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2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.7切线长定理》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．如图，直角梯形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC相切于E，BO交半圆于F，DF的延长线交AB于点P，连DE．以下结论：①DE∥OF；②AB+CD＝BC；③PB＝PF；④AD2＝4AB DC．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．只有①② C．只有①②④ D．只有③④
3．P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA＝4，则△PDE的周长是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．不能确定
4．已知P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A、B为切点，∠P＝70°，C为⊙O上一个动点，且不与A、B重合，则∠BCA＝（　　）
A．35°、145° B．110°、70° C．55°、125° D．110°
5．如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB、BC、AC于D、E、F，则AF的长为（　　）
A．5 B．10 C．7.5 D．4
6．如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（　　）
A．70° B．90° C．60° D．45°
7．如图所示，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，C是上一动点，过C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N，已知∠P＝56°，则∠MON＝（　　）
A．56° B．60° C．62° D．不可求
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝　 　．
10．一位小朋友在不打滑的平面轨道上滚动一个半径为5cm的圆环，当滚到与坡面BC开始相切时停止．其AB＝40cm，BC与水平面的夹角为60°．其圆心所经过的路线长是　 　cm（结果保留根号）．
11．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．
（1）若△PDE的周长为10，则PA的长为　 　；
（2）连接CA、CB，若∠P＝50°，则∠BCA的度数为　 　度．
12．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝　 　．
13．如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB＝6，PA＝5．则⊙O的半径　 　．
14．如图，⊙O外一点P向⊙O引两条切线PA，PB与⊙O相切于点A、B，且PA＝PB＝10cm，线段CD与⊙O相切于点M．则△PCD的周长是　 　cm．
15．已知⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，如果BC边的长为10cm，AD的长为4cm，那么△ABC的周长为　 　cm．
16．若圆外切等腰梯形的腰长为10cm，则它的中位线长　 　cm．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO＝6，CO＝8．
（1）判断△OBC的形状，并证明你的结论；
（2）求BC的长；
（3）求⊙O的半径OF的长．
18．如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．
19．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．
（1）若PA＝4，求△PED的周长；
（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．
20．已知：如图△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，过D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：DE＝BC；
（2）若AC＝6，BC＝8，求S△ACD：S△EDF的值．
21．如图1，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，C为上的一点，∠COA＝∠P．
（1）求证：BC∥OA；
（2）如图2，若BC＝10，OA＝13，求PA的长．
22．已知正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．求四边形CDFP的周长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a，
∵CE与半圆O相切于点F，
∴AE＝EF，BC＝CF，
∵EF+FC+CD+ED＝12，
∴AE+ED+CD+BC＝12，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形ABCD的边长为4；
在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1，
∵AE+EF+FC+BC+AB＝14，
∴直角梯形ABCE周长为14．
故选：C．
