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数列单元复习--数列求和
公式法与分组求和
1．（江苏省南通市2021-2022学年期中数学试题）已知数列是公比为正数的等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
裂项相消
2．（2021·黑龙江·模拟预测（理））已知数列为等差数列，公差，且，，依次成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若，求的值.
错位相减
3．（2021·甘肃省武威第一中学高三月考）已知数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
其他方法
4．（2021·全国·高二课时练习）已知数列满足：，已知存在常数使数列为等比数列.
（1）求常数及的通项公式；
（2）解方程
（3）求
5．（2021·全国·高三专题练习）设数列是公差大于零的等差数列，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求.
数列求和与不等式
1．（2021·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）已知数列中，，且满足．
（1）求的值；
（2）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（3）若恒成立，求实数的取值范围．
2．（2021·浙江·镇海中学高二期中）已知数列的前项和为，且，数列满足：．．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和，证明：．
巩固提升
一、单选题
1．已知等差数列，，，则数列的前100项和（ ）
A． B． C． D．
2．在等比数列中，，则（ ）
A． B． C． D．2
3．已知数列的通项公式是，则（ ）
A． B． C．3027 D．3028
4．在进行的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．5250 B．5200 C．5150 D．5100
6．已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即此数列第一项是，接下来两项是，，再接下来三项是，，，依此类推，设是此数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
8．已知下图的一个数阵，该阵第行所有数的和记作，，，，，数列的前项和记作，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知数列{an}，{bn}均为递增数列，{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Tn．且满足an+an+1＝2n，bn bn+1＝2n（n∈N*），则下列说法正确的有（ ）
A．0＜a1＜1 B．1＜b1 C．S2n＜T2n D．S2n≥T2n
三、填空题
10．计算________
11．数列满足，，，则数列前项和______；
12．记项正项数列为，，，，其前n项积为，定义为“相对叠乘积”，如果有2020项的正项数列，，，，的“相对叠乘积”为2020，则有2021项的数列10，，，，，的“相对叠乘积”为________．
四、解答题
13．数列和满足，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
14．已知等差数列{an}满足：S6=21，S7=28，其中是数列的前n项和.
（1）求数列的通项；
（2）令bn=，证明：.
15．已知正项数列满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记的前项和为，求.
参考答案
公式法与分组求和
1．
（1）；
（2）.
（1）
根据题意，设公比为，且，
∵，，
∴，解得或（舍），
∴.
（2）
根据题意，得，故，
因此
.
裂项相消
2．
（1）
（2）
（1）
解：设公差为 ，由，，依次成等比数列，可得，
即，解得，
则.
（2）
解：由（1）可得，
即有前项和为
解得.
错位相减
3．
（1）；
（2）
（1）
解：当时，，
当时，，
所以，
所以为公比为2，首项的等比数列，
所以．
当时，，
当时，，
当时，上式仍成立，
∴．
（2）
解：，
∴，
∴，
两式相减得：
．
∴．
其他方法
4．（1）；（2）；（3）时，和为；时，.
（1）由条件令，
，
则：
故：，故
又，
∴，∴.
（2）计算知，，，，，
故猜测，即，下证.
①当成立
②假设（）成立，即,
那么，
故成立.
由（1）、（2）可知命题成立.故的解为.
（3）由（2）可得，
时，
时，
.
5．（1）；（2）1010.
解：（1）设等差数列的公差为，
，
又，
解得或，
，
，
.
（2）
当为奇数时，，
当为偶数时，，
故是以2为周期的周期数列，且，
.
数列求和与不等式
1．
（1）
（2）证明见解析；
（3）
（1）
解：由题意得：
（2）
为常数
数列是首项为2，公差为1的等差数列
（3）
令，
当时，，递增
当时，，递减
当或n=3时，有最大值
2．
（1）．
（2）证明见解析．
（1）
，
时，，
所以．
由得，又，所以是等比数列，公比为2，首项是6，所以，，
（2）
，
时，，
所以．
综上，．
巩固提升
参考答案
1．C
因为为等差数列且，，
故，故，
故数列的前100项和为，
故选：C.
2．A
，
∵等比数列中，而，
∴．
故选：A
3．A
解：由，
得
.
故选：A.
4．B
依题意，记，
则，
又，两式相加可得
，
则.
故选：B．
5．D
函数中，的最小正周期是4，
则当，，
令，即，，
于是得数列是首项为12的等差数列，，
所以.
故选：D
6．A
将数列分组：第一组有一项，和为；第二组有两项，和为；……；
第组有项，和为，
则前组共有（项），
所以
，
故选：A.
7．AB
，∴，∴数列是等比数列
又∵，∴，∴，∴，
∴.
故选：AB.
8．ABC
解：由题意得：
A选项：
，故A正确；
B选项：，故B正确；
D选项：，故D错误；
C选项：，故C正确．
故选：ABC
9．ABC
∵数列{an}为递增数列；∴a1＜a2＜a3；
∵an+an+1＝2n，
∴；∴∴0＜a1＜1；故A正确．
∴S2n＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）＝2+6+10+…+2（2n﹣1）＝2n2；
∵数列{bn}为递增数列；∴b1＜b2＜b3；
∵bn bn+1＝2n，，∴即
所以，所以所以B正确，
∵T2n＝b1+b2+…+b2n
＝（b1+b3+b5+…+b2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）
；
∴对于任意的n∈N*，S2n＜T2n；故C正确，D错误．
故选：ABC
10．
①，
②，
①②得：
，
所以，
故答案为：.
11．
由，可知，数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，数列的偶数项是首项为，公比为的等比数列.所以.
故答案为：
12．4041
由题意得2021项的数列10，，，…，的“相对叠乘积”为
故答案为：4041．
13．
（1），；
（2）
（1）
因为，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，
又，
则，
所以由累加法得；
所以，；
（2）
因为，
所以，
所以，
所以
所以
14．
（1）
（2）证明见解析
（1）
数列为等差数列，依题意S6=21，S7=28，所以，
所以d=1，所以
（2）
15．
（1）
（2）
（1）
，
或，
为正项数列，
；
（2）
，
是周期为12的周期数列 ，
，，
，
，，
，，
，，
，，
.

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