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山东省青岛市崂山区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．（2020九上·崂山期末）在同一时刻，身高1.70米的小强在阳光下的影长为0.85米，一棵大树的高为5.8米，则树的影长为（　　）
A．10.6米 B．2.9米 C．11.6米 D．5.8米
2．（2020九上·崂山期末）点（2，﹣4）在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．4 D．﹣8
3．（2020九上·崂山期末）平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是（　　）
A．y＝﹣2（x＋2）2＋1 B．y＝﹣2（x＋2）2﹣1
C．y＝﹣2（x﹣2）2＋1 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
4．（2020九上·崂山期末）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020九上·崂山期末）如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　）
A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图改变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图不变，左视图不变
6．（2021九上·阳谷月考）如图，河堤横断面的坡比BC：AC是1： ，AC＝6m．则坡面AB的长度是（　　）
A．12m B．8 m C．4 m D．6m
7．（2019九下·佛山模拟）如图A，B，C是 上的三个点，若 ，则 等于（　　）
A．50° B．80° C．100° D．130°
8．（2020九上·崂山期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣2b＋c﹣3＝0；②9a﹣3b＋c＞0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝4有两个不相等实数根；④b＝4a．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2020九上·崂山期末）二次函数y＝2x2＋4x＋（m﹣5）的图象与x轴有两个不同交点，则m的取值范围为　 　．
10．（2020九上·崂山期末）一个不透明的盒子中装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有301次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有　 　个．
11．（2020九上·崂山期末）sin260°＋tan230°﹣cos245°＝　 　．
12．（2020九上·崂山期末）⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上不同于A，B一点，在△ABC中，∠B＝30°，则AC长为　 　cm．
13．（2020九上·崂山期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝ ，则AC＝　 　．
14．（2020九上·崂山期末）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝12，AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长是　 　．
三、解答题
15．（2020九上·崂山期末）如图，有一块三角形的铁皮．
求作：以∠B为一个内角的菱形BEFG，使顶点F在AC边上．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
16．（2020九上·崂山期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）（2x＋5）（x＋1）＝x＋7
17．（2020九上·崂山期末）一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于M（﹣1，3），N（ ，m），求两个函数的表达式．
18．（2020九上·崂山期末）设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从2，3，4三个数中任取的一个数，求该方程有两个不相等的实数根的概率．
19．（2020九上·崂山期末）已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）列表描点画出这个二次函数的图象．
x …
　
　
　
　
　 …
y …
　
　
　
　
　 …
20．（2020九上·崂山期末）如图，某风景区内有一古塔AB，在塔的一侧有一建筑物，当光线与水平面的夹角是30°时，塔在建筑物的墙上留下了高为4米的影子CD；而当光线与地面的夹是45°时，塔尖A在地面上的影子E与建筑物的距离EC为10米（B，E，C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留到0.1米）．（ ≈1.41， ≈1.73）
21．（2020九上·崂山期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF．
（1）求证：△AED∽△ACB；
（2）若∠ACB＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并加以证明．
22．（2020九上·崂山期末）某公司生产了一种产品，每件的成本是100元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降低5元，每天就可多售出10件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为150元时，每天的销售利润是多少？
（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
23．（2020九上·崂山期末）[问题]当t≤x≤t＋1时，求二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的最大值．
[探究]我们先从简单情形入手，再逐次递进，最后得出结论．
