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广东省湛江市徐闻县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
一、单选题
1．（2021八上·徐闻期中）如图所示，这是我国四所著名大学的校徽图案，如果忽略各个图案中的文字、字母和数字，只关注图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A．北京大学校徽 B．清华大学校徽
C．中山大学校徽 D．中国大学校徽
2．（2021八上·徐闻期中）在下列以线段 、 、 的长为边，能构成三角形的是（　　）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
3．（2020八上·西丰期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021八上·徐闻期中）在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．（2016八上·仙游期末） 下列图形中，不具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·路北期中）如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则BD＝（　　）
A．6 B．5 C．8 D．4
7．（2021八上·微山月考）如图，△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021八上·徐闻期中）如图， ，若 ，则 的对应角（　　）
A． B． C． D．
9．（2021八上·徐闻期中）如图，已知 ， ，欲证 ，不可补充的条件是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021八上·陇县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题
11．（2021八下·醴陵期末）若点A（a，4）和点B（－1，b＋5）关于y轴对称，则点a－b＝　 　
12．（2021八上·徐闻期中）如图，在 中， ， ，则 　 　．
13．（2021八上·徐闻期中）一个多边形的每一个内角都是135°，则它的边数为 　 　．
14．（2021八上·徐闻期中）若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为　 　．
15．（2021·怀化模拟）如图，已知在 中， 是 的垂直平分线，垂足为 ，交 于点 .若 ， ，则 的周长是　 　.
16．（2021八上·徐闻期中）如图，在 中， ， 平分 ，若 ， ，则 的面积为　 　．
17．（2021八上·徐闻期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则其底角为　 　度．
三、解答题
18．（2021·文山模拟）如图， 、 ．求证： ．
19．（2021八上·徐闻期中）如图，已知∠ABC=50°，∠ACB=60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线．求∠BOC的度数．
20．（2019八上·浏阳期中）一个多边形的内角和比外角和的 多 ，它是几边形？
21．（2020八上·包河期中）已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．
22．（2020八上·周口期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm；
求
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长.
23．（2021八上·徐闻期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
24．（2021八上·沭阳月考）在 中， ， ，直线 经过点C，且 于D， 于E，
（1）当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ；
② ；
（2）当直线 绕点C旋转到图2的位置时，猜想 、 、 之间的关系，并请给出证明.
25．（2021八上·徐闻期中）如图，点C为线段 上一点， ， 是等边三角形，直线 交于点E，直线 交于点F．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可。
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、∵ ，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵ ，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵ ，∴能构成三角形，故本选项符合题意；
D、∵ ，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系逐项计算判定可求解。
3．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故答案为：D．
【分析】根据三角形高的定义逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两个锐角互余列式计算即可得解。
5．【答案】B
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，所以选B.
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，判断即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵CD是△ABC的中线，AB＝10，
∴BD＝ ，
故答案为：B．
【分析】根据中线的性质可得BD＝ 。
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=70°× =35°，
∴∠BDC=50°+35°=85°，
故答案为：A．
【分析】由∠ABC=70°，BD平分∠ABC，BD平分∠ABC，再根据三角形外角的性质可得出∠BDC=50°+35°，∠A=50°，即可求出答案。
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】 ， ，
故答案为：C．
【分析】根据三角形全等的性质，找出对应角。
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ ， ，
A、若 ，可利用SSS证明 ，故本选项不符合题意；
B、若 ，可得 ，可利用SAS证明 ，故本选项不符合题意；
C、若 ，可利用SAS证明 ，故本选项不符合题意；
D、若 ，不能证明 ，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形判定方法逐项判断即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点 作DE⊥AB于E，
∵△ABD的面积为16，
∴ ×AB×DE＝16，即 ×8×DE＝16，
解得：DE＝4，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝4.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由△ABD的面积可得DE的值，然后根据角平分线的性质进行解答.
11．【答案】2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 点A（a，4）和点B（－1，b＋5）关于y轴对称
解得：
故答案为：2
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而求得a-b的值.