2．解：∵BA，BE是圆的切线．
∴AB＝BE，BO是△ABE顶角的平分线．
∴OB⊥AE
∵AD是圆的直径．
∴DE⊥AE
∴DE∥OF
故①正确；
∵CD＝CE，AB＝BE
∴AB+CD＝BC
故②正确；
∵OD＝OF
∴∠ODF＝∠OFD＝∠BFP
若PB＝PF，则有∠PBF＝∠BFP＝∠ODF
而△ADP与△ABO不一定相似，故PB＝PF不一定成了．
故③不正确；
连接OC．可以证明△OAB∽△CDO
∴
即：OA OD＝AB CD
∴AD2＝4AB DC
故④正确．
故正确的是：①②④．
故选：C．
3．解：根据题意画出图形，如图所示，
由直线DA和直线DC为圆O的切线，得到AD＝DC，同理，由直线EC和直线EB为圆O的切线，得到EC＝EB，
又直线PA和直线PB为圆O的切线，所以PA＝PB＝4，
则△PDE的周长C＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE
＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝4+4＝8．
故选：B．
4．解：如图；连接OA、OB，则∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠BOA＝180°﹣∠P＝110°，
∴∠AEB＝∠AOB＝55°；
∵四边形AEBF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFB＝180°﹣∠AEB＝125°，
①当C点在优弧AB上运动时，∠BCA＝∠AEB＝55°；
②当C′点在劣弧AB上运动时，∠BC′A＝∠AFB＝125°；
故选：C．
5．解：设AF＝x，根据切线长定理得AD＝x，BD＝BE＝9﹣x，CE＝CF＝CA﹣AF＝6﹣x，
则有9﹣x+6﹣x＝5，解得x＝5，即AF的长为5．
故选：A．
6．解：∵DA、CD、CB都与⊙O相切，
∴∠ADO＝∠ODC，∠OCD＝∠OCB；
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°；
∴∠ODC+∠OCD＝（∠ADC+∠BCD）＝×180°＝90°，即∠DOC＝90°；
故选：B．
7．解：∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠P＝124°，
∠AMN+∠BNM＝360°﹣124°＝236°，
∵MA、MC是⊙O的切线，
∴∠AMO＝∠CMO，
∵NB、NC是⊙O的切线，
∴∠BNO＝∠CNO，
∴∠CMO+∠CNO＝（∠AMN+∠BNM）＝118°，
∴∠MON＝180°﹣118°＝62°，
故选：C．
8．解：由8CF＝DF，得CF＝15×＝，
则CH2＝CF×DC，
故CH＝5，
设BC＝x，则BH＝x﹣5＝BG，
故AG＝20﹣x，
又∵5AE＝4DE，
∴DE＝x，AE＝x，
则AG2＝AE×AD，则（20﹣x）2＝x2，
解得：x＝12，
故BH＝BC﹣CH＝7．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：∵PA＝6，⊙O的半径为2，
∴PB＝PA﹣AB＝6﹣4＝2，
∴OP＝4，
∵PC、PD切⊙O于点C、D．
∴∠OPC＝∠OPD，
∴CO⊥PC，
∴sin∠OPC＝＝，
∴∠OPC＝30°，
∴∠CPD＝60°，
故答案为：60°．
10．解：连接OD、BD，作DE⊥AB，
∵BC与水平面的夹角为60°，
∴∠DBE＝60°，
∴∠BDE＝30°，
设BE＝x，则BD＝2x，
∴由勾股定理得4x2﹣x2＝25，
解得x＝，
∴OD＝AE＝40﹣，
故答案为40﹣．
11．解：（1）∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，
∴PA＝PB，DA＝DC，EC＝EB；
∴C△PDE＝PD+DE+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10；
∴PA＝PB＝5；
（2）连接OA、OB、AC、BC，在⊙O上取一点F，连接AF、BF，
∵PA、PB分别切⊙O 于A、B；
∴∠PAO＝∠PRO＝90°
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°；
∴∠AFB＝∠AOB＝65°，
∵∠AFB+∠BCA＝180°
∴∠BCA＝180°﹣65°＝115°；
故答案是：5，115°．
12．解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD＝CE，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE，
∵AD＝2，
∴CE＝2．
故答案为：2．
13．解：连接OP，OB，
∵AP为⊙O切线，PB为⊙O切线，
∴PA＝PB，
∵∠APO＝∠BPO，
PG＝PG，
∴△APG≌△BPG，
∴∠PGA＝90°，
∵△APO为直角三角形，
∠APG＝∠APG，
∴△PGA∽△PAO，
根据垂径定理，得到AG＝GB，
在Rt△PAG中，PG＝＝4，
∵△PGA∽△AGO，
∴＝，
∴＝，
∴AO＝．
故答案为：．
14．解：∵CM，CA是圆的切线，
∴CA＝CM，
同理，DM＝DB，
∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CM+DM+PD＝PC+CA+PD+BD＝PA+PB＝20cm．
故答案为：20．
15．解：
∵⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，BC＝10cm，AD＝4cm，
∴AD＝AF＝4cm，BE＝BD，CF＝CE，
