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山东省济宁市兖州区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
1．（2020九上·兖州期末）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
B. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；
C. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；
D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件；
故答案为：C．
【分析】根据必然事件的定义逐项判断即可。
2．（2020九上·兖州期末）身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（　　）
A．185cm B．180cm C．170cm D．160cm
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】由题意得：设小雪的身高为 ，则 ，解得： ，故答案为：B.
【分析】根据物高：影长=物高：影长列出比例式可求解。
3．（2020九上·兖州期末）如图，在 中， ， ，则 的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 ， ，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据，可得，再利用三角形的内角和求出∠A即可。
4．（2020九上·兖州期末）方程 的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项： ，
去括号，合并同类项： ，
提公因式： ，
x=0或x+2=0，
解得： ．
故答案为：D．
【分析】先移项，再去括号合并同类项，用因式分解法解方程即可．
5．（2020九上·兖州期末）抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，
∴ ，解得x=3，
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称性和为X轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标。
6．（2020九上·兖州期末）已知反比例函数 ，下列结论错误的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，1） B．图象在第二、四象限
C．当x＜0时，y随着x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞2
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】A、把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项不符合题意；
B、因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
C、当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、当x＞0时，y＜0，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可。
7．（2020九上·兖州期末）在 中， ， ， ，以C为圆心， cm长为半径的圆与AB的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴，
设直角三角形ABC的斜边AB上的高是h，
，
∵ ，即圆心C到直线AB的距离等于圆的半径，
∴直线与圆的位置关系是相切．
故答案为：A．
【分析】由 ， ， ，得出AB的值，设直角三角形ABC的斜边AB上的高是h，因为 ，即圆心C到直线AB的距离等于圆的半径，所以直线与圆的位置关系是相切．
8．（2020九上·兖州期末）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（　　）
A．2 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB'＝ ，
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，由勾股定理得出结果。
9．（2020九上·兖州期末）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E，F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a：b等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ cm，
∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴a：b= ：1.
故答案为：A.
【分析】根据线段的中点，可得，由于矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，可得 ，即得 ，从而可得，据此即可求出结论.
10．（2020九上·兖州期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞ 时，y1＜y2
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝ ，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即 ＜t＜1，
∴当 ＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误；
故答案为：D.
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝ 2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0， 2），A（ 1，m）和b＝ 2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断.
11．（2020九上·兖州期末）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么 的值等于　 　．
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
故答案为 ．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得。
12．（2020九上·兖州期末）一个不透明的袋中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白球的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：不透明的袋子里共有将5个球，其中2个白球，
∴任意摸出一个球为白球的概率是： ，
故答案为： .
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部的情况数；②符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率.
13．（2020九上·兖州期末）2019年12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有　 　家公司参加了这次会议．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设共有x家公司参加了这次会议，
根据题意，得： x(x﹣1)=28，
整理，得： x2﹣x﹣56=0，
解得：x1=8，x2=﹣7(不合题意，舍去) ，
答：共有8家公司参加了这次会议．
故答案是：8．
【分析】设共有x家公司参加了这次会议，根据“所有参会公司共签订了28份合同”可列出方程 x(x﹣1)=28，求解即可。
14．（2020九上·兖州期末）如图，已知矩形OABC的面积为 ，它的对角线OB与双曲线 相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝　 　.
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作 ，
则 ，
由相似三角形性质得，
，
而 ，
则 ，
由于 ，
所以
故答案为：12.
【分析】过点D作DE⊥OA ，证明△ODE∽△OBA ，再根据相似三角形的性质列比例式求出△ODE的面积，然后根据反比例函数k的几何意义解答即可.