（1）当t＝﹣2时，﹣2≤x≤﹣1时，对应图象在对称轴x＝1左侧，且a＝﹣1＜0，y随x的增大而增大，所以二次函数最大值在x＝﹣1时取得，最大值为y＝0，由此可见当t≤x≤t＋1在对称轴x＝1左侧时，即t＋1＜1，此时t＜0，二次函数最大值在x＝t＋1取得，最大值y＝　 　．
（2）当t＝﹣1时，﹣ ≤x≤ ，包含称轴x＝1，此时在对称轴x＝1取得最大值．由此可见当t≤x≤t＋1包含对称轴x＝1时，即t≤1≤t＋1，此时0≤t≤1，最大值在对称轴x＝1取得，最大值为　 　．
（3）当t＝2时，2≤x≤3时，对应图象在对称轴x＝1右侧，且a＝﹣1＜0，y随x的增大而减小，所以二次函数最大值在x＝2时取得，最大值为y＝3，由此可见当t≤x≤t＋1在对称轴x＝1右侧时，即t＞1时，最大值在x＝t取得，最大值y＝　 　．
（4）当t≤x≤t＋2时，求二次函数y＝x2﹣2x的最小值．
24．（2020九上·崂山期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AB＝10，AD＝14，AE＝6，动点P在线段BC上从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q在线段DC上从点D出发沿DC的方向以每秒1个单位长的速度匀速运动．过P做PF⊥BC交AB于F，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒（0≤t≤8）．
（1）当t为何值时，四边形ADQF是平行四边形？
（2）是否存在某一时刻t，使得点Q在线段PF的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△PFQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得△PFQ的面积S最大？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设树的影为x米，
∵小强的身高：树的高度=小强的影长：树的影长，
∴ ，
解得：x＝2.9，
即这棵树的高度为2.9米，
故答案为：B．
【分析】设树的影为x米，利用平行投影的性质列出比例式求解即可。
2．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】将点（2，﹣4）代入反比例函数y＝ 中得： ，
解得：k＝﹣8，
故答案为：D．
【分析】将点（2，-4）代入反比例函数解析式求解即可。
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是：y＝﹣2（x＋2）2﹣1．
故答案为：B．
【分析】利用函数图象平移的特征：左加右减，上加下减的原则求解即可。
4．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
故答案为：A．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得 ＝ ＝ ，即可得到 ＝ ．
5．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；
俯视图变化，正方体①移走前的俯视图为底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形；将正方体①移走后的俯视图为一行两个小正方形；
左视图改变，正方体①移走前的左视图为底层左边是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；将正方体①移走后的左视图为一列两个小正方形．
所以俯视图改变，左视图改变．
故答案为：C．
【分析】根据要求求出立体图形的三视图，再判断即可。
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡比BC：AC是1： ，AC＝6m，
∴ ＝ ，
解得，BC＝2 （m），
由勾股定理得，AB＝ ＝4 （m），
故答案为：C．
【分析】根据坡比的定义可以得到BC：AC=1：，再将AC=6代入计算可求出BC的长，最后利用勾股定理求出AB即可。
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故答案为：D
【分析】由题意，计算得到优弧AC的度数，根据圆周角定理，即可得到∠ABC的度数。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，函数的最大值为3，
∴顶点为（﹣2，3），
∴4a﹣2b＋c＝3，
∴4a﹣2b＋c﹣3＝0，故①符合题意；
∵抛物线开口向下，且与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，
∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b＋c＞0，故②符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点为（﹣2，3），
∴抛物线与直线y＝4没有交点，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝4没有实数根，故③不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴b＝4a，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据顶点坐标即可判断①，当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b＋c＞0，即可判断②，关于x的方程ax2＋bx＋c＝4没有实数根，即可判断③，根据对称轴即可判断④。
9．【答案】m＜7
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵若二次函数y＝2x2＋4x＋（m﹣5）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣5）×2＝﹣8m＋56＞0，
解得：m＜7．
故答案是：m＜7．
【分析】直接利用二次函数的图象与x轴有两个不同的交点故b2﹣4ac＞0，即可得出答案。
10．【答案】9
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设盒子中的白球大约有x个，
根据题意，得： ，
解得x≈9，
经检验：x＝9是分式方程的解，
所以盒子中白球的个数约为9个，
故答案为：9．
【分析】设盒子中的白球大约有x个，根据题意列出方程，解之并检验即可。
