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数列
专题四：数列求通项 （构造法）
一、必备秘籍
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式．
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式．
（2）形如，的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式
二、例题讲解
1. 已知数列满足，且，求的通项公式．
【答案】
【解析】
【分析】符合类型的标准形式，故构造为等比数列即可求解.
【详解】解：由可得：，
因为，所以，
所以是以1为首项3为公比的等比数列，
所以，
所以．
（2021·重庆一中高三其他模拟）
2. 已知数列满足，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】首先将递推公式化简为，从而得到，即可得到.
【详解】由，可得.
则数列是首项为，公差为1的等差数列，
则，即.
（2021·四川遂宁·高三三模（理））
3. 已知数列中，，．求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】首先证得是等差数列，然后求出的通项公式，进而求出的通项公式；
【详解】解：因为，
所以令，则，解得，
对两边同时除以，得，
又因为，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以；
【点睛】
感悟升华（核心秘籍：注意判断已知条件是否符合标准形式）
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式； 2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好； 3、构造等比数列
类型2：用“同除法”构造等差数列（1） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2（1）的标准形式； 2、两边同除； 3、构造数列为等差数列
类型2：用“同除法”构造等差数列（2） 1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2（2）的标准形式； 2、两边同除； 3、构造出新的等差数列
三、实战练习
（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高三其他模拟（理））
4. 在数列中，，求.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，则是等比数列，即可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，而，
∴是首项为4，公比为2的等比数列，故，
∴.
（2021·全国）
5. 已知等差数列中，，，数列满足，．求数列与数列的通项公式；
【答案】，
【解析】
【分析】根据等差数列的下标和性质先求解出的值，结合的值可求解出公差，由此可求解出的通项公式；采用构造等比数列的方法可证是等比数列，根据首项和公比可求解出的通项公式；
【详解】解：设数列的公差为，
∵为等差数列，∴，∴．
∵，∴，解得．
∴．
∴，∴，
∴．
∵，
∴是首项 公比均为的等比数列．
∴，∴．
∴，．
（2020·全国高三专题练习）
6. 已知数列的前项和为，且，数列满足，．求数列，的通项公式；
【答案】，
【解析】
【分析】利用求通项公式，构造是等比数列，求通项公式即可；
【详解】解：数列的前项和为，且，
当时，．
当时，，显然也适合上式．
所以；
因为数列满足，．
所以，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
故，
所以.
（2020·河北冀州中学高三月考）
7. 已知数列中，．证明数列是等比数列并求数列的通项公式；
【答案】证明见解析；．
【解析】
【分析】推导出，由此能证明数列 是以3为公比，以为首项的等比数列，从而的通项，由此能求出的通项公式．
【详解】解：因为，所以．
所以，且 ．
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
因此，
所以．
（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））
8. 已知数列满足，求出数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，构造为等比数列，进而根据等比数列通项公式求解即可.
【详解】解：由，可得，
又，所以，
即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
所以，∴
所以．
即数列的通项公式为．
（2020·全国高三专题练习）
9. 已知数列满足，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列是等比数列；
（2）确定等比数列的首项和公比，求出数列的通项公式，即可求出.
【详解】（1），，
因此，数列是等比数列；
（2）由于，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.
【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
（2021·河南安阳市·（理））
10. 已知数列，满足，，．证明为等比数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析，．
【解析】
【分析】由可得，然后得到，再根据等比数列通项公式求解即可得答案.；
【详解】证明：因为，，
所以，
所以，即，
又因为，
所以是首项为2，公比为2的等比数列．
所以．
11. 已知数列满足，求出数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】构造函数为等差数列，进而利用等差数列通项公式求解即可.
【详解】解：因为，
所以等式两边同除以得
所以数列是以为首项，2 为公差的等差数列，
所以
所以
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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