15．（2020九上·兖州期末）如图，点 的坐标为 ，过点 作不轴的垂线交直 于点 以原点 为圆心， 的长为半径断弧交 轴正半轴于点 ；再过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以原点 为圆心，以 的长为半径画弧交 轴正半轴于点 ；…按此作法进行下去，则 的长是　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：直线y= x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2 ），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，
OA2= ，点A2的坐标为（4，0），
这种方法可求得B2的坐标为（4，4 ），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8 ）
以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），
则 的长是 ．
故答案为 ．
【分析】先根据一次函数的方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解。
16．（2020九上·兖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长　 　
【答案】AD=4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴
∴ ，
∴AD＝4．
【分析】先证明△ADE∽△ACB，可得，再将数据代入计算即可。
17．（2020九上·兖州期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求出此时方程的两个根.
【答案】（1）解：由题意得
整理得
解得 ；
（2）解：当 时，方程变形为
因式分解，得
即 或
故 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式即可；（2）利用因式分解法求解即可.
18．（2020九上·兖州期末）奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了多少名学生？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．
【答案】（1）解：此次共调查的学生有：40÷ ＝200（名）；
（2）解：足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人），
补全统计图如下：
（3）解：根据题意画树状图如下：
共用25种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有20种，
则他俩选择不同项目的概率是 ＝ ．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案；（2）用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数，从而补全统计图；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
19．（2020九上·兖州期末）如图，在矩形ABCD中， ， ，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作 ，垂足为E．
（1）设 ， ，求y与x之间函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围，并求出y的最大值．
【答案】（1）解：连接AP，
∵四边形ABCD是矩形
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
；
（2）解：当B，P重合时，x的值最短为 ，当P，C重合时，x的值最长为4，
则自变量x的取值范围：
∵在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴当 时， ．
【知识点】反比例函数的性质；列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）由矩形的性质推出 ， 因为 ， 由此得出结果；
（2） 当B，P重合时，x的值最短为 ，当P，C重合时，x的值最长为4，则自变量x的取值范围： ， 在第一象限内，y随x的增大而减小， 即可得出结论。
20．（2020九上·兖州期末）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状：　 　；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【答案】（1）等边三角形
（2）PA+PB=PC．
证明：如图1，在PC上截取PD=PA， 连接AD．
∵∠APC=60°．
∴△PAD是等边三角形．
∴PA=AD， ∠PAD=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC．
∵AB=AC．
∴△PAB≌△DAC．
∴PB=DC．
∵PD+DC=PC，
∴PA+PB=PC．
（3）解：当点P为 的中点时，四边形APBC面积最大．
理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△PAB= AB·PE．S△ABC= AB·CF．
∴S四边形APBC= AB（PE+CF）．
当点P为 的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径．
∴此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB= ．
∴S四边形APBC= ×2× = ．
【知识点】等边三角形的判定；圆周角定理；圆-动点问题
【解析】【解答】（1）等边三角形；
由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形；
故答案为等边三角形；
【分析】（1）利用圆周角定理得出∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，从而判断 △ABC的形状 ；
（2） 在PC上截取PD=PA， 连接AD． 得出 △PAD是等边三角形． 再证明 △PAB≌△DAC． 证明 PB=DC． 即可得出结论；
（3） 过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点P作PE⊥AB，垂足为E， 由 S△PAB= AB·PE．S△ABC= AB·CF ， S四边形APBC= AB（PE+CF）．当点P为 的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径．此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大． 因为 ⊙O的半径为1， 即可得出结果。
21．（2020九上·兖州期末）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 （单位：件）与线下售价 （单位：元/件， ）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件） 12 13 14 15 16
y(件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【答案】（1）解：因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得
解得
∴ 与 的函数关系式为 ．
（2）解：设商家线上和线下的月利润总和为 元，则可得
=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）
=-100x2+3800x-28800
= ，
因为-100<0，
所以当x=19时，w有最大值，为7300，
所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；（2）设线上和线下月利润总和为w元，则w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
22．（2020九上·兖州期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O， ＝ ，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ α，
（2）证明：如图1，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵ ，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）解：①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝ ∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴ ，
∵在Rt△ABG中，AG＝ ，
在Rt△ADE中，AE＝ AD，
∴ ，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝ ，
∴ED＝AD＝ ，
∴CE＝CD+DE＝ ，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝ CE＝ ，
∴DM＝DE﹣EM＝ ，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝ ，
∴S△DEF＝ DE FM＝ ．
【知识点】圆的综合题；定义新运算
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出 ，求出 ，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x= ，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