即BD+CF＝BE+CE＝BC＝10cm，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝AD+BD+BC+CF+AF＝4cm+10cm+10cm+4cm＝28cm，
故答案为：28cm．
16．解：如图，梯形ABDC是圆的外切等腰梯形，切点为E、H、G、F；
根据切线长定理可得：AE＝AF，BE＝BH，DH＝DG，CG＝CF，
∴C梯形ABDC＝2（AB+CD）＝4AC，
因此AB+CD＝2AC＝20cm，
所以梯形ABDC的中位线长MN为10cm．
三．解答题（共6小题，满分56分）
17．（1）答：△OBC是直角三角形．
证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴∠OBE＝∠OBF＝∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝∠GCF，
∵AB∥CD，
∴∠EBF+∠GCF＝180°，
∴∠OBF+∠OCF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△OBC是直角三角形；
（2）解：∵在Rt△BOC中，BO＝6，CO＝8，
∴BC＝＝10；
（3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，
∴OF⊥BC，
∴OF＝＝＝4.8．
18．解：设AF＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴DA⊥AB，
∴AD是圆的切线，
∵CF是⊙O的切线，E为切点，
∴EF＝AF＝x，
∴FD＝1﹣x，
∵CB⊥AB，
∴CB 为⊙O 的切线，
∴CB＝CE，
∴CF＝CE+EF＝CB+EF＝1+x．
∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2＝CD2+DF2，
即（1+x）2＝1+（1﹣x）2，
解得x＝，
∴DF＝1﹣x＝，
∴S△CDF＝×1×＝．
19．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，
∴DC＝DA，
同理EC＝EB，
∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B
∴PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，
即三角形PDE的周长是8；
（2）连接AB，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，
∵∠P＝40°，
∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，
∵BF⊥PB，BF为圆直径
∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°
∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．
答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；
（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．
20．（1）证明：∵EC、ED都是⊙O的切线，
∴EC＝ED，∠ECD＝∠EDC．
∵∠EDC+∠EDB＝90°，∠ECD+∠B＝90°，
∴∠EDB＝∠B．
∴ED＝BE．
∴DE＝BE＝EC．
∴DE＝BC．
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，则AB＝10，
根据射影定理可得：
AD＝AC2÷AB＝3.6，
BD＝BC2÷AB＝6.4，
∴S△ACD：S△BCD＝AD：BD＝9：16，
∵ED＝EB，EF⊥BD，
∴S△EDF＝S△EBD，
同理可得S△EBD＝S△BCD，
∴S△EDF＝S△BCD，
∴S△ACD：S△EDF＝．
21．（1）证明：如图1，连接OB，延长AO交⊙O于点D，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
∴∠P+∠AOB＝180°，
∵∠AOB+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝∠P，
∵∠COA＝∠P，
∴∠COA＝∠BOD，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO，
∵∠COB+2∠BCO＝180°，∠COB+2∠COA＝180°，
∴∠COA＝∠BCO，
∴BC∥OA；
（2）解：如图2，延长BC交PA于点E，过点O作OF⊥BC于F，
∴BF＝CF＝BC＝5，
∵OC＝OA＝13，
由勾股定理得：AE＝OF＝＝12，
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，
设PA＝x，则PB＝x，PE＝x﹣12，
∵BC∥OA，OA⊥PA，
∴BE⊥PA，
∴∠PEB＝90°，
∴PB2＝PE2+BE2，
∴x2＝（x﹣12）2+（13+5）2，
解得：x＝，
∴PA＝．
22．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴OA⊥AD，OB⊥BC，
∵OA，OB是半径，
∴AF、BP都是⊙O的切线，
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE＝FA，PE＝PB，
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB＝2×3＝6

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