11．【答案】
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式＝（ ）2＋（ ）2﹣（ ）2
＝
＝ ．
故答案为： ．
【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
12．【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10cm，∠B＝30°，
∴AC＝ AB＝ ×10＝5（cm）．
∴AC的长为5cm．
故答案是：5．
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角，确定三角形ABC是直角三角形，再用30度角的直角边是斜边的一半求得AC的长即可。
13．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝ ＝ ，
不妨设AC＝12k，则AB＝13k，由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
即（12k）2＋32＝（13k）2，
解得k＝ （取正值），
所以AC＝12k＝ ，
故答案为： ．
【分析】根据锐角三角函数和勾股定理求解即可。
14．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，AC＝12，
∴AC＝BD＝12，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD＝6，
∵AE＝CF＝3，
∴EO＝FO＝3，
∴DE＝DF＝BF＝BE＝ ，
∴四边形BEDF的周长是 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意和正方形的性质，利用勾股定理可以求得DE、EB、BF、FD的长，从而可以求得四边形BEDF的周长。
15．【答案】解：如图，四边形BEFG即为所求作．
【知识点】尺规作图的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】作BF平分∠ABC交AC于F，作线段BF的垂直平分线交AB于G，交BC于E即可。
16．【答案】（1）解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x＋1）（x﹣3）＝0，
则x＋1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3；
（2）解：整理成一般式为x2＋3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）整理成一般式，在利用公式法求解即可。
17．【答案】解：把点M（﹣1，3）代入y＝ 得： ，
解得：k＝﹣3，
∴反比例函数为y＝﹣ ，
把点N（ ，m）代入解析式y＝﹣ 中得：m＝﹣2，
∴N（ ，﹣2），
把M、N的坐标代入y＝ax＋b得： ，
解得： ，
∴直线解析式为：y＝﹣2x＋1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】直接利用待定系数法可分别求得两个函数的解析式。
18．【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根，
∴4a2﹣4b＞0，即a2＞b
画树状图如图：
共有9个等可能的结果，方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的结果有5个，
∴方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】画树状图得出所有等可能的结果，方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的结果有5个，再由概率公式求解即可。
19．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）分别代入得 ，
解得： ．
∴y＝﹣x2＋2x＋3.
（2）解：列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点，连线，如图．
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）分别代入求出a、b、c即可；
（2）利用苗描点法画二次函数图象。
20．【答案】解：过点D作DF⊥AB于F，
则四边形FBCD为矩形，
∴BF＝CD＝4（米），
设AB＝x米，则AF＝（x﹣4）米，
在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，
∴BE＝AB＝x（米），
∴BC＝（x＋10）米，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝ ，即 ，
解得，x＝7 ＋11≈23.1，
经检验，x＝23.1是原方程的解，
答：塔AB的高度约为23.1米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于F，设AB＝x米，则AF＝（x﹣4）米，根据等腰直角三角形的形状得出BE，根据正切的定义列出方程，解方程即可得出答案。
21．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//BC，
∴△AED∽△ACB
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵CF//AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE和△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（ASA），
∴DE＝FE，
∵AE＝CE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵DE//BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，
∴四边形ADCF是菱形．
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据点D，E分别是边AB，AC的中点，得出DE//BC，即可证明△AED∽△ACB；
（2）利用ASA证明△DAE≌△FCE得出DE＝FE，即可得出四边形ADCF是平行四边形，再证明AC⊥DF，根据对角线互相垂直平分的四边形时菱形即可得出结论。
