特征，以及它们与中间量(0和1等)的大小情况进行分组，再比较各组内的对数式的大小即可.
（5）比较含参数的两个对数式的大小，若底数中有参数，要注意对底数进行分类讨论，有时也要注意挖掘所给对数式的隐含条件.
考法2 解简单的对数不等式
（1） （2021·内蒙古·呼市二中高一期中）函数在区间内恒有，则a的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】B
【分析】
通过换元得到，根据对数函数的性质可得，解出不等式即可得到结果.
【详解】
函数，令，
根据对数函数的性质可得
解得或.
故选：B.
（2）（2021·天津蓟州·高三期中）设函数，则使得不等式成立的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围.2-1-c-n-j-y
【详解】
对任意的，，则函数的定义域为，
，则函数为偶函数，
当时，，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由可得，即，即，
即，解得.
故选：C.
【规律方法】
对数不等式的三种考查类型
（1）形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解.
（2）形如logax>b的不等式，应将b化成以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解.
（3）形如logf x a>logg x ( http: / / www.21cnjy.com )a f x ，g x >0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
考法3 与对数函数有关的复合函数的单调性
（1）（2021·江苏如东·高三期中）定义在上的奇函数的图象光滑连续不断，其导函数为，对任意正实数恒有，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分析函数的奇偶性，利用导数分析函数在上的单调性，将所求不等式变形为，可得出，解此不等式即可.
【详解】
因为函数为上的奇函数，则的定义域为，
且，所以，函数为奇函数，且，
对任意正实数恒有，即，
则，
所以，函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，
因为函数在上连续，故函数在上为增函数，
由得，
所以，，故有，解得或.
故选：D.
（2）（2021·海南二中高三月考）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数解析式求得函数定义域，根据复合函数单调性判断参数取值范围.
【详解】
的定义域为.
令，由于为增函数，
故由复合函数单调性判断法则可知，
在上单调递减.
故.
故选：A
（3）（2021·黑龙江·哈九中高一期中）函数的单调递增区间为______．
【答案】
【分析】
令，则，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．
【详解】
解：函数的定义域为：，，，
令，
则为增函数，
当时，为减函数，此时为减函数，
当时，为增函数，此时为增函数，
即的单调递增区间是，
故答案为：
【规律方法】
（1）解决对数型复合函数的单调性问题的关 ( http: / / www.21cnjy.com )键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意函数的定义域.21·世纪*教育网
2 对数型复合函数一般 ( http: / / www.21cnjy.com )可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝loga f x a>0，且a≠1 型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f logax a>0，且a≠1 型.对于y＝f logax a>0，且a≠1 型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝f logax a>0，且a≠1 的单调性与函数u＝f x f x >0 的单调性在a>1时相同，在00，且a≠1 型复合函数的单调性，一般用复合函数的单调性法则判断即可，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f t 的单调性即可.www-2-1-cnjy-com
【跟踪练习】（1）（2021·吉林·长春市第二中学高一期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以“1”作为中间量，再结合指数函数和对数函数的单调性即可得到答案.
【详解】
因为，，所以.
故选：D.
（2）（2021·全国·高三月考）若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】
先利用对数函数的单调性，证明，赋值，，判断AB，再由所证性质判断CD.
【详解】
先证明：对任意，有.
证明如下：
因为.所以单调递减（此时是定值），
故，即.
记，则，单调递减，
故，即，
故，代入，
即.
取，时，可得选项A正确，选项B错误.
应用上述证明可得:
.
故选项D正确，选项C错误.
故选：AD
（3）（2021·江苏淮安·高三期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
解对数不等式、分式不等式来求得正确答案.
【详解】
，
，
所以不等式的解集为.
故选：B
（4）（2021·吉林·长春市第二中学高一期中）函数的单调递增区间为______．
【答案】
【分析】
先求出函数的定义域，进而结合“同增异减”求得答案.
【详解】
由题意，，而，根据二次函数和对数函数的单调性可知，函数的单调递增区间为：.
故答案为：.
1.（2020·山东·高考真题）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】
由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
2．（2021·山东·高考真题）已知点在函数的图象上，点的坐标是，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据在函数的图象上代入可得，再利用向量的模长公式求解即可.
【详解】
∵点在函数的图象上，
∴，，
∴点坐标为，，．
故选：D
3．（2021·湖南·高考真题）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据对数函数的真数大于即可求解.
【详解】
由题意可得：，解得：，
所以函数的定义域为，
故选：B.
4．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.
【详解】
，，
，，
，，
.
故选：D.
5．（2021·天津·高考真题）函数的图像大致为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】B
【分析】
由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
6．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
，即.
故选：C.
7.（2021·浙江温州·高一期中）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据对数的运算性质，结合分式的运算性质进行求解即可.
【详解】
由题意可知中：且，
故选：C
8.（2021·广西桂林·模拟预测（理））已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由含绝对值的函数和对数函数的单调性，可求得的值域记为A，若存在实数，使，即,结合二次不等式的解法可解得的取值范围
【详解】
,
当时，的值域为
当时，的值域为
所以的值域记为
若存在实数，使，即，即,
解得的取值范围为
故答案为：C
9.（2021·江苏常州·高三期中）已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据给定函数画出其图象，结合图象可得，再借助对勾函数的单调性即可计算判断作答.
【详解】
作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和
( http: / / www.21cnjy.com / )
因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令，
则有，是方程的两个根，必有，
，是方程的两个不等根，则，，
整理得，即，由得：或，因此有，，
则有，，而函数在上单调递减，从而得，
于是得，
所以的取值范围是.
