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人教版九年级上 24.3正多边形和圆同步练习
一．选择题
1．（2021秋 镇江期中）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE的度数为（　　）
A．40° B．36° C．32° D．30°
2．（2021 广陵区校级三模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　）
A．36° B．60° C．72° D．75°
3．（2021秋 江阴市期中）若正六边形的周长为24，则它的外接圆的半径为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
4．（2020秋 斗门区期末）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
5．（2021春 迁安市期末）一个正多边形的边长为2，它的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的周长是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
6．（2021 贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）
A．144° B．130° C．129° D．108°
7．（2021 雁塔区校级模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
8．（2021秋 秦淮区期中）若一个正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形的边长是 　 　．
9．（2021秋 东台市月考）已知正方形ABCD内接于⊙O，则边AB所对的圆周角的度数为 　 　．
10．（2021秋 金华期中）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4，则点O到FM的距离是 　 　．
11．（2020 雁塔区校级模拟）把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝　 　．
12．（2021秋 宁波期中）如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为 　 　．
13．（2021 山西模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为　 　°．
14．（2020秋 雁塔区校级期末）若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON＝120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的边长是 　 　．
三．解答题
15．（2021 云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
16．（2020秋 武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
17．（2020 香坊区二模）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表：
正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形
∠BQM的度数 　 　 　 　 　 　 … 　 　
18．（2020秋 庐阳区期末）已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2021秋 镇江期中）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADE的度数为（　　）
A．40° B．36° C．32° D．30°
【解析】解：如图：连接AO、EO，
在正五边形ABCDE中，∠AOE＝＝72°，
∴∠ADE＝∠AOE＝×72°＝36°，
故选：B．
2．（2021 广陵区校级三模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　）
A．36° B．60° C．72° D．75°
【解析】解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°，
故选：C．
3．（2021秋 江阴市期中）若正六边形的周长为24，则它的外接圆的半径为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
【解析】解：如图，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF的周长为24，
∴边长为4；
∵∠AOB＝×360°＝60°，且OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
即该圆的半径为4，
故选：B．
4．（2020秋 斗门区期末）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
【解析】解：连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝AB＝4，
即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，
故选：B．
5．（2021春 迁安市期末）一个正多边形的边长为2，它的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的周长是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【解析】解：设正多边形的边数为n，由题意得：
（n﹣2） 180°＝3×360°，
解得：n＝8，
∵这个正多边形的边长为2，
∴这个正多边形的周长为16．
故选：D．
6．（2021 贵阳）如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）
A．144° B．130° C．129° D．108°
【解析】解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．
7．（2021 雁塔区校级模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
【解析】解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
二．填空题
8．（2021秋 秦淮区期中）若一个正方形的外接圆的半径为4，则这个正方形的边长是 　4　．
【解析】解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝8，AB＝BC＝AC＝4，
故答案为：4．
9．（2021秋 东台市月考）已知正方形ABCD内接于⊙O，则边AB所对的圆周角的度数为 　45°或135°　．
【解析】解：圆内接正方形的边BC所对的圆心角360°÷4＝90°，则360°﹣90°＝270°，
根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，
BC所对的圆周角的度数是90×＝45°或270°×＝135°．
故答案为45°或135°．
10．（2021秋 金华期中）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4，则点O到FM的距离是 　2　．
【解析】解：连接OM，过O作OH⊥FM于H，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，
∵OH⊥FM，OF＝OM，
∴∠OFH＝60°，∠OHF＝90°，FH＝FM＝2，
∴OH＝FH＝2，
故答案为：2．
11．（2020 雁塔区校级模拟）把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝　144°　．
【解析】解：∵六边形ABCDEF，
∴∠A＝∠B＝∠BCD＝，
∵五边形GHCDL是正五边形，
∴∠CDL＝∠L＝，
∵∠A+∠B+∠BCD+∠CDL+∠L+∠APG＝（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠APG＝720°﹣120°×3﹣108°×2＝144°，
故答案为：144°．
12．（2021秋 宁波期中）如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为 　54°　．
【解析】解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．
∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，
∵EF⊥BC，
∴B，C关于EF对称，
∴PB＝PC，
∵PA+PB＝PA+PC≥AC，
∴当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，
∵ABCDE是正五边形，
∴BA＝BC，∠ABC＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∵P′B＝CP′，
∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BP′F＝90°﹣∠P′BC＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54°．
13．（2021 山西模拟）如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为　36　°．
【解析】解：如图，连接OM，ON．
∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点，
∴OM⊥AE，ON⊥AB，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∵∠A＝108°，
∴∠MON＝180°﹣108°＝72°，
∴∠MFN＝∠MON＝36°，
故答案为：36．
14．（2020秋 雁塔区校级期末）若点O是正六边形ABCDEF的中心，∠MON＝120°且角的两边分别交六边形的边AB、EF于M、N两点．若多边形AMONF的面积为，则正六边形ABCDEF的边长是 　2　．
【解析】解：连接OF、OA，作OG⊥AF于点G，如图
正六边形中心角∠AOB＝＝60°，
∴∠BOF＝60°×2＝120°，∠OFE＝∠OBA＝60°，OF＝AF＝OA，
∴∠MON﹣∠MOF＝∠BOF﹣∠MOF，
即∠FON＝∠BOM，
在△FON和△BOM中
，
∴△FON≌△BOM（AAS），
∴S△FON＝S△BOM，
∴S多边形AMONF＝S四边形ABOF＝2S△OAF，
在Rt△OFG中，∠OFG＝60°，
sin60°＝，
∴OG＝OF＝AF，
∴S△OAF＝AF OG＝AF2，
即2×AF2＝2，
解得AF＝2，
故答案为2．
三．解答题
15．（2021 云岩区模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
（1）求∠CPD的度数；
（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【解析】解：（1）连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°．
∴；
（2）连接PO，OB，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为BC的中点，
∴＝，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
16．（2020秋 武汉期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．
17．（2020 香坊区二模）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCD（如图2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填入下表：
正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形
∠BQM的度数 　90°　 　108°　 　120°　 … 　　
【解析】解：（1）在△ABM与△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠NBC，
∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ，
＝∠NBC+∠ABQ
＝∠ABM＝60°，
∴∠AQN＝60°．
（2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小，
所以正方形中∠AQN＝90°，
正五边形中∠AQN＝108°，
正六边形中∠AQN＝120°，
…
正n边形中∠AQN＝．
故答案为：90°，108°，120°，．
18．（2020秋 庐阳区期末）已知，正方形ABCD内接于⊙O，点P是弧AD上一点．
（1）如图1，若点P是弧AD的中点，求证：CE＝CD；
（2）如图2，若图中PE＝OE，求的值．
【解析】（1）证明：如图1，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝OC，
∴EB＝ED，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵点P是弧AD的中点，
∴∠PBD＝∠ABD＝×∠AOD＝22.5°，
∴∠EDC＝∠CDO+∠ODE＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠CED＝180°﹣DCE﹣∠CDE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CE＝CD；
（2）解：如图2，连接DE，DP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠EOD＝90°，OA＝OD，
∴∠P＝∠BAD＝90°，
∵PE＝OE，DE＝DE，
∴Rt△PDE≌Rt△ODE（HL），
∴∠PDE＝∠2，由（1）知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠PDE，
∴∠1+∠2+∠PDE＝90°，
∴∠2＝30°，
∴OE＝DE，
∴DE＝2OE，
∴OD＝＝OE，
∴＝，
∴OD＝OA＝OE，
∴AE＝OA﹣OE＝（﹣1）OE，EC＝OE+OC＝（+1）OE，
∴＝＝2﹣．
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