22．【答案】（1）解：当销售单价为150元时，销售量为：100＋（200﹣150）÷5×10＝100＋100＝200（件），
∴每天的销售利润为：（150﹣100）×200＝50×200＝10000（元），
∴当销售单价为150元时，每天的销售利润10000元；
（2）解：设销售单价为x元（x≥100），每天销售利润为y，
由题意可得：y=（x-100）[100+（200-x）÷5×10]=﹣2x2＋700x﹣50000，
∴每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式y＝﹣2x2＋700x﹣50000；（3）如果该企业每天的总成本不超过14000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
解：∵该企业每天的总成本不超过14000元，
∴100（500﹣2x）≤14000，解得：x≥180，
又由（2）知，
y＝﹣2x2＋700x﹣50000
＝﹣2（x2﹣350x）﹣50000
＝﹣2（x﹣175）2＋11250，
∵﹣2＜0，
∴当x≥180时，y随x的增大而减小，
∴当x＝180时，y取最大值，最大值为﹣2（180﹣175）2＋11250＝11200（元），
∴销售单价为180元时，每天的销售利润最大，最大利润为11200元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据“销售单价是200元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降低5元，每天就可多售出10件”求出每天的销售量，再根据利润=（售价-成本）×销售量求出每天的销售利润；
（2）设销售单价为x元（x≥100），每天销售利润为y，先求出每天的销售量，再根据利润=（售价-成本）×销售量，列出函数关系。
23．【答案】（1）﹣t2＋4
（2）4
（3）﹣t2＋2t＋3
（4）解：抛物线y＝x2﹣2x对称轴为x＝1，
①当t＋2＜1，即t＜﹣1时，且a＝1＞0，t≤x≤t＋2对应图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴当x＝t＋2时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）取得最小值，最小值为y＝（t＋2）2﹣2（t＋2）＝t2＋2t；
②当 ，即﹣1≤t≤1时，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）取得最小值，最小值为y＝﹣1；
③当t＞1时，t≤x≤t＋2对应图象在对称轴右侧，且a＝1＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝t时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）取得最小值，最小值为y＝t2﹣2t；
综上所述，当t＜﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）的最小值为t2＋2t；
当﹣1≤t≤1时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）最小值为﹣1；
当t＞1时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）最小值为t2﹣2t．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）把x＝t＋1代入y＝﹣x2＋2x＋3得：y＝﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3＝﹣t2＋4，
故答案为：﹣t2＋4；
（2）把x＝1代入y＝﹣x2＋2x＋3得：y＝﹣12＋2×1＋3＝4；
故答案为：4；
（3）把x＝t代入y＝﹣x2＋2x＋3得：y＝﹣t2＋2t＋3；
故答案为：﹣t2＋2t＋3；
【分析】（1）把x＝t＋1代入y＝﹣x2＋2x＋3即可得出最大值﹣t2＋4；
（2）把x＝1代入y＝﹣x2＋2x＋3即可得出最大值是4；
（3）把x＝t代入y＝﹣x2＋2x＋3即可得出最大值是﹣t2＋2t＋3；
（4）抛物线y＝x2﹣2x对称轴为x＝1，分①当t＋2＜1，②当 ，③当t＞1时，三种情况分类讨论即可。
24．【答案】（1）解：如图：当AF＝DQ时，四边形ADQF是平行四边形，
，
在Rt△ABE中，AB＝10，AE＝6，
∴BE＝ ＝8，
∴cos∠ABE＝ ＝ ，
在Rt△FBP中，BP＝t，cos∠FBP＝ ，
∵cos∠FBP＝ ＝ ，
∴BF＝ t，
当AF＝DQ时，即10﹣ t＝t，解得t＝ ；
（2）解：当t＝ 时，使得点Q在线段PF的垂直平分线上．
证明：设线段EF的垂直平分线交AB、CD分别于点G、Q．如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，QG//BC，
∴四边形BGQC，四边形AGQD均为平行四边形，
∴BG＝CQ，AG＝DQ，
∵QG为线段FP的垂直平分线，
∴BG＝GF，
∵BG＝CQ＝10﹣t，
∴BF＝2BG＝20﹣2t，
在Rt△BFP中，BF＝20﹣2t，BP＝t，
∵cos∠FBP＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得t＝ ；
（3）解：过点Q作QH⊥BC，交BC延长线于点H，如图，
，
在Rt△BFP中，BP＝t，tan∠FBP＝ ，
∴tan∠FBP＝ ＝ ，解得PF＝ t，
在Rt△CHQ中，CQ＝10﹣t，cos∠HCQ＝cos∠FBP＝ ，
∴cos∠HCQ＝ ＝ ，解得HC＝ （10﹣t），
∴PH＝PC＋CH＝14﹣t＋8﹣ t＝22﹣ t，
∴
＝
＝ （0≤t≤8）；
（4）解：存在，当t＝ 时，三角形面积最大．
证明：由（3）得S△PFQ＝ ，（0≤t≤8）．
∵a＝﹣ ＜0，
∴当t＝﹣ ＝﹣ ＝ 时，满足0≤t≤8.三角形面积有最大值．
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）当利用AF与DQ长相等进行求解即可；
（2）线段PF的垂直平分线与AD平行时可求出时间t；
（3）三角形面积以FP为底边，Q到FP的距离为高，列出表达式；
（4）对第三问的表达式求解即可。
1 / 1山东省青岛市崂山区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．（2020九上·崂山期末）在同一时刻，身高1.70米的小强在阳光下的影长为0.85米，一棵大树的高为5.8米，则树的影长为（　　）