12．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
故答案为：3．
【分析】根据正切函数即可求出BC的长度。
13．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每一个内角都是135°，
∴该多边形的每一个外角都是45°，
∴该多边形的边数为 ，
故答案为：8
【分析】先求出该多边形的每一个外角的度数，再利用多边形的外角和求出答案。
14．【答案】15
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】设这个多边形是n边形，
依题意，得n - 3= 12，
n= 15，
故这个多边形是15边形，
故答案为：15．
【分析】根据多边形的对角线的定义，可知从n边形的一个顶点出发，可以引出(n-3)条对角线由此即可得出答案。
15．【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长=
，
故答案为：15.
【分析】根据垂直平分线的性质可得DB=DC，由的周长= =AB+AC，据此计算即可.
16．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵ ，
∴AC⊥BC，
∵ 平分 ，
∴DE=CD=2，
∵ ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：5．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角两边距离相等得出DE=CD=2，在利用三角形的面积公式，列式计算即可得解。
17．【答案】67.5或22.5
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意， ，
又∵BM是AC边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴
②如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意， ，
∵EN是DF边上的高
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为 或
【分析】由等腰三角形的定义即可得出答案。
18．【答案】证明：在 和 中
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】先求证出，即可得出 ．
19．【答案】解：∵BO，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
又∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠OBC= ∠ABC=25°，∠COF= ∠ACB=30°，
∴∠BOC=180°-∠BOE-∠COF=125°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知与角平分线的定义可求出∠OBC= ∠ABC=25°，∠COF= ∠ACB=30°，进而求得答案。
20．【答案】解：设这个多边形边数为 ，依题意得：
，
解得： ，
答：它是七边形
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式(n-2) 180°和外角和等于360°列方程求解即可．
21．【答案】解：（1）若该等腰三角形的腰长为 ，则另外两边的长为 ， ，
根据三角形三边关系∵2＋2＝4＜8，故不能构成三角形；（2）若等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ，
即另外两边的长为 ， ，能构成三角形；
综上所述，该等腰三角形的另外两边的长为 ， ．
故答案为： ， ．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】已知条件没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论，计算出结果后还需判定能否组成三角形．
22．【答案】（1）解：∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，
∴△ABC的面积= BC×AC=30cm2；
（2）解：∵△ABC的面积=30 cm2，
∴CD=30×2÷AB= cm.
【知识点】三角形的面积；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求解；（2）根据计算直角三角形的面积的两种计算方法，即可求出斜边上的高.
23．【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴ 点在 的角平分线上
∴ 平分
（2）解：∵
∴
又∵ ， ，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得出 ， ，再由，得出，推出，得出 点在 的角平分线上，由此得出结论；
（2）由 ， ， ，证明，得出，得出，由此得出答案。
24．【答案】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在 和 中，
，
∴ （AAS）；
②∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：关系： ；
证明：
∵ ， ，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （AAS），
∴ ， ，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①由垂直的概念可得∠ADC=∠CEB=90°，根据同角的余角相等推出∠DAC=∠ECB，然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明；②由全等三角形的性质可得AD=CE，BE=CD，据此证明；
（2）由垂直的概念可得∠ADC=∠CEB=90°，根据同角的余角相等推出∠DAC=∠ECB，利用AAS证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，BE=CD，据此解答.
25．【答案】（1）解：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°，
∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°，
∴△CAN≌△CMB（SAS），
∴AN=BM；
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠EAC=∠FNC，
∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，
∴△AEC≌△MFC（ASA），
∴CE=CF；
（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF=∠ACE=60°，
∴EF∥AB．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据△ACM和△CBN都是等边三角形，得出AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，推出∠MCN、∠CAN的度数，证明△CAN≌△CMB（SAS），即可得出结论；
（2）根据△CAN≌△CMB，得出∠EAC=∠FNC，在根据AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，可得出△AEC≌△MFC（ASA），由此得出结论；
（3）证出△ECF是等边三角形，得出∠CEF=∠ACE=60°，由此得出结论。
1 / 1广东省湛江市徐闻县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题
一、单选题
1．（2021八上·徐闻期中）如图所示，这是我国四所著名大学的校徽图案，如果忽略各个图案中的文字、字母和数字，只关注图形，其中不是轴对称图形的是（　　）
A．北京大学校徽 B．清华大学校徽
C．中山大学校徽 D．中国大学校徽
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可。
2．（2021八上·徐闻期中）在下列以线段 、 、 的长为边，能构成三角形的是（　　）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】A、∵ ，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵ ，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵ ，∴能构成三角形，故本选项符合题意；
D、∵ ，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系逐项计算判定可求解。
3．（2020八上·西丰期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故答案为：D．
【分析】根据三角形高的定义逐项判断即可。
4．（2021八上·徐闻期中）在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数=90°-40°=50°．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形两个锐角互余列式计算即可得解。
5．（2016八上·仙游期末） 下列图形中，不具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，所以选B.
