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人教A版（2019） 第三章 圆锥曲线
专题一 双曲线
知识梳理
1、双曲线的概念
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.
2、双曲线的性质
① 范围：，。
② 对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③ 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
④ 渐近线： 渐近线方程：.
2、直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)， ①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
（1）当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
（2）当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有0个公共点．
思考 直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？
答案 不是．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点
3、弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝.
典型例题
题型1 求双曲线的方程
例1 已知双曲线的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，P是其上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，则该双曲线的方程是( )
A. －＝1 B. －＝1 C. －y2＝1 D．x2－＝1
题型2 求双曲线的离心率
例2 已知某双曲线的方程为，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
题型3 求双曲线的渐近线
例3 双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
题型4 双曲线与椭圆的综合应用
例3 若椭圆和双曲线有相同的焦点、，是两条曲线的一个交点，则的值是
A． B． C． D．
题型5 双曲线的综合应用
例4 （多选）已知双曲线，则下列说法正确的是
A．渐近线方程为 B．焦点坐标为
C．顶点坐标为 D．实轴长为
题型6 求双曲线的通径
例5 过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为________。
题型7 求双曲线的弦长
例7 过双曲线x2－＝1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|＝________。
题型8 双曲线于直线的位置关系
例8 已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1。
（1）若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值。
题型9 与双曲线有关的轨迹问题
例9 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)( )
A．北偏西45°方向，距离680 m B．南偏东45°方向，距离680 m
C．北偏西45°方向，距离680 m D．南偏东45°方向，距离680 m
道虽弥，不行不至；事虽小，不为不成！——《荀子·修身》
高二数学 圆锥曲线 双曲线 1 / 3
专题二 抛物线
1、抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。方程叫做抛物线的标准方程。
2、抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性 轴 轴 轴 轴
顶点
离心率
要点诠释：
① 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；
② 抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；
③ 注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离。
3、直线和抛物线
（1）抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
（2）抛物线的焦点弦：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
① y1y2＝－p2，x1x2＝；
② ＝x1＋x2＋p；
③＋＝.
典型例题
题型1 动点轨迹问题
求轨迹问题的两种方法
直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．
定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程
例1 若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线
例2 已知动圆M与直线y＝3相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝12x D．y2＝－12x
例3 设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M的距离比点P到x轴的距离大。
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2，求实数k的值。
题型2 抛物线与直线的综合应用
例4 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则的值为
A．8 B．6 C．4 D．2
题型3 抛物线的准线问题
例5 （多选）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ）
A． B．为中点 C． D．
例6 （多选）设抛物线的焦点为．点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为
A． B． C． D．
题型4 抛物线与椭圆的综合应用
例7 已知抛物线与椭圆有公共焦点，并交于，两点．不与轴垂直的直线交抛物线于，两点，且的中点在椭圆上，的垂直平分线交轴于点。
（1）求抛物线的方程；
（2）求点横坐标的取值范围。
题型5 抛物线中的最值问题
求距离的最值，常见的解题思路：
一是利用抛物线的标准方程进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以计算函数最值来解决，体现了数学计算的核心素养；
二是利用数形结合转化两平行线间距离求得，体现了逻辑推理素养，提升直观想象能力。
例8 求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离。
题型6 抛物线中的定值问题
例9 已知动圆E经过定点D(1,0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点P(1,2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值。
高二数学 圆锥曲线 抛物线 2 / 2
课后巩固练习
一、选择题
1、已知双曲线方程为x2－＝1，过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l共有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
2、若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为( )
A．(－2,2) B．[－2,2) C．(－2,2] D．[－2,2]
3、过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于( )
A. B．2 C．3 D．4
4、已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为( )
A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9 C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25
5、动点P(x，y)到点F(3,0)的距离比它到直线x＋2＝0的距离大1，则动点的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
6、设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7、（多选）已知抛物线C：y＝的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于( )
A．2 B．－2 C．－4 D．4
二、填空题
8、若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则k的取值范围为________。
9、已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，则a的取值范围是____________。
10、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________。
11、若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________。
12、已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，则点N的轨迹方程是________________________________。
三、解答题
13、已知双曲线的方程为x2－＝1，直线l过点P(1,1)，斜率为k. 当k为何值时，直线l与双曲线有一个公共点？
14、斜率为2的直线l在双曲线－＝1上截得的弦长为，求直线l的方程。
15、抛物线M:的焦点为F，过焦点F的直线l(与x轴不垂直)交抛物线M于点A，B，A关于x轴的对称点为。
（1）求证:直线过定点，并求出这个定点；
（2）若的垂直平分线交抛物线于C，D，四边形外接圆圆心N的横坐标为19，求直线AB和圆N的方程。
高二数学 圆锥曲线 课后巩固练习 2 / 2
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