A．10.6米 B．2.9米 C．11.6米 D．5.8米
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设树的影为x米，
∵小强的身高：树的高度=小强的影长：树的影长，
∴ ，
解得：x＝2.9，
即这棵树的高度为2.9米，
故答案为：B．
【分析】设树的影为x米，利用平行投影的性质列出比例式求解即可。
2．（2020九上·崂山期末）点（2，﹣4）在反比例函数y＝ 的图象上，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．4 D．﹣8
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】将点（2，﹣4）代入反比例函数y＝ 中得： ，
解得：k＝﹣8，
故答案为：D．
【分析】将点（2，-4）代入反比例函数解析式求解即可。
3．（2020九上·崂山期末）平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是（　　）
A．y＝﹣2（x＋2）2＋1 B．y＝﹣2（x＋2）2﹣1
C．y＝﹣2（x﹣2）2＋1 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣2x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式是：y＝﹣2（x＋2）2﹣1．
故答案为：B．
【分析】利用函数图象平移的特征：左加右减，上加下减的原则求解即可。
4．（2020九上·崂山期末）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ．
故答案为：A．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得 ＝ ＝ ，即可得到 ＝ ．
5．（2020九上·崂山期末）如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　）
A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图改变
C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图不变，左视图不变
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；
俯视图变化，正方体①移走前的俯视图为底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形；将正方体①移走后的俯视图为一行两个小正方形；
左视图改变，正方体①移走前的左视图为底层左边是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；将正方体①移走后的左视图为一列两个小正方形．
所以俯视图改变，左视图改变．
故答案为：C．
【分析】根据要求求出立体图形的三视图，再判断即可。
6．（2021九上·阳谷月考）如图，河堤横断面的坡比BC：AC是1： ，AC＝6m．则坡面AB的长度是（　　）
A．12m B．8 m C．4 m D．6m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡比BC：AC是1： ，AC＝6m，
∴ ＝ ，
解得，BC＝2 （m），
由勾股定理得，AB＝ ＝4 （m），
故答案为：C．
【分析】根据坡比的定义可以得到BC：AC=1：，再将AC=6代入计算可求出BC的长，最后利用勾股定理求出AB即可。
7．（2019九下·佛山模拟）如图A，B，C是 上的三个点，若 ，则 等于（　　）
A．50° B．80° C．100° D．130°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故答案为：D
【分析】由题意，计算得到优弧AC的度数，根据圆周角定理，即可得到∠ABC的度数。
8．（2020九上·崂山期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣2b＋c﹣3＝0；②9a﹣3b＋c＞0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝4有两个不相等实数根；④b＝4a．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，函数的最大值为3，
∴顶点为（﹣2，3），
∴4a﹣2b＋c＝3，
∴4a﹣2b＋c﹣3＝0，故①符合题意；
∵抛物线开口向下，且与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，
∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b＋c＞0，故②符合题意；
∵抛物线开口向下，顶点为（﹣2，3），
∴抛物线与直线y＝4没有交点，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝4没有实数根，故③不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣2，
∴b＝4a，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据顶点坐标即可判断①，当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b＋c＞0，即可判断②，关于x的方程ax2＋bx＋c＝4没有实数根，即可判断③，根据对称轴即可判断④。
二、填空题
9．（2020九上·崂山期末）二次函数y＝2x2＋4x＋（m﹣5）的图象与x轴有两个不同交点，则m的取值范围为　 　．
【答案】m＜7
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵若二次函数y＝2x2＋4x＋（m﹣5）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣5）×2＝﹣8m＋56＞0，
解得：m＜7．
故答案是：m＜7．
【分析】直接利用二次函数的图象与x轴有两个不同的交点故b2﹣4ac＞0，即可得出答案。
10．（2020九上·崂山期末）一个不透明的盒子中装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验500次，其中有301次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有　 　个．