1 / 1山东省济宁市兖州区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
1．（2020九上·兖州期末）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
2．（2020九上·兖州期末）身高为165cm的小冰在中午时影长为55cm，小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（　　）
A．185cm B．180cm C．170cm D．160cm
3．（2020九上·兖州期末）如图，在 中， ， ，则 的度数为（　　）
A．30° B．35° C．45° D．60°
4．（2020九上·兖州期末）方程 的解是（　　）
A． B． C． D．
5．（2020九上·兖州期末）抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020九上·兖州期末）已知反比例函数 ，下列结论错误的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，1） B．图象在第二、四象限
C．当x＜0时，y随着x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞2
7．（2020九上·兖州期末）在 中， ， ， ，以C为圆心， cm长为半径的圆与AB的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
8．（2020九上·兖州期末）如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（　　）
A．2 B．5 C． D．
9．（2020九上·兖州期末）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=a，宽BC=b，E，F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，则a：b等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2020九上·兖州期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a＝
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t＞ 时，y1＜y2
11．（2020九上·兖州期末）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么 的值等于　 　．
12．（2020九上·兖州期末）一个不透明的袋中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白球的概率是　 　.
13．（2020九上·兖州期末）2019年12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有　 　家公司参加了这次会议．
14．（2020九上·兖州期末）如图，已知矩形OABC的面积为 ，它的对角线OB与双曲线 相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝　 　.
15．（2020九上·兖州期末）如图，点 的坐标为 ，过点 作不轴的垂线交直 于点 以原点 为圆心， 的长为半径断弧交 轴正半轴于点 ；再过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，以原点 为圆心，以 的长为半径画弧交 轴正半轴于点 ；…按此作法进行下去，则 的长是　 　．
16．（2020九上·兖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为D，求AD的长　 　
17．（2020九上·兖州期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）当 时，求出此时方程的两个根.
18．（2020九上·兖州期末）奥体中心为满足暑期学生对运动的需求，欲开设球类课程，该中心随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”、“篮球”、“足球”、“排球”、“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了多少名学生？
（2）将条形统计图补充完整；
（3）我们把“羽毛球”“篮球”，“足球”、“排球”、“乒乓球”分别用A，B，C，D，E表示．小明和小亮分别从这些项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择不同项目的概率．
19．（2020九上·兖州期末）如图，在矩形ABCD中， ， ，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作 ，垂足为E．
（1）设 ， ，求y与x之间函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围，并求出y的最大值．
20．（2020九上·兖州期末）如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状：　 　；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于 的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
21．（2020九上·兖州期末）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量 （单位：件）与线下售价 （单位：元/件， ）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件） 12 13 14 15 16
y(件） 1200 1100 1000 900 800
（1）求 与 的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
22．（2020九上·兖州期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O， ＝ ，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．
①求∠AED的度数；
②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
B. 任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；
C. 从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；
D. 汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件；
故答案为：C．
【分析】根据必然事件的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】由题意得：设小雪的身高为 ，则 ，解得： ，故答案为：B.
【分析】根据物高：影长=物高：影长列出比例式可求解。
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】 ， ，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据，可得，再利用三角形的内角和求出∠A即可。
4．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项： ，
去括号，合并同类项： ，
提公因式： ，
x=0或x+2=0，
解得： ．
故答案为：D．
【分析】先移项，再去括号合并同类项，用因式分解法解方程即可．
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，
∴ ，解得x=3，
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的对称性和为X轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标。
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】A、把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项不符合题意；
B、因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
C、当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D、当x＞0时，y＜0，故本选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可。
7．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴，
设直角三角形ABC的斜边AB上的高是h，
，
∵ ，即圆心C到直线AB的距离等于圆的半径，
∴直线与圆的位置关系是相切．
故答案为：A．
【分析】由 ， ， ，得出AB的值，设直角三角形ABC的斜边AB上的高是h，因为 ，即圆心C到直线AB的距离等于圆的半径，所以直线与圆的位置关系是相切．
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，
∵每个小正方形的边长均为1，
∴AB'＝ ，
故答案为：C．
【分析】由旋转的性质作出△A'OB'，连接AB'，由勾股定理得出结果。
9．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴ cm，
∵矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴a：b= ：1.
