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2021年河北省保定市中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（本大题共16个小题：1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．b6÷b3＝b2 B．b3 b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6
3．（3分）中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为（　　）
A．0.55×104 B．5.5×103 C．5.5×102 D．55×102
4．（3分）如图，该几何体是由5个大小相同的正方体组成，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（　　）
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 4 6 6 10 2 1 1
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
6．（3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过（a+3，b﹣2），（a，b+4），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，若CD＝4，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．4 D．3
9．（3分）如图，过⊙O上一点P的切线与直径AB的延长线交于点C，点D是圆上一点，且∠BDP＝27°，则∠C的度数为（　　）
A．27° B．33° C．36° D．40°
10．（3分）新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2×1000（26﹣x）＝800x B．1000（13﹣x）＝800x
C．1000（26﹣x）＝2×800x D．1000（26﹣x）＝800x
11．（2分）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1
12．（2分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　）
A．1 B．5 C．10 D．20
13．（2分）如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处．则∠ABC等于（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
14．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（　　）
A． B． C． D．
15．（2分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，若BD＝4，BC＝6，则AB＝（　　）
A． B．2 C．2 D．3
16．（2分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜﹣ B．﹣5＜m＜﹣ C．﹣5＜m＜﹣3 D．﹣3＜m＜﹣
二、填空题（本大题共3个小题，17、18小题各3分；19小题有3个空，每空2分．共12分．请把答案填在题中横线上）
17．（3分）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）＝（﹣a，b），如f（1，2）＝（﹣1，2）；g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1），据此得g[f（5，﹣9）]＝　 　．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的取值范围是 　 　．
19．（6分）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）数轴上点B表示的数是 　 　；
（2）运动1秒时，点P表示的数是 　 　；
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．当点P运动 　 　秒时，点P与点Q相遇．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜．
（1）若小明第一个取笔，求他能取到红笔的概率；
（2）请用概率知识判断这个游戏是否公平？若不公平，你认为对谁有利．
22．（9分）“勤劳”是中华民族的传统美德，同学们在家里除了“停课不停学“还帮助父母做一些力所能及的家务，在本学期开学初，小马同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间划分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥50）．并将调查结果制成如图两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　 　名学生；请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m的值是　 　，类别D所对的扇形圆心角的度数是　 　度；
（3）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
23．（9分）已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．
①试直接写出当y1＞y2时h的取值范围；
②若y2﹣y1＝3，试求h的值．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠D＝，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
25．（10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围．
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式（每件销售利润＝售价﹣进价﹣销售成本）．
26．（12分）如图（1），抛物线y＝ax2+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；
（3）如图（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2021年河北省保定市中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题：1～10小题，每小题3分，11～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）的倒数是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：的倒数是﹣2，
故选：A．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．b6÷b3＝b2 B．b3 b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、b6÷b3＝b3，故此选项错误；
B、b3 b3＝b6，故此选项错误；
C、a2+a2＝2a2，正确；
D、（a3）3＝a9，故此选项错误．
故选：C．
3．（3分）中国国家航天局2020年4月24日在“中国航天日”之际宣布，将中国行星探测任务命名为“天问”，将中国首次火星探测任务命名为“天问一号”．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近的时候距离约5500万千米，将5500用科学记数法表示为（　　）
A．0.55×104 B．5.5×103 C．5.5×102 D．55×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5500＝5.5×103，
故选：B．
4．（3分）如图，该几何体是由5个大小相同的正方体组成，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（　　）