【答案】9
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设盒子中的白球大约有x个，
根据题意，得： ，
解得x≈9，
经检验：x＝9是分式方程的解，
所以盒子中白球的个数约为9个，
故答案为：9．
【分析】设盒子中的白球大约有x个，根据题意列出方程，解之并检验即可。
11．（2020九上·崂山期末）sin260°＋tan230°﹣cos245°＝　 　．
【答案】
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式＝（ ）2＋（ ）2﹣（ ）2
＝
＝ ．
故答案为： ．
【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
12．（2020九上·崂山期末）⊙O的直径AB＝10cm，C为⊙O上不同于A，B一点，在△ABC中，∠B＝30°，则AC长为　 　cm．
【答案】5
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝10cm，∠B＝30°，
∴AC＝ AB＝ ×10＝5（cm）．
∴AC的长为5cm．
故答案是：5．
【分析】先利用直径所对的圆周角是直角，确定三角形ABC是直角三角形，再用30度角的直角边是斜边的一半求得AC的长即可。
13．（2020九上·崂山期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝ ，则AC＝　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝ ＝ ，
不妨设AC＝12k，则AB＝13k，由勾股定理得，AC2＋BC2＝AB2，
即（12k）2＋32＝（13k）2，
解得k＝ （取正值），
所以AC＝12k＝ ，
故答案为： ．
【分析】根据锐角三角函数和勾股定理求解即可。
14．（2020九上·崂山期末）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝12，AE＝CF＝3，则四边形BEDF的周长是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是正方形，AC＝12，
∴AC＝BD＝12，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD＝6，
∵AE＝CF＝3，
∴EO＝FO＝3，
∴DE＝DF＝BF＝BE＝ ，
∴四边形BEDF的周长是 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意和正方形的性质，利用勾股定理可以求得DE、EB、BF、FD的长，从而可以求得四边形BEDF的周长。
三、解答题
15．（2020九上·崂山期末）如图，有一块三角形的铁皮．
求作：以∠B为一个内角的菱形BEFG，使顶点F在AC边上．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
【答案】解：如图，四边形BEFG即为所求作．
【知识点】尺规作图的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】作BF平分∠ABC交AC于F，作线段BF的垂直平分线交AB于G，交BC于E即可。
16．（2020九上·崂山期末）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0
（2）（2x＋5）（x＋1）＝x＋7
【答案】（1）解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x＋1）（x﹣3）＝0，
则x＋1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3；
（2）解：整理成一般式为x2＋3x﹣1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝﹣1，
∴△＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴
∴ ， ．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）整理成一般式，在利用公式法求解即可。
17．（2020九上·崂山期末）一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于M（﹣1，3），N（ ，m），求两个函数的表达式．
【答案】解：把点M（﹣1，3）代入y＝ 得： ，
解得：k＝﹣3，
∴反比例函数为y＝﹣ ，
把点N（ ，m）代入解析式y＝﹣ 中得：m＝﹣2，
∴N（ ，﹣2），
把M、N的坐标代入y＝ax＋b得： ，
解得： ，
∴直线解析式为：y＝﹣2x＋1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】直接利用待定系数法可分别求得两个函数的解析式。
18．（2020九上·崂山期末）设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从2，3，4三个数中任取的一个数，求该方程有两个不相等的实数根的概率．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根，
∴4a2﹣4b＞0，即a2＞b
画树状图如图：
共有9个等可能的结果，方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的结果有5个，
∴方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的概率为 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】画树状图得出所有等可能的结果，方程x2＋2ax＋b＝0有两个不相等的实数根的结果有5个，再由概率公式求解即可。
19．（2020九上·崂山期末）已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）列表描点画出这个二次函数的图象．
x …
　
　
　
　
　 …
y …
　
　
　
　
　 …
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）分别代入得 ，
解得： ．
∴y＝﹣x2＋2x＋3.
