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(共37张PPT)
双曲线及其标准方程
F佳
定义 图 象
标准 方程
焦点
a,b,c的关系 |MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）
x
y
o
F1
F2
·
·
·
M
y
o
x
F1
F2
·
M
·
a2=b2+c2
(－c,0), (c,0)
(0, －c) ,(0, c)
（a>b>0）
（a>b>0）
1.椭圆的定义
和
等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
2. 引入问题：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
复习引入
探求轨迹
平面内到两个定点F1、F2的距离的差等于常数的动点的轨迹又是怎样的？
数学实验：
[1]取一条拉链；
[2]如图把它固定在
板上的两点F1、F2；
[3] 拉动拉链（M）。
思考：1、余下一段拉链的目的是什么？
2、谁是动点，谁是定点
3、给双曲线下定义
双曲线的形成过程
思考：1、余下一段拉链的目的是什么？
2、谁是动点，谁是定点
3、给双曲线下定义
探究双曲线的定义
①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)，
上面 两条合起来叫做双曲线
由①②可得：
| |MF1|-|MF2| | = 2a
（差的绝对值）
|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
双曲线定义
| |MF1| - |MF2| | = 2a
没有“绝对值”这个条件时,仅表示双曲线的一支.
③此常数记为2a，则a我们根据这个几何性质来得出双曲线的定义．
2
F
F
1
M
A
B
C
MF1=AC, MF2=BC
通过刚才的探究画出的图像就是双曲线，它由两条曲线组成，其中一条叫作双曲线的一支．双曲线由这两支共同组成．
一条满足|MF1|－|MF2| = |AB| = 2a；
另一条满足|MF2|－|MF1| = |AB| = 2a．
全优P104 右边 预习自测 1
1.思维辨析（对的画"√"，错的画"×"）
（1）在双曲线标准方程=1中，a>0，b>0且a≠b. ( )
（2）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b. ( )
课本P121 练习 4
4.双曲线=1（a>0）的两个焦点分别是F1与F2,焦距为8;M是双曲线上的一点，且|MF1|=5，求|MF2|的值.
作业：课本P127 习题3.2 1
（要写解题过程）
【动手操作，感悟新知】
问：类比椭圆，这个几何条件有没有限制条件？
2a
理解定义
对双曲线定义中的条件加以改变，则动点
M的轨迹是怎么样的呢？
例如：
（
1
）
0
2
=
a
；
（
2
）
c
a
2
2
=
；
（
3
）
c
a
2
2
>
||MF1|－|MF2||=|F1F2|时，M点一定在上图中的射线F1P，F2Q 上，此时点的轨迹为两条射线F1P、F2Q。
②常数大于|F1F2 |时
①常数等于|F1F2|时
|MF1|－|MF2| >|F1F2|
F2
F1
P
M
Q
M
是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边。此时无轨迹。
此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。
则|MF1|=|MF2|
F1
F2
M
③常数等于0时
∵若常数2a= |MF1|－|MF2| =0
【概念剖析，学以致用】
概念辨析
判断下列点的轨迹是不是双曲线？
①平面内两定点距离为10，平面内到F 的距离与到F 距离差
为6的点的轨迹。
②平面内两定点距离为10，平面内到F 的距离与到F 距离差
的绝对值为12的点的轨迹。
③平面直角坐标系内两定点F (-5,0)，F (5,0)，平面内到F 的距离与到F 距离差的绝对值为6的点的轨迹。
×
×
√
1
2
1
1
1
2
2
2
【概念剖析，学以致用】
双
曲
线
定
义
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
两个定点 是焦点
全优P103 右边 预习自测
已知M（-3，0）;N（3，0），|PM|-|PN|=6，则动点P的轨迹是（ ）
A.一条射线 B. 双曲线右支
C.双曲线 D.双曲线左支
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
法拉利主题公园
生活中的双曲线
双曲线在现实中的应用十分广泛，如：发电厂泠却塔的外形、广州塔的外形，通过声音时差测定位等都要用到双曲线。
[问题]：根据双曲线的定义如何用坐标法来探究双曲线的标准方程呢？
（一）建立平面直角坐标系
如图，取过焦点F1、 F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
设双曲线的焦距|F1F2|=2c，双曲线上的点与两定点的距离之差的绝对值为2a (a > 0)，则F1、 F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．
（二）设曲线上任意一点（或动点）的坐标为(x，y)
设M(x，y)为双曲线上任意一点．
x
O
y
F2
F1
M
（三）找出限制动点的几何条件
因为||MF1|－|MF2||=2a，即|MF1|－|MF2| = ±2a，
（四）将坐标代入几何关系
所以
（五）化简式子
由双曲线的定义知 2c>2a，即c>a，所以c －a >0．设c －a = b (b>0)，
则 b x －a y = a2b ，
上式两边同时除以a2b ，得
这称为双曲线的标准方程，它所表示的双曲线焦点在x轴上．坐标分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，c =a ＋ b ．而双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a．
双曲线的标准方程
x
y
o
F1
F2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
双曲线的标准方程：
=
x2
a2
-
y2
b2
1
(a>0,b>0)
方程
叫做双曲线的标准方程
它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
M
y
x
x
y
o
F1
F2
M
y
x
y
x
y
x
F2
F1
M
y
x
o
y
x
y
x
F2
F1
M
y
o
x
y
x
=
x2
a2
-
y2
b2
1
(a>0,b>0)
x2
y2
方程
叫做双曲线的标准方程
它表示的双曲线焦点在y轴上，焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b2
双曲线的标准方程
焦点在坐标轴上，且关于原点对称的双曲线的标准方程为：
焦点在x轴上：
焦点在y轴上：
双曲线的标准方程的特点：
（1）左边是两个分式的平方差，方程用“-”号连接；右边是1；
（2）三个参数a、b、c满足 c =a ＋ b , a、b大小不定；
（3）系数为正的项的分母是a ，系数为负的项的分母就是 b ；
（4）如果x 的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y 的系数是正的，则焦点在y轴上．
如果x2的系数是正时，那么焦点在x轴上
P
如果y2的系数是正时，那么焦点在y轴上
判断焦点在哪条坐标轴上：
椭圆看分母，
双曲线看正负。
例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6，求该双曲线的标准方程．
解：由于双曲线的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为
由双曲线的定义知2a = 6，所以a = 3．
又因为c = 4，所以 b = c －a = 16－9= 7．
因此，所求双曲线的标准方程为
求标准方程时,
先定向,后定量.
课本P121 练习 2
2.求证∶双曲线x -15y =15与椭圆的焦点相同.
课本P121 练习 3
3.已知方程=1表示双曲线，求m的取值范围.
课本P121 练习 1
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程∶
（1）焦点在x轴上，a=4，b=3;
（2）焦点在x轴上，经过点（-，-），（，）；
（3）焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5）.
全优P104 左边 题型1 例1
例1.（1）求经过点P（-，2），Q（，-2）且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程;
（2）求与双曲线有公共焦点，且过点（，）的双曲线的标准方程.
作业：课本P127 习题3.2 2
使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
如图所示,建立直角坐标系
x
y
o
P
B
A
即 2a=680，a=340
因此炮弹爆炸点的轨迹方程为
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
本小节结束
F佳

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