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第一章 直角三角形的边角关系 考点综合训练
本章主要学习锐角三角函数的定义，锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．其主要考点可概括为：两个概念，一个运算，两个应用，两个技巧．21cnjy.com
两个概念
锐角三角函数
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB于点D，求∠BCD的三个三角函数值．【来源：21cnj*y.co*m】
(第1题)
解直角三角形
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，sinB＝，D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．2·1·c·n·j·y
(第2题)
一个运算——特殊角的三角函数值与实数运算
3．计算：
(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°；
(2)tan245°＋－3cos230°＋－.
两个应用
解直角三角形在学科内应用
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.21教育网
(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；
(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；
(3)当tan∠PAE＝时，求a的值．
(第4题)
解直角三角形的实际应用
5．科技改变生活，手机导航极大方便 ( http: / / www.21cnjy.com )了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．【来源：21·世纪·教育·网】
(第5题)
6．如图，为了测量山顶铁塔 ( http: / / www.21cnjy.com )AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)．【出处：21教育名师】
(第6题)
两个技巧
“化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧
7．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B＝，AC＝2，求AB的长．
(第7题)
“割补法”构造直角三角形求解的技巧
8．如图，已知四边形ABCD，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝30，BC＝50，求四边形ABCD的面积(要求：用分割法和补形法两种方法求解)．21世纪教育网版权所有
(第8题)
参考答案
1．思路导引：求∠BCD的三个三角函数值， ( http: / / www.21cnjy.com )关键要弄清它们的定义．由于∠BCD是Rt△BCD中的一个内角，根据定义，仅一边BC是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD或CD，二是把∠BCD转化成∠A，显然走第二条路较方便，因为在Rt△ABC中，三边均可得出，利用三角函数的定义即可求出答案．www.21-cn-jy.com
解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠ACD＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠A＝90°.
∴∠BCD＝∠A.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝10，
∴sin ∠BCD＝sin A＝＝，
cos ∠BCD＝cos A＝＝，
tan ∠BCD＝tan A＝＝.
2．思路导引：由sin B＝＝＝，可设DE＝CD＝3k，则DB＝5k，求得BC＝8k，AC＝6k，AB＝10k.再由AC＋CD＝9，可列出以k为未知数的方程，进而求出各边的长．在Rt△BDE中，由勾股定理求BE的长，过点C作CF⊥AB于点F，再用勾股定理求出CE的长．21·cn·jy·com
解：∵sin B＝，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴sin B＝＝＝.
设DE＝CD＝3k，则DB＝5k.
∴CB＝8k，AC＝6k，AB＝10k.
∵AC＋CD＝9，∴6k＋3k＝9.∴k＝1.
∴DE＝3，DB＝5.∴BE＝＝4.
过点C作CF⊥AB于点F，则CF∥DE.
∴＝＝＝，求得CF＝，BF＝.
∴EF＝.
在Rt△CEF中，CE＝＝.
方法指导：方程思想是一种重要的思想方法，运用方程思想可以建立已知量和待求量之间的关系式，平时学习时，应该不断积累用方程思想解题的方法．2-1-c-n-j-y
3．解：(1)原式＝×＋－×1＝＋－＝.
(2)原式＝×12＋－3×＋－1＝＋4－3×＋2－1＝3.
4．解：设CE＝y，(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°.
∵BP＝a，CE＝y，∴PC＝5－a，DE＝4－y.∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°.
∴∠APB＋∠CPE＝90°.
∵∠APB＋∠BAP＝90°，
∴∠CPE＝∠BAP.
∴△ABP∽△PCE.∴＝.
∴y＝，即CE＝.
(2)四边形APFD是菱形．理由如下：
当a＝3时，y＝＝，即CE＝.∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF.∴△AED∽△FEC.
∴＝.
∴CF＝3.
易求PC＝2，∴PF＝PC＋CF＝5.
∴PF＝AD.∴四边形APFD是平行四边形．在Rt△APB中，AB＝4，BP＝3，∠B＝90°，∴AP＝5＝PF.
∴四边形APFD是菱形．
(3)根据tan ∠PAE＝可得＝2.
易得△ABP∽△PCE，∴＝＝＝2.得＝＝2或＝＝2，解得a＝3，y＝1.5或a＝7，y＝3.5.∴a＝3或a＝7.21·世纪*教育网
5．解：如图，过B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，AD＝AB·cos ∠BAD＝4cos 60°＝4×＝2(km)，BD＝AB·sin ∠BAD＝4×＝2(km)．
∵在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴CD＝BD.
∴BC＝BD＝2(km)．
(第5题)
答：B，C两地的距离是2 km.
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6．解：如图，过点C作CF⊥AB于点F.
(第6题)
设铁塔高AE＝x m，
由题意得EF＝BE－CD＝56－27＝29(m)，
AF＝AE＋EF＝(x＋29)m.
在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝(x＋29)m，
则CF＝≈＝(x＋)m.
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝(x＋56)m，
则BD＝AB＝(x＋56)m.
∵CF＝BD，∴x＋56≈x＋，
解得x≈52.
答：该铁塔的高AE约为52 m.
7．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
(第7题)
在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝，AD＝AC·cos 30°＝2×＝3.
在Rt△BCD中，＝tan B＝，∴DB＝＝＝2.
∴AB＝AD＋DB＝3＋2＝5.
方法总结：在不含直角三角形的图形中，如 ( http: / / www.21cnjy.com )果求与三角形有关的线段长、非特殊角的某个三角函数、面积等问题，一般可通过分割图形、作高等方法，把问题转化为解直角三角形得以解决，引辅助线的技巧是解此类题的关键．www-2-1-cnjy-com
8．解：方法一：如图①，过点B作BE ( http: / / www.21cnjy.com )∥AD交DC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则BE⊥AB，EF⊥AD.∴四边形ABEF是矩形．∴EF＝AB，AF＝BE.∵∠ABC＝120°，∴∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°.21*cnjy*com
在Rt△BCE中，
BE＝＝＝＝100，
EC＝BC·tan ∠CBE＝50×tan 30°＝50×＝50.
在Rt△DEF中，
DF＝＝＝＝30.
∴AD＝AF＋DF＝BE＋DF＝100＋30＝130.
∴S四边形ABCD＝S梯形ABE ( http: / / www.21cnjy.com )D＋S△BCE＝(AD＋BE)·AB＋BC·EC＝×(130＋100)×30＋×50×50＝4 700.【版权所有：21教育】
(第8题)
方法二：如图②，延长DA，CB交于点E，
则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，∠E＝90°－∠ABE＝30°.
在Rt△ABE中，
AE＝AB·tan 60°＝30×＝90，
BE＝＝＝60.
∴CE＝BE＋BC＝60＋50＝110.
在Rt△DCE中，DC＝CE·tan 30°＝110×＝110.
∴S四边形ABCD＝S△DCE－S△ABE＝DC·CE－AB·AE＝×110×110－×30×90＝4 700.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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