（2）解：列表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点，连线，如图．
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）分别代入求出a、b、c即可；
（2）利用苗描点法画二次函数图象。
20．（2020九上·崂山期末）如图，某风景区内有一古塔AB，在塔的一侧有一建筑物，当光线与水平面的夹角是30°时，塔在建筑物的墙上留下了高为4米的影子CD；而当光线与地面的夹是45°时，塔尖A在地面上的影子E与建筑物的距离EC为10米（B，E，C在一条直线上），求塔AB的高度（结果保留到0.1米）．（ ≈1.41， ≈1.73）
【答案】解：过点D作DF⊥AB于F，
则四边形FBCD为矩形，
∴BF＝CD＝4（米），
设AB＝x米，则AF＝（x﹣4）米，
在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，
∴BE＝AB＝x（米），
∴BC＝（x＋10）米，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝ ，即 ，
解得，x＝7 ＋11≈23.1，
经检验，x＝23.1是原方程的解，
答：塔AB的高度约为23.1米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于F，设AB＝x米，则AF＝（x﹣4）米，根据等腰直角三角形的形状得出BE，根据正切的定义列出方程，解方程即可得出答案。
21．（2020九上·崂山期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF．
（1）求证：△AED∽△ACB；
（2）若∠ACB＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并加以证明．
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE//BC，
∴△AED∽△ACB
（2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
∵CF//AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE和△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（ASA），
∴DE＝FE，
∵AE＝CE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵DE//BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥DF，
∴四边形ADCF是菱形．
【知识点】菱形的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据点D，E分别是边AB，AC的中点，得出DE//BC，即可证明△AED∽△ACB；
（2）利用ASA证明△DAE≌△FCE得出DE＝FE，即可得出四边形ADCF是平行四边形，再证明AC⊥DF，根据对角线互相垂直平分的四边形时菱形即可得出结论。
22．（2020九上·崂山期末）某公司生产了一种产品，每件的成本是100元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是200元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降低5元，每天就可多售出10件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）当销售单价为150元时，每天的销售利润是多少？
（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
【答案】（1）解：当销售单价为150元时，销售量为：100＋（200﹣150）÷5×10＝100＋100＝200（件），
∴每天的销售利润为：（150﹣100）×200＝50×200＝10000（元），
∴当销售单价为150元时，每天的销售利润10000元；
（2）解：设销售单价为x元（x≥100），每天销售利润为y，
由题意可得：y=（x-100）[100+（200-x）÷5×10]=﹣2x2＋700x﹣50000，
∴每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式y＝﹣2x2＋700x﹣50000；（3）如果该企业每天的总成本不超过14000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
解：∵该企业每天的总成本不超过14000元，
∴100（500﹣2x）≤14000，解得：x≥180，
又由（2）知，
y＝﹣2x2＋700x﹣50000
＝﹣2（x2﹣350x）﹣50000
＝﹣2（x﹣175）2＋11250，
∵﹣2＜0，
∴当x≥180时，y随x的增大而减小，
∴当x＝180时，y取最大值，最大值为﹣2（180﹣175）2＋11250＝11200（元），
∴销售单价为180元时，每天的销售利润最大，最大利润为11200元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先根据“销售单价是200元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降低5元，每天就可多售出10件”求出每天的销售量，再根据利润=（售价-成本）×销售量求出每天的销售利润；
（2）设销售单价为x元（x≥100），每天销售利润为y，先求出每天的销售量，再根据利润=（售价-成本）×销售量，列出函数关系。
23．（2020九上·崂山期末）[问题]当t≤x≤t＋1时，求二次函数y＝﹣x2＋2x＋3的最大值．
[探究]我们先从简单情形入手，再逐次递进，最后得出结论．
（1）当t＝﹣2时，﹣2≤x≤﹣1时，对应图象在对称轴x＝1左侧，且a＝﹣1＜0，y随x的增大而增大，所以二次函数最大值在x＝﹣1时取得，最大值为y＝0，由此可见当t≤x≤t＋1在对称轴x＝1左侧时，即t＋1＜1，此时t＜0，二次函数最大值在x＝t＋1取得，最大值y＝　 　．
