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数列
专题五：数列求通项（倒数法）
一 必备秘籍
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符合专题四类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）
二 例题讲解
（2021·全国高二专题练习）
1. 已知数列中，，，求的通项公式.
【答案】.
【解析】
【分析】已知式取倒数可证得是等差数列，从而易得通项公式．
【详解】，两边取倒数得，即，
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，故；
感悟升华（核心秘籍） 用“倒数变换法”构造等差数列类型1： 1 注意题目给定的符合用“倒数变换法”构造等差数列类型1； 2 两边取“倒”，化； 3 注意到化简式可以看成是首项为，公差为等差数列.
（2020·浙江省宁海中学高二其他模拟）
2. 已知数列满足，.求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】对递推公式两边同时取倒数，进而变为，利用等比数列通项公式可得，化简即可得解.
【详解】由两边取倒数，得，所以，
又，所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即，
所以.
感悟升华（核心秘籍） 用“倒数变换法”构造等差数列类型2： （注意和类型1对比） 1 注意题目给定的符合用“倒数变换法”构造等差数列类型2； 2 两边取“倒”，化为； 3 注意到化简式可以换元化简为，再用专题四的构造法求解.
三 实战练习
（2020·上海高三专题练习）
3. 数列中，，，求的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】
通过对递推关系式，变形可知，即数列为等差数列，再由等差数列的通项公式即可求解.
【详解】， ，即
又，则
是首项为，公差为的等差数列，
，即，
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查等差数列的定义和等差数列的通项公式，及构造法求通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由与的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学运算能力，属于较难题.
（2021·全国高二期末）
4. 已知数列中，，，证明：数列是等比数列
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由可得，然后结论得以证明.
【详解】因为，所以，即，
所以，
又，∴是以为首项，3为公比的等比数列.
（2021·青海海东·平安一中高一月考）
5. 已知数列，满足，.
(1)证明：数列为等差数列.
(2)求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】(1)将已知递推关系式取倒数化简，利用等差数列的定义证明即可；
(2)先求出等差数列的通项公式，进而可得．
【详解】(1)证明:
∵，，∴，
∴，
即是首项为，公差为的等差数列．
(2)由上述可知，
∴.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查定义证明等差数列，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
（2021·全国高二课时练习）
6. 已知数列满足，且.求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】利用倒数法和构造法可得到数列为等比数列，结合等比数列通项公式可整理得到结果.
【详解】由两边取倒数得，即，
两边同时减1得：，即，
所以是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，即，所以.
（2020·河南（理））
7. 已知数列的首项，且.求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】由已知关系式可推出，从而得到数列为等差数列，由等差数列通项公式可求得，由此可得到答案.
【详解】，，，即，
所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，
，即.
（2020·浙江高二期中）
8. 已知数列满足，.证明：数列是等差数列，并求的通项公式.
【答案】证明见解析，.
【解析】
【分析】根据等差数列的定义证明，由等差数列的通项公式可得．
【详解】（1），，，
，，，
数列是以为首项，以为公差的等差数列，，
（2020·开鲁县第一中学高二月考（理））
9. 设数列的前项和为，已知，.求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】利用倒数法和构造法可得到数列为等比数列，结合等比数列通项公式可整理得到结果.
【详解】由两边取倒数可得，
即，，
数列是以为首项，2为公比的等比数列，
，即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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