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，判断即可.
6．（2021八上·路北期中）如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则BD＝（　　）
A．6 B．5 C．8 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵CD是△ABC的中线，AB＝10，
∴BD＝ ，
故答案为：B．
【分析】根据中线的性质可得BD＝ 。
7．（2021八上·微山月考）如图，△ABC中，∠A=50°，∠C=60°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC=70°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=70°× =35°，
∴∠BDC=50°+35°=85°，
故答案为：A．
【分析】由∠ABC=70°，BD平分∠ABC，BD平分∠ABC，再根据三角形外角的性质可得出∠BDC=50°+35°，∠A=50°，即可求出答案。
8．（2021八上·徐闻期中）如图， ，若 ，则 的对应角（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】 ， ，
故答案为：C．
【分析】根据三角形全等的性质，找出对应角。
9．（2021八上·徐闻期中）如图，已知 ， ，欲证 ，不可补充的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ ， ，
A、若 ，可利用SSS证明 ，故本选项不符合题意；
B、若 ，可得 ，可利用SAS证明 ，故本选项不符合题意；
C、若 ，可利用SAS证明 ，故本选项不符合题意；
D、若 ，不能证明 ，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据全等三角形判定方法逐项判断即可。
10．（2021八上·陇县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AB＝8，△ABD的面积为16，则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点 作DE⊥AB于E，
∵△ABD的面积为16，
∴ ×AB×DE＝16，即 ×8×DE＝16，
解得：DE＝4，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝4.
故答案为：B.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，由△ABD的面积可得DE的值，然后根据角平分线的性质进行解答.
二、填空题
11．（2021八下·醴陵期末）若点A（a，4）和点B（－1，b＋5）关于y轴对称，则点a－b＝　 　
【答案】2
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 点A（a，4）和点B（－1，b＋5）关于y轴对称
解得：
故答案为：2
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而求得a-b的值.
12．（2021八上·徐闻期中）如图，在 中， ， ，则 　 　．
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
故答案为：3．
【分析】根据正切函数即可求出BC的长度。
13．（2021八上·徐闻期中）一个多边形的每一个内角都是135°，则它的边数为 　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每一个内角都是135°，
∴该多边形的每一个外角都是45°，
∴该多边形的边数为 ，
故答案为：8
【分析】先求出该多边形的每一个外角的度数，再利用多边形的外角和求出答案。
14．（2021八上·徐闻期中）若从一个多边形一个顶点出发，最多可以引12条对角线，则它的边数为　 　．
【答案】15
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】设这个多边形是n边形，
依题意，得n - 3= 12，
n= 15，
故这个多边形是15边形，
故答案为：15．
【分析】根据多边形的对角线的定义，可知从n边形的一个顶点出发，可以引出(n-3)条对角线由此即可得出答案。
15．（2021·怀化模拟）如图，已知在 中， 是 的垂直平分线，垂足为 ，交 于点 .若 ， ，则 的周长是　 　.
【答案】15
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 的周长=
，
故答案为：15.
【分析】根据垂直平分线的性质可得DB=DC，由的周长= =AB+AC，据此计算即可.