（2）当t＝﹣1时，﹣ ≤x≤ ，包含称轴x＝1，此时在对称轴x＝1取得最大值．由此可见当t≤x≤t＋1包含对称轴x＝1时，即t≤1≤t＋1，此时0≤t≤1，最大值在对称轴x＝1取得，最大值为　 　．
（3）当t＝2时，2≤x≤3时，对应图象在对称轴x＝1右侧，且a＝﹣1＜0，y随x的增大而减小，所以二次函数最大值在x＝2时取得，最大值为y＝3，由此可见当t≤x≤t＋1在对称轴x＝1右侧时，即t＞1时，最大值在x＝t取得，最大值y＝　 　．
（4）当t≤x≤t＋2时，求二次函数y＝x2﹣2x的最小值．
【答案】（1）﹣t2＋4
（2）4
（3）﹣t2＋2t＋3
（4）解：抛物线y＝x2﹣2x对称轴为x＝1，
①当t＋2＜1，即t＜﹣1时，且a＝1＞0，t≤x≤t＋2对应图象在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴当x＝t＋2时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）取得最小值，最小值为y＝（t＋2）2﹣2（t＋2）＝t2＋2t；
②当 ，即﹣1≤t≤1时，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）取得最小值，最小值为y＝﹣1；
③当t＞1时，t≤x≤t＋2对应图象在对称轴右侧，且a＝1＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝t时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）取得最小值，最小值为y＝t2﹣2t；
综上所述，当t＜﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）的最小值为t2＋2t；
当﹣1≤t≤1时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）最小值为﹣1；
当t＞1时，二次函数y＝x2﹣2x（t≤x≤t＋2）最小值为t2﹣2t．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）把x＝t＋1代入y＝﹣x2＋2x＋3得：y＝﹣（t＋1）2＋2（t＋1）＋3＝﹣t2＋4，
故答案为：﹣t2＋4；
（2）把x＝1代入y＝﹣x2＋2x＋3得：y＝﹣12＋2×1＋3＝4；
故答案为：4；
（3）把x＝t代入y＝﹣x2＋2x＋3得：y＝﹣t2＋2t＋3；
故答案为：﹣t2＋2t＋3；
【分析】（1）把x＝t＋1代入y＝﹣x2＋2x＋3即可得出最大值﹣t2＋4；
（2）把x＝1代入y＝﹣x2＋2x＋3即可得出最大值是4；
（3）把x＝t代入y＝﹣x2＋2x＋3即可得出最大值是﹣t2＋2t＋3；
（4）抛物线y＝x2﹣2x对称轴为x＝1，分①当t＋2＜1，②当 ，③当t＞1时，三种情况分类讨论即可。
24．（2020九上·崂山期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AB＝10，AD＝14，AE＝6，动点P在线段BC上从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长的速度匀速运动；动点Q在线段DC上从点D出发沿DC的方向以每秒1个单位长的速度匀速运动．过P做PF⊥BC交AB于F，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒（0≤t≤8）．
（1）当t为何值时，四边形ADQF是平行四边形？
（2）是否存在某一时刻t，使得点Q在线段PF的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）设△PFQ的面积为S，求出S与t的函数关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使得△PFQ的面积S最大？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图：当AF＝DQ时，四边形ADQF是平行四边形，
，
在Rt△ABE中，AB＝10，AE＝6，
∴BE＝ ＝8，
∴cos∠ABE＝ ＝ ，
在Rt△FBP中，BP＝t，cos∠FBP＝ ，
∵cos∠FBP＝ ＝ ，
∴BF＝ t，
当AF＝DQ时，即10﹣ t＝t，解得t＝ ；
（2）解：当t＝ 时，使得点Q在线段PF的垂直平分线上．
证明：设线段EF的垂直平分线交AB、CD分别于点G、Q．如图，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，QG//BC，
∴四边形BGQC，四边形AGQD均为平行四边形，
∴BG＝CQ，AG＝DQ，
∵QG为线段FP的垂直平分线，
∴BG＝GF，
∵BG＝CQ＝10﹣t，
∴BF＝2BG＝20﹣2t，
在Rt△BFP中，BF＝20﹣2t，BP＝t，
∵cos∠FBP＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得t＝ ；
（3）解：过点Q作QH⊥BC，交BC延长线于点H，如图，
，
在Rt△BFP中，BP＝t，tan∠FBP＝ ，
∴tan∠FBP＝ ＝ ，解得PF＝ t，
在Rt△CHQ中，CQ＝10﹣t，cos∠HCQ＝cos∠FBP＝ ，
∴cos∠HCQ＝ ＝ ，解得HC＝ （10﹣t），
∴PH＝PC＋CH＝14﹣t＋8﹣ t＝22﹣ t，
∴
＝
＝ （0≤t≤8）；
（4）解：存在，当t＝ 时，三角形面积最大．
证明：由（3）得S△PFQ＝ ，（0≤t≤8）．
∵a＝﹣ ＜0，
∴当t＝﹣ ＝﹣ ＝ 时，满足0≤t≤8.三角形面积有最大值．
【知识点】平行四边形的性质；四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）当利用AF与DQ长相等进行求解即可；
（2）线段PF的垂直平分线与AD平行时可求出时间t；
（3）三角形面积以FP为底边，Q到FP的距离为高，列出表达式；
（4）对第三问的表达式求解即可。
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