故答案为：A.
【分析】根据线段的中点，可得，由于矩形AEFD的长与宽的比等于矩形ABCD的长与宽的比，可得 ，即得 ，从而可得，据此即可求出结论.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a＝ ，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即 ＜t＜1，
∴当 ＜t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误；
故答案为：D.
【分析】由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝ 2a＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对B选项进行判断；把B（0， 2），A（ 1，m）和b＝ 2a代入抛物解析式可对C选项进行判断；利用二次函数的增减性对D进行判断.
11．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
故答案为 ．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得。
12．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：根据题意可得：不透明的袋子里共有将5个球，其中2个白球，
∴任意摸出一个球为白球的概率是： ，
故答案为： .
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部的情况数；②符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率.
13．【答案】8
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】设共有x家公司参加了这次会议，
根据题意，得： x(x﹣1)=28，
整理，得： x2﹣x﹣56=0，
解得：x1=8，x2=﹣7(不合题意，舍去) ，
答：共有8家公司参加了这次会议．
故答案是：8．
【分析】设共有x家公司参加了这次会议，根据“所有参会公司共签订了28份合同”可列出方程 x(x﹣1)=28，求解即可。
14．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作 ，
则 ，
由相似三角形性质得，
，
而 ，
则 ，
由于 ，
所以
故答案为：12.
【分析】过点D作DE⊥OA ，证明△ODE∽△OBA ，再根据相似三角形的性质列比例式求出△ODE的面积，然后根据反比例函数k的几何意义解答即可.
15．【答案】
【知识点】弧长的计算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：直线y= x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2 ），
以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2=OB1，
OA2= ，点A2的坐标为（4，0），
这种方法可求得B2的坐标为（4，4 ），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8 ）
以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），
则 的长是 ．
故答案为 ．
【分析】先根据一次函数的方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解。
16．【答案】AD=4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴
∴ ，
∴AD＝4．
【分析】先证明△ADE∽△ACB，可得，再将数据代入计算即可。
17．【答案】（1）解：由题意得
整理得
解得 ；
（2）解：当 时，方程变形为
因式分解，得
即 或
故 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式即可；（2）利用因式分解法求解即可.
18．【答案】（1）解：此次共调查的学生有：40÷ ＝200（名）；
（2）解：足球的人数有：200﹣40﹣60﹣20﹣30＝50（人），
补全统计图如下：
（3）解：根据题意画树状图如下：
共用25种等可能的情况数，其中他俩选择不同项目的有20种，
则他俩选择不同项目的概率是 ＝ ．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）用羽毛球的人数除以所占的百分比即可得出答案；（2）用总人数减去其他项目的人数求出足球的人数，从而补全统计图；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数和他俩选择不同项目的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
19．【答案】（1）解：连接AP，
∵四边形ABCD是矩形
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
；
（2）解：当B，P重合时，x的值最短为 ，当P，C重合时，x的值最长为4，
则自变量x的取值范围：
∵在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴当 时， ．
【知识点】反比例函数的性质；列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）由矩形的性质推出 ， 因为 ， 由此得出结果；
（2） 当B，P重合时，x的值最短为 ，当P，C重合时，x的值最长为4，则自变量x的取值范围： ， 在第一象限内，y随x的增大而减小， 即可得出结论。
20．【答案】（1）等边三角形
（2）PA+PB=PC．
证明：如图1，在PC上截取PD=PA， 连接AD．
∵∠APC=60°．
∴△PAD是等边三角形．
∴PA=AD， ∠PAD=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC．
∵AB=AC．
∴△PAB≌△DAC．
∴PB=DC．
∵PD+DC=PC，
∴PA+PB=PC．