16．（2021八上·徐闻期中）如图，在 中， ， 平分 ，若 ， ，则 的面积为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵ ，
∴AC⊥BC，
∵ 平分 ，
∴DE=CD=2，
∵ ，
∴ 的面积为 ．
故答案为：5．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角两边距离相等得出DE=CD=2，在利用三角形的面积公式，列式计算即可得解。
17．（2021八上·徐闻期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则其底角为　 　度．
【答案】67.5或22.5
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意， ，
又∵BM是AC边上的高，
∴ ，
∴ ，
∴
②如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意， ，
∵EN是DF边上的高
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为 或
【分析】由等腰三角形的定义即可得出答案。
三、解答题
18．（2021·文山模拟）如图， 、 ．求证： ．
【答案】证明：在 和 中
∴
∴
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】先求证出，即可得出 ．
19．（2021八上·徐闻期中）如图，已知∠ABC=50°，∠ACB=60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线．求∠BOC的度数．
【答案】解：∵BO，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
又∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠OBC= ∠ABC=25°，∠COF= ∠ACB=30°，
∴∠BOC=180°-∠BOE-∠COF=125°．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】由已知与角平分线的定义可求出∠OBC= ∠ABC=25°，∠COF= ∠ACB=30°，进而求得答案。
20．（2019八上·浏阳期中）一个多边形的内角和比外角和的 多 ，它是几边形？
【答案】解：设这个多边形边数为 ，依题意得：
，
解得： ，
答：它是七边形
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式(n-2) 180°和外角和等于360°列方程求解即可．
21．（2020八上·包河期中）已知一个等腰三角形的周长是12cm，其中一边长是2cm，求另外两边的长．
【答案】解：（1）若该等腰三角形的腰长为 ，则另外两边的长为 ， ，
根据三角形三边关系∵2＋2＝4＜8，故不能构成三角形；（2）若等腰三角形的底边长为 ，则腰长为 ，
即另外两边的长为 ， ，能构成三角形；
综上所述，该等腰三角形的另外两边的长为 ， ．
故答案为： ， ．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】已知条件没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以分两种情况讨论，计算出结果后还需判定能否组成三角形．
22．（2020八上·周口期中）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm；
求
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长.
【答案】（1）解：∵在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，
∴△ABC的面积= BC×AC=30cm2；
（2）解：∵△ABC的面积=30 cm2，
∴CD=30×2÷AB= cm.
【知识点】三角形的面积；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，即可求解；（2）根据计算直角三角形的面积的两种计算方法，即可求出斜边上的高.
23．（2021八上·徐闻期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵ ，
∴ 点在 的角平分线上
∴ 平分
（2）解：∵
∴
又∵ ， ，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得出 ， ，再由，得出，推出，得出 点在 的角平分线上，由此得出结论；
（2）由 ， ， ，证明，得出，得出，由此得出答案。
24．（2021八上·沭阳月考）在 中， ， ，直线 经过点C，且 于D， 于E，
（1）当直线 绕点C旋转到图1的位置时，求证：
① ；
② ；
（2）当直线 绕点C旋转到图2的位置时，猜想 、 、 之间的关系，并请给出证明.
【答案】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在 和 中，
，
∴ （AAS）；
②∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解：关系： ；
证明：
∵ ， ，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （AAS），
∴ ， ，
∴ .
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）①由垂直的概念可得∠ADC=∠CEB=90°，根据同角的余角相等推出∠DAC=∠ECB，然后利用全等三角形的判定定理AAS进行证明；②由全等三角形的性质可得AD=CE，BE=CD，据此证明；
（2）由垂直的概念可得∠ADC=∠CEB=90°，根据同角的余角相等推出∠DAC=∠ECB，利用AAS证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE，BE=CD，据此解答.
25．（2021八上·徐闻期中）如图，点C为线段 上一点， ， 是等边三角形，直线 交于点E，直线 交于点F．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）求证： ．
【答案】（1）解：∵△ACM和△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠MCN=180°-∠ACM-∠BCN=60°，
∴∠CAN=∠ACM+∠MCN=∠MCN+∠BCN=∠BCM=120°，
∴△CAN≌△CMB（SAS），
∴AN=BM；
（2）∵△CAN≌△CMB，
∴∠EAC=∠FNC，
∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，
∴△AEC≌△MFC（ASA），
∴CE=CF；
（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF=∠ACE=60°，
∴EF∥AB．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据△ACM和△CBN都是等边三角形，得出AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，推出∠MCN、∠CAN的度数，证明△CAN≌△CMB（SAS），即可得出结论；
（2）根据△CAN≌△CMB，得出∠EAC=∠FNC，在根据AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，可得出△AEC≌△MFC（ASA），由此得出结论；
（3）证出△ECF是等边三角形，得出∠CEF=∠ACE=60°，由此得出结论。
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