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 4 6 6 10 2 1 1
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
【解答】解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店最喜欢的是众数．
故选：C．
6．（3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a的不等式组进而求出答案．
【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，
∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，
∴，
解得：a＜2．
则a的取值范围在数轴上表示正确的是：．
故选：C．
7．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过（a+3，b﹣2），（a，b+4），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k，a，b的方程组，解之即可得出k值．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过（a+3，b﹣2），（a，b+4），
∴，
解得：k＝﹣2．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝80°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，若CD＝4，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．4 D．3
【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝80°，∠BAC＝60°，
∴∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∵将△ACD沿AD折叠，使点C与AB上的点E重合，
∴∠AED＝∠C＝80°，DE＝DC＝4，
∵∠BDE＝∠AED﹣∠B＝80°﹣40°＝40°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE＝4，
故选：C．
9．（3分）如图，过⊙O上一点P的切线与直径AB的延长线交于点C，点D是圆上一点，且∠BDP＝27°，则∠C的度数为（　　）
A．27° B．33° C．36° D．40°
【分析】连接OP，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系∠POC＝54°，根据切线的性质得出答案．
【解答】解：连接OP，
∵PC与⊙O相切于点P，与直径AB的延长线交于点C，
∴∠PDO＝90°，
∵∠BDP＝27°，
∴∠POC＝54°，
∴∠C＝36°，
故选：C．
10．（3分）新型冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品，某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产800个口罩面或1000个口罩耳绳．一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2×1000（26﹣x）＝800x B．1000（13﹣x）＝800x
C．1000（26﹣x）＝2×800x D．1000（26﹣x）＝800x
【分析】题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【解答】解：设安排x名工人生产口罩面，则（26﹣x）人生产耳绳，由题意得
1000（26﹣x）＝2×800x．
故选：C．
11．（2分）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x3＜x1＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x2＜x1
【分析】将点A，点B，点C坐标代入解析式可求x1，x2，x3的值，即可得x1，x2，x3的大小关系．
【解答】解：∵点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，3）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴x1＝，x2＝，x3＝﹣
∴x3＜x1＜x2，
故选：B．
12．（2分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（　　）
A．1 B．5 C．10 D．20
【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题．
【解答】解：∵平行四边形ABCD是周长为20，
∴AB+AD＝10，
由翻折可知：EB＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10，
故选：C．
13．（2分）如图，小明从A处出发沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿南偏东70°方向行走至C处．则∠ABC等于（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【分析】根据方向角的定义求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案．
【解答】解：如图：
∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，
∴∠DAB＝40°，∠CBE＝70°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝40°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°．
故选：C．
14．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm．动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t（s），以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED．当直线DE与⊙O相切时，t的取值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝4，利用切线的判定方法，当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，然后利用△BED∽△BHA，通过相似比可求出t的值．
【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，BE＝2t，BD＝8﹣2t，
∵AB＝AC＝5，
∴BH＝CH＝BC＝4，
当BE⊥DE，直线DE与⊙O相切，则∠BED＝90°，
∵∠EBD＝∠ABH，
∴△BED∽△BHA，
∴＝，即＝，解得t＝．
故选：A．
15．（2分）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，若BD＝4，BC＝6，则AB＝（　　）
A． B．2 C．2 D．3
【分析】过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于H，可证四边形BEDH是正方形，可得BD＝BE，DE＝HD，∠HDE＝∠ADC＝90°，由“ASA”可证△ADH≌△CDE，可得AH＝CE＝2，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于H，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，DH⊥AB，DE⊥BC，
∴四边形BEDH是矩形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝45°，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE，