（3）解：当点P为 的中点时，四边形APBC面积最大．
理由如下：如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E，
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△PAB= AB·PE．S△ABC= AB·CF．
∴S四边形APBC= AB（PE+CF）．
当点P为 的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径．
∴此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB= ．
∴S四边形APBC= ×2× = ．
【知识点】等边三角形的判定；圆周角定理；圆-动点问题
【解析】【解答】（1）等边三角形；
由圆周角定理得，∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，
∴△ABC是等边三角形；
故答案为等边三角形；
【分析】（1）利用圆周角定理得出∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠CPB=60°，从而判断 △ABC的形状 ；
（2） 在PC上截取PD=PA， 连接AD． 得出 △PAD是等边三角形． 再证明 △PAB≌△DAC． 证明 PB=DC． 即可得出结论；
（3） 过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点P作PE⊥AB，垂足为E， 由 S△PAB= AB·PE．S△ABC= AB·CF ， S四边形APBC= AB（PE+CF）．当点P为 的中点时，PE+CF=PC．PC为⊙O的直径．此时四边形∠PAD=60°∠PAD=60°面积最大． 因为 ⊙O的半径为1， 即可得出结果。
21．【答案】（1）解：因为y与x满足一次函数的关系，所以设y=kx+b.
将点（12，1200），（13，1100）代入函数解析式得
解得
∴ 与 的函数关系式为 ．
（2）解：设商家线上和线下的月利润总和为 元，则可得
=400（x-12）+（-100x+2400）（x-10）
=-100x2+3800x-28800
= ，
因为-100<0，
所以当x=19时，w有最大值，为7300，
所以当线下售价定为19元/件时，月利润总和最大，此时最大利润是7300元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；（2）设线上和线下月利润总和为w元，则w=400（x-2-10）+y（x-10）=400x-4800+（-100x+2400）（x-10）=-100（x-19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
22．【答案】（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ α，
（2）证明：如图1，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
又∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵ ，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
（3）解：①如图2，连接CF，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BAC，
∴∠BFC＝2∠BEC，
∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，
∴∠BEC＝∠FCE，
∵∠FCE＝∠FAD，
∴∠BEC＝∠FAD，
又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，
∴△FDE≌△FDA（AAS），
∴DE＝DA，
∴∠AED＝∠DAE，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠DAE＝45°，
②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠FAC＝∠EBC＝ ∠ABC＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠AED＝∠FAC，
∵∠FED＝∠FAD，
∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，
∴∠AEG＝∠CAD，
∵∠EGA＝∠ADC＝90°，
∴△EGA∽△ADC，
∴ ，
∵在Rt△ABG中，AG＝ ，
在Rt△ADE中，AE＝ AD，
∴ ，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，
∴x＝ ，
∴ED＝AD＝ ，
∴CE＝CD+DE＝ ，
∵∠BEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∵FM⊥CE，
∴EM＝ CE＝ ，
∴DM＝DE﹣EM＝ ，
∵∠FDM＝45°，
∴FM＝DM＝ ，
∴S△DEF＝ DE FM＝ ．
【知识点】圆的综合题；定义新运算
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；
（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC，证得∠ABF=∠FBC，证出∠ACD=∠DCT，则CE是△ABC的外角平分线，可得出结论；
（3）①连接CF，由条件得出∠BFC=∠BAC，则∠BFC=2∠BEC，得出∠BEC=∠FAD，证明△FDE≌△FDA（AAS），由全等三角形的性质得出DE=DA，则∠AED=∠DAE，得出∠ADC=90°，则可求出答案；
②过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，证得△EGA∽△ADC，得出 ，求出 ，设AD=4x，AC=5x，则有（4x）2+52=（5x）2，解得x= ，求出ED，CE的长，求出DM，由等腰直角三角形的性质求出FM，根据三角形的面积公式可得出答案．
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