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数列
专题二：数列求通项（累加法）
一、必备秘籍
累加法（叠加法）
若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法.
具体步骤：
将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：
=
整理得：=
二 例题讲解
（2021·重庆垫江县·垫江第五中学校高三月考）
1. 已知在数列中，.求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】当时利用累加法得到，再检验时也成立，即可得解；
【详解】（1）因为，所以
当时，
所以，
所以，，
又当时，满足条件，
所以.
（2021·合肥市第八中学高三其他模拟（文））
2. 在数列中，.设，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】将已知条件变形为，由此可得，再采用累加法求解出的通项公式.
【详解】由已知
即，
，又，
当时，，
所以，
所以，
所以；
当时，符合，
所以；
感悟升华（核心秘籍） 1 使用累加法标准：或者可以通过换元化成这个形式例如第1题可以直接使用累加法；第2题 通过换元也可以化成从而也可以使用累加法；
三 实战练习
（2021·济南市·山东师范大学附中高三开学考试）
3. 设数列满足.求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法结合等比数列求和公式，即可求得数列的通项公式
【详解】由题意
故，，，，
累加可得：
，
即，经检验，也满足.
所以数列的通项公式为
（2021·安徽高三开学考试（文））
4. 已知数列满足：.求的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】利用累加法，即可求出数列的通项公式.
【详解】由已知得，
当n≥2时，
，
又，也满足上式，故.
（2021·山东日照市·高三开学考试）
5. 我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律.此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”.在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和.
把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；
【答案】；.
【解析】
【分析】首先找出递推关系，利用递推关系即可计算出数列的通项公式.
【详解】由“杨辉三角”的定义可知：，时，，
所以有.
故.
（2021·河南高三三模（理））
6. 设数列满足，.求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，利用累加法，结合等比数列求和公式，即可得答案.
【详解】解：由已知，，
所以，
，
，
各项累加可得，
又，所以，
所以
（2021·江苏）
7. 已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】由已知得，再运用累加法求得数列的通项.
【详解】解：因为，所以.
因为，，…，，
所以，
于是.当时，，所以.
（2021·江苏南京市第二十九中学高三月考）
8. 已知数列满足，且.求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】由题意，左右同除得：，利用累加法即可求得数列的通项公式；
【详解】由，两边同时除以得：
当时有：，，，
累加可得：，
所以，
所以，
又时，满足，
从而；
（2021·天津市宝坻区大口屯高级中学）
9. 已知数列满足：，，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】设，，则，用累加法可先求出，从而得到答案.
【详解】因为
设，，则，
当时，
，
又也满足，所以
由，
则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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