∴四边形BEDH是正方形，
∴BD＝BE，DE＝HD，∠HDE＝∠ADC＝90°，
∴HD＝DE＝HB＝BE＝4，∠HDA＝∠CDE，
又∵∠H＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（ASA），
∴CE＝AH＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，
∴AB＝BH﹣AH＝4﹣2＝2，
故选：B．
16．（2分）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．﹣3＜m＜﹣ B．﹣5＜m＜﹣ C．﹣5＜m＜﹣3 D．﹣3＜m＜﹣
【分析】直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，正好处于l1、l2之间的区域，即可求解．
【解答】解：令：y＝﹣x2+4x﹣3＝0，可以得到：A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，
∵AB＝BD，
∴BD＝2，
∴OD＝5，
则：D（5，0），
则：右侧抛物线方程为：y＝﹣（x﹣3）（x﹣5），
直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，正好处于l1、l2之间的区域，
其中：l1与抛物线上方相切，l2过点B，
将l1方程和右侧抛物线方程联立得：x+m＝﹣（x﹣3）（x﹣5），
Δ＝b2﹣4ac＝0，解得：m＝﹣；
点B（3.0）代入y＝x+m中，则：m＝﹣3，
∴﹣3＜m＜﹣，
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，17、18小题各3分；19小题有3个空，每空2分．共12分．请把答案填在题中横线上）
17．（3分）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）＝（﹣a，b），如f（1，2）＝（﹣1，2）；g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1），据此得g[f（5，﹣9）]＝　（﹣9，﹣5）　．
【分析】根据f，g两种变换的定义解答即可．
【解答】解：由题意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9），
∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5），
故答案为：（﹣9，﹣5）．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），则m的取值范围是 　0＜m＜4　．
【分析】直线y＝﹣x+3，当y＝1时，可得x＝4，即可得到0＜m＜4．
【解答】解：作直线y＝1交y轴于C，交直线AB于D，如图：
在y＝﹣x+3中，当y＝1时，1＝﹣x+3，
解得x＝4，即D（4，1），
∵点P（m，1）在△AOB的内部（不包含边界），
∴P（m，1）在线段CD上（不含C、D），
∴0＜m＜4，
故答案为：0＜m＜4．
19．（6分）如图，已知数轴上点A表示的数为6，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为10，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　；
（2）运动1秒时，点P表示的数是 　0　；
（3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．当点P运动 　6　秒时，点P与点Q相遇．
【分析】（1）由AB的长、点A表示的数及点B在点A的左侧，可求出点B表示的数；
（2）利用1秒后点P表示的数＝点A表示的数﹣点P运动的速度×运动时间，即可求出结论；
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为6﹣6t，点Q表示的数为﹣4﹣4t，由点P，Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A、B两点间的距离为10，点A表示的数为6，且点B在点A的左侧，
∴点B表示的数为6﹣10＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）运动1秒时，点P表示的数为6﹣6＝0，
故答案为：0；
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为6﹣6t，点Q表示的数为﹣4﹣4t．
依题意，得：6﹣6t＝﹣4﹣4t，
解得：t＝5，
∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得x≤4，
解不等式②得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤4．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
．
21．（8分）小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人所取笔的颜色相同，则小明胜；否则，小军胜．
（1）若小明第一个取笔，求他能取到红笔的概率；
（2）请用概率知识判断这个游戏是否公平？若不公平，你认为对谁有利．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）根据列表求出小明、小军获胜的概率即可判断是否公平．
【解答】解：（1）∵一个不透明的文具袋中，装有型号完全相同的3支红笔和2支黑笔，
∴小明取到红笔的概率＝＝；
（2）列表得：
红1 红2 红3 黑1 黑2
红1 红1红2 红1红3 红1黑1 红1黑2
红2 红2红1 红2红3 红2黑1 红2黑2
红3 红3红1 红3红2 红3黑1 红3黑2
黑1 黑1红1 黑1红2 黑1红3 黑1黑2
黑2 黑2红1 黑2红2 黑2红3 黑2黑1
共20种等可能的情况，其中颜色相同的有8种，
则小明获胜的概率为＝，
小军获胜的概率为1﹣＝，
∵＜，
∴不公平，对小军有利．
22．（9分）“勤劳”是中华民族的传统美德，同学们在家里除了“停课不停学“还帮助父母做一些力所能及的家务，在本学期开学初，小马同学随机调查了部分同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做家务的总时间划分为五个类别：A（0≤x＜10），B（10≤x＜20），C（20≤x＜30），D（30≤x＜40），E（x≥50）．并将调查结果制成如图两幅不完整的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了　50　名学生；请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m的值是　32　，类别D所对的扇形圆心角的度数是　57.6　度；
（3）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【分析】（1）根据A类型即可得本次共调查的学生数；进而可以补全条形统计图；
（2）根据（1）条形统计图的数据即可求出扇形统计图中m的值，类别D所对的扇形圆心角的度数度；
（3）根据样本估计总体的方法即可估计该校有多少名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
【解答】解：（1）∵10÷20%＝50，
∴本次共调查了50名学生；
∴类型B的学生人数为：50×24%＝12，
∴类别D的学生人数为：50﹣10﹣12﹣16﹣4＝8，
如图，即为补全的条形统计图；
故答案为：50；
（2）∵16÷50＝0.32，
∴扇形统计图中m的值是32，
∵4÷50＝0.08，
∴1﹣20%﹣24%﹣32%﹣8%＝16%，
∴360×16%＝57.6°
类别D所对的扇形圆心角的度数是57.6度．
故答案为：32，57.6；
（3）800×（32%+16%+8%）＝448（名），
答：估计该校有448名学生寒假在家做家务的总时间不低于20小时．
23．（9分）已知一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b）．
（1）求a，b的值和反比例函数的表达式．
（2）设点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．