故选：D
10．（2021·天津市第一零二中学高三期中）若，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据指数函数与对数函数的单调性比大小.
【详解】
由已知得，，，且，
所以，
故选A.
11．（2021·河北保定·高三期中）函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】
根据开偶次方被开方数非负数，结合对数函数的定义域得到不等式组，解出即可.
【详解】
要使函数有意义，则，
∴.
故答案为：.
12．（2021·全国·高一课时练习）如图所示的四条曲线分别是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为______.（按从大到小的顺序排）21·cn·jy·com
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【答案】
【分析】
由底数的大小决定图象相对位置的高低：在第一象限内取相同的函数值时，各对数函数的底数自左向右逐渐变大.www.21-cn-jy.com
【详解】
由题图知： ，，，.
作平行于x轴的直线l：，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然.
故答案为：
13．（2021·山东聊城一中高三期中）已知函数的图象恒过点定点，若角终边经过点，则___________.
【答案】
【分析】
先由图像过定点，求出，进而利用三角函数的定义求出，利用二倍角公式和诱导公式代入即可求值.
【详解】
因为函数的图象恒过定点，
所以函数的图象恒过定点，.
因为角终边经过点，由三角函数的定义可得：.
所以.
故答案为：.
14．（2020·上海市徐汇中学高一月考）已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有7个不同实数根，则___________2·1·c·n·j·y
【答案】
【分析】
根据题意，作出函数的图像，令，将原问题转化为图像交点问题，即可求解.
【详解】
根据题意，作出函数的图像，如下，
( http: / / www.21cnjy.com / ).
由关于x的方程有且仅有7个不同实数根，
结合图像，令，则关于的方程有两个根，且，，
故，即.
故答案为：.
15．（2021·陕西金台·高一期中）已知函数（且），在区间上的最大值为2.
（1）求的值；
（2）如果，求使成立的的取值范围.
【答案】
（1）或
（2）
【分析】
（1）根据对数函数的概念与性质，结合对数运算求解即可；
（2）根据对数函数的单调性，结合对数不等式的解法，利用换元法求解即可.
（1）当时，
函数在区间上单调递减
所以当时得到最大值，即.
故.
当时，
函数在区间上单调递增
所以当时得到最大值，即
故
综上得或
（2）因为，所以由（1）得.
所以为单调递减函数，
令，则得：且.
即得到：
故.
又得到：
即就得到：
所以就得到：
解得：.
故使成立的的取值范围为.
16．（2021·吉林·长春市第二中学高一期中）已知函数，函数（且）
（1）求函数的值域；
（2）已知，若不等式在上有解，求实数的最大值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先通过对数的运算性质将函数化简，进而通过换元法，结合二次函数求值域的方法求得答案；
（2）根据题意求出，结合函数的单调性可知，进而进行参变分离，最后通过对勾函数的图象求得答案.
（1），，设，即函数的值域为：.
（2）由，则，易知其在上单调递增.又不等式在上有解，所以…①，且满足在上有解.
设，，如图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
易知，的值域为，则，于是，结合①，实数的最大值为.
17．（2021·福建·厦门一中高一期中）已知函数，.
（1）当时，解不等式：；
（2）当时，若函数的图象始终位于函数的图象上方，求实数的范围.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）当时，得到，根据，求得，即可求得不等式的解集.
（2）由函数的图象始终位于函数的图象上方，转化为，对成立，令，设，化简得到，令，转化为在恒成立，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解.21*cnjy*com
（1）
解：当时，，
由，即，
即，解得，所以，
即不等式的解集为.
（2）
解：由当时，若函数的图象始终位于函数的图象上方，
即不等式，对于恒成立，
令，，
设，可得，则，，
令，
要使得对恒成立，只需在恒成立，
根据二次函数的图象与性质，可得，即，解得，
所以实数的范围.
18．（2021·浙江·高二期中）已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围：
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）计算，解得答案.
（2）考虑和两种情况，根据复合函数的单调性结合定义域计算得到答案.
（1）恒成立，故，
解得，解得.
（2）当时，在定义域内单调递增，在上单调递增，
故在上单调递增，故，解得，
考虑定义域需满足：，解得，故；
当时，在定义域内单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，故，解得，故无解；
综上所述：.
19．（2021·山东·高考真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16，
（1）求实数的值；
（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】
（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；
（2）根据的定义域是，由恒成立求解．
【详解】
（1）当时，函数在区间上是减函数，
因此当时，函数取得最大值16，即，
因此．
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值16，即，
因此．
（2）因为的定义域是，
即恒成立．
则方程的判别式，即，
解得，
又因为或，因此．
代入不等式得，即，
解得，
因此实数的取值范围是．
20.（2020·河北·高一练习）设函数f(x)＝lg(a∈R)，且f(1)＝0.
(1)求a的值；
(2)求f(x)的定义域；
(3)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．
【解析】(1)函数f(x)＝lg(a∈R)，且f(1)＝0，则f(1)＝lg＝0，则＝1，解得a＝2.
(2)由(1)得f(x)＝lg，必有>0，
解得x>－1，
即函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．
(3)f(x)＝lg在区间(0，＋∞)上单调递减．
证明：设0＝lg－lg＝lg＝lg(x2＋1)－lg(x1＋1)，
因为0lg(x1＋1)，即f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2.1
例2.2
例3.1
例3.2
例3.2
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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