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数列
专题三：数列求通项 （累乘法）
一、必备秘籍
累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法.
具体步骤：
将上述个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
二、例题讲解
（2021·湖北武汉市·高三开学考试）
1. 设数列的前项和为，满足.求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，进而根据累乘法即可得到答案.
【详解】当n=1时，，
当n≥2时，，
于是，，
而，满足上式，故而.
（2021·浙江高三其他模拟）
2. 已知数列满足，.求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】由,得，进而用累乘法求得答案.
【详解】由题意，,得，
当n=1时，，
当n≥2时，，于是
则，而满足上式.
所以.
感悟升华（核心秘籍） 使用累乘法标准：或者可以通过换元化成这个形式 例如第1题可以直接使用累乘法； 第2题 通过换元也可以化成从而也可以使用累乘法；
三、实战练习
（2021·浙江温州市·高三其他模拟）
3. 已知正项数列满足，且，求的通项公式
【答案】
【解析】
【分析】通过因式分解可得，由累乘法可得的通项公式
【详解】由已知，得，
因为数列是正项数列，所以，
即，
故
累乘得，，
又也满足上式
故的通项
（2021·全国高三专题练习）
4. 已知正数数列满足，，求的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】根据间的关系可得，利用累乘法求出.
【详解】由题意，当n≥2时，，即，
于是，，
而符合上式，故而.
（2021·全国高三专题练习（文））
5. 已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】将题中条件变形为，再利用累乘法求出数列的通项公式.
【详解】由，得，
所以当时，，
因为，
所以，
又因为时，满足上式，
所以
（2020·浙江温州市·高三月考）
6. 已知数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】.
【解析】
【分析】已知等式变形成数列前后项的商，用累乘法求通项公式．
【详解】因为，所以，则
当时，满足上式，所以.
（2020·云南（理））
7. 已知数列的前项和为，，.求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】根据时，由，根据条件化简得，再利用累乘法求解即可.
【详解】由题意知，当时，，，
两式相减得：，
所以，
又也适合，故.
（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））
8. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．求数列，的通项公式.
【答案】；.
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式，结合已知条件求出，进而得到的通项公式，再根据条件 ，利用累乘法即可得到的通项公式.
【详解】设数列的公差为，根据题意， ，
所以.
又因为，则n≥2时，，
于是
又满足上式，故而.
（2020·浙江高三二模）
9. 已知数列，，且．若的前项和为，求和的通项公式.
【答案】.
【解析】
【分析】设数列的前n项和为，进而利用间的关系求得的通项公式，然后利用累乘法求出的通项公式.
【详解】设数列的前n项和为，，
当n=1时，，
当n≥2时，，
而满足上式，故而.
所以 ，
当n≥2时，，于是，
而满足上式，故而.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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