①试直接写出当y1＞y2时h的取值范围；
②若y2﹣y1＝3，试求h的值．
【分析】（1）把A（a，3），B（﹣1，b）分别代入一次函数y1＝3x﹣3中，即可求得a、b的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）①根据交点坐标，结合图象即可求得；
②根据题意y1＝3h﹣3，y2＝，所以﹣（3h﹣3）＝3，解关于h的方程即可求得．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝3x﹣3的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），B（﹣1，b），
∴3＝3a﹣3，b＝﹣3﹣3，
∴a＝2，b＝﹣6，
∴A（2，3），B（﹣1，﹣6），
把A（2，3）代入反比例函数，则3＝，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式是y2＝；
（2）①点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点．当y1＞y2时h的取值范围是h＞2或﹣1＜h＜0；
②点P（h，y1），Q（h，y2）分别是两函数图象上的点，
∴y1＝3h﹣3，y2＝，
∵y2﹣y1＝3，
∴﹣（3h﹣3）＝3，
整理得3h2＝6，
∴h＝，
经检验，h＝±是方程﹣（3h﹣3）＝3的解，
∴h＝．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tan∠D＝，求的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC＝OF即可；
（2）连接CE，先求证∠ACE＝∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以＝，而tan∠D＝于是得到结论；
（3）由（2）可知，AC2＝AE AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以＝，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．
【解答】解：（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC＝OF，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ECO+∠OCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∴∠ACE＝∠OCD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠ACE＝∠ODC，
∵∠CAE＝∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴＝，
∴∠ACE+∠ECO＝90°，
∵tan∠D＝，
∴＝，
∴＝；
（3）由（2）可知：＝，
∴设AE＝x，AC＝2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AE AD，
∴（2x）2＝x（x+6），
解得：x＝2或x＝0（不合题意，舍去），
∴AE＝2，AC＝4，
由（1）可知：AC＝AF＝4，
∠OFB＝∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴＝，
设BF＝a，
∴BC＝，
∴BO＝BC﹣OC＝﹣3，
在Rt△BOF中，
BO2＝OF2+BF2，
∴（﹣3）2＝32+a2，
解得：a＝或a＝0（不合题意，舍去），
∴AB＝AF+BF＝．
25．（10分）某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，一件A型丝绸进价比一件B型丝绸进价多100元．
（1）求一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型的件数不大于B型的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件．
①求m的取值范围．
②已知A型的售价是800元/件，销售成本为2n元/件；B型的售价为600元/件，销售成本为n元/件．如果50≤n≤150，求销售这批丝绸的最大利润w（元）与n（元）的函数关系式（每件销售利润＝售价﹣进价﹣销售成本）．
【分析】（1）根据题意应用分式方程即可；
（2）①根据条件中可以列出关于m的不等式组，求m的取值范围；
②本问中，首先根据题意，可以先列出销售利润y与m的函数关系，通过讨论所含字母n的取值范围，得到w与n的函数关系．
【解答】解：（1）设B型丝绸的进价为x元，则A型丝绸的进价为（x+100）元
根据题意得：
解得x＝400
经检验，x＝400为原方程的解
∴x+100＝500
答：一件A型、B型丝绸的进价分别为500元，400元．
（2）①根据题意得：
∴m的取值范围为：16≤m≤25且为整数．
②设销售这批丝绸的利润为y
根据题意得：
y＝（800﹣500﹣2n）m+（600﹣400﹣n） （50﹣m）
＝（100﹣n）m+10000﹣50n
∵50≤n≤150
∴（Ⅰ）当50≤n＜100时，100﹣n＞0
m＝25时，
销售这批丝绸的最大利润w＝25（100﹣n）+10000﹣50n＝﹣75n+12500
（Ⅱ）当n＝100时，100﹣n＝0，
销售这批丝绸的最大利润w＝5000
（Ⅲ）当100＜n≤150时，100﹣n＜0
当m＝16时，
销售这批丝绸的最大利润w＝﹣66n+11600．
综上所述：w＝．
26．（12分）如图（1），抛物线y＝ax2+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标；
（3）如图（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出NP＝MN，可得△MNP的周长＝﹣（2+）[（m﹣）2﹣]，由二次函数的性质可求解；
（3）在线段CB上截取CE＝，连接OE，过点E作OC的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，先求出QE解析式，联立方程组可求点Q坐标．
【解答】解：（1）∵点A在x轴的正半轴，且OA＝4，
∴点A（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（3，﹣3），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x；
（2）∵点B（3，﹣3），
∴直线OB解析式为y＝﹣x，
设点M（m，m2﹣4m），
∴点N（m，﹣m），K（m，0），
∴OK＝KN，
∴∠KON＝∠KNO＝45°，
∵MP∥x轴，
∴∠MPN＝∠KON＝45°，
∴∠MPN＝∠KNO＝∠MNP＝45°，
∴MP＝MN，
∴NP＝MN，
∵△MNP的周长＝MN+MP+NP＝2MN+MN＝2（4m﹣m2﹣m）+（4m﹣m2﹣m）＝（2+）（3m﹣m2）＝﹣（2+）[（m﹣）2﹣]，
∴当m＝时，△MNP的周长的最大值为+，
此时点M坐标为（，﹣）；
（3）存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，
理由如下：
如图（2），在线段CB上截取CE＝，连接OE，过点E作OC的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，
∵S△OCE＝×CE×OD＝××3＝1，且OC∥QE，
∴S△OCQ＝1，
∵BD⊥y轴，
∴OD＝3，点C纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝x2﹣4x，
∴x1＝1，x2＝3，
∴点C（1，﹣3），
∴CD＝1，
∴S△OCD＝×1×3＝，
∴S△OCD：S△OCQ＝3：2，
∵点O（0，0），点C（1，﹣3），
∴直线OC解析式为：y＝﹣3x，
∵CE＝，
∴点E（，﹣3），
∵OC∥EQ，
∴设EQ的解析式为：y＝﹣3x+b，
∴﹣3＝﹣3×+b，
∴b＝2，
∴EQ的解析式为：y＝﹣3x+2，
联立方程组可得，
∴，，
∴点Q坐标为（﹣1，5）或（2，﹣4）．

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