资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
概率与统计
专题三： 正态分布
一、必备秘籍
1、若随机变量的概率分布密度函数为对任意的，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，如上图所示．
若随机变量的概率分布密度函数为，则称随机变量服从正态分布(normal dis-tribution)，记为．特别地，当时，称随机变量服从标准正态分布，即．
由的密度函数及图象可以发现，正态曲线有以下特点：
（1）曲线在轴的上方，与轴不相交．
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称．
（3）曲线在处达到峰值 (最高点)
（4）当无限增大时，曲线无限接近轴．
（5）轴与正态曲线所夹面积恒等于1 ．
2、正态分布的原则
二、例题讲解
（2021·湖南高三其他模拟）
1. 数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现．为全面推动数学建模活动的开展，某学校举行了一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如下．
（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格．为科学评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会．记为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求的分布列和数学期望；
（2）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩服从正态分布，其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励的人数．（结果根据四舍五入保留到整数位）
解题中可参考使用下列数据：，，．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）50．
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可求得抽取的10人中合格的有6人，不合格的4人，则的可能值为0，1，2，3，4，然后求出对应的概率，从而可得的分布列和数学期望，
（2）由题意可求得的值，由服从正态分布和正态分布的性质可求得答案
【详解】（1）由频率分布直方图和分层抽样的方法，可知抽取的10人中合格的人数为，不合格的人数为．因此，的可能值为0，1，2，3，4，则
，，，，．
故的分布列为
0 1 2 3 4
所以的数学期望．
（2）由题意可知，．
，所以．
由服从正态分布，得
，
则，，．
所以此次竞赛受到奖励的人数为50．
（2021·全国高三其他模拟）
2. 中国人民解放军装甲兵学院（前身蚌埠坦克学院），建校至今为我国培养了一大批优秀的军事人才.在今年新入学的学生中，为了加强爱校教育，现在从全体新入学的学生中随机的抽取了100人，对他们进行校史问卷测试，得分在45~95之间，分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40.
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为新人学的学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.
（i）求；
（ii）在某间寝室有6人，求这6个人中至少有1人校史问卷测试分数在90.8分以上的概率.
参考数据：若，则，，，，，.
【答案】（1），；（2）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）利用样本平均数和样本方差的公式直接求解；
（2）（i）利用正态分布概率密度曲线的特点即可求解；
（ii）利用频率估计概率，求对立事件的概率即可求解.
【详解】（1）由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，
则平均数；
方差
.
（2）（i）由（1）得，，故学生校史问卷测试分数近似服从正态分布，
则
.
（ii），
故随机抽取一名学生，测试分数在90.8分以上的概率为0.0228.
设“这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上”为事件，
则，
故这6个人中至少有1入校史问卷测试分数在90.8分以上的概率为0.13.
三、实战练习
（2021·全国高三专题练习（理））
3. 在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.
组别
频数 25 150 200 250 225 100 50
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(ⅰ)得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
(ⅱ)每次获赠送的随机话费和对应的概率为:
赠送的随机话费(单元:元) 20 40
概率 0.75 0.25
现有市民甲要参加此次问卷调查，记 (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望.
参考数据与公式：，若，则①；②；③.
【答案】（1）0.8186；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）先由频数分布表求出，从而可得，然后利用正态分布的对称性可求得结果；
（2）由题意可得获赠话费的可能取值为20，40，60，80，然后求出各个对应的概率，从而列出分布，求出期望
【详解】（1）.故，
又，∴，.
∴.
综上，.
（2）易知.
获赠话费的可能取值为20，40，60，80.
；；
；.
故的分布列为:
20 40 60 80
∴.
（2021·沙坪坝·重庆八中高三月考）
4. 消费扶贫是社会各界通过消费来自贫困地区和贫困人口的产品与服务，帮助贫困人口增收脱贫的一种扶贫方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径.某地为了解消费扶贫对贫困户帮扶情况，该地民政部门从本地的贫困户中随机抽取2000户时2020年的收入进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：
收入(千元)
频数 200 600 600 300 200 100
（1）将调查的2000户贫困户按照收入从低到高依次编号为1，2，3，……，2000，从这些贫困户中用系统抽样方法等距抽取50户贫困户进行深度帮扶，已知8号被抽到；
（i）收入在和的贫困户卬被抽到进行深度帮扶的户数分别为多少？
（ii）收入在和的贫困户中被抽到进行深度帮扶的凡中随机选取2户，记选取的2户中来自的户数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）由频率分布表可认为该地贫困户的收入X近似服从正态分布.现从该地的所有贫困户中随机抽取10户，记收入在之外的户数为Y，求(精确到0.001).
参考数据1：当时，，，.参考数据2：，.
【答案】（1）（i）的有8户，的有2户；（ii）分布列答案见解析，数学期望：；（2）.
【解析】
【分析】（1）（i）由系统抽样的性质求解；（ii）随机变量X的可能取值为0，1，2，然后求出各自对应的概率，从而可列出分布列，求得数学期望；
（2）利用正态分布的对称性求出收入在之外的概率，从而可得，进而利用二项分布的概率公式可求得结果
【详解】解：（1）（i）由题意，系统抽样抽出的序号成等差数列，
收入在的贫困户的序号满足，
故收入在的有8户；
收入在的贫困户的序号满足，
故收入在的有2户.
（ii）随机变量X的可能取值为0，1，2，
，
，
，
X 0 1 2
P
所以.
（2）由题意易知：，，
又，，
所以，
所以或，
所以，
所以.
（2021·湖北高三开学考试）
5. 从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.
分组 频数 频率
2 0.002
0.054
106 0.106
149 0.149
352
190 0.190
100 0.100
47 0.047
合计 1000 1.000
（1）求，，的值；
（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得.如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求.
附：，，.
【答案】（1），，；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据频数的总和为1000和频率的和为1可求，根据直方图的纵轴上数据的计算方法可求.
（2）利用组中值可求样本平均数.
（3）设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数，依题意知，利用公式可求的期望，从而可求.
【详解】解：（1）结合频率分布表可以得到，，
（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数为：
.
（3）因为，由（2）知，
从而，
设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数.
依题意知，所以，
所以
答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为.
（2021·四川高三其他模拟（理））
6. 在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 2 13 21 25 24 11 4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元） 20 50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）直接根据公式计算得到，再根据正态分布的对称性及计算得到答案.
（2）获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】（1）由题意得：，
∴ ，∵，
，
（2）由题意知，.
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，，
，，.
∴的分布列为：
20 40 50 70 100

∴.
【点睛】方法点睛：本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
（2021·辽宁）
7. 《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人オ为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列．质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
（1）写出频率分布直方图（甲）中a的值；记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为，试比较的大小（只需给出答案）；
（2）若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标进行判断，是否有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异？
甲 乙 合计
优质产品
不是优质产品
合计 100 100 200
0.05 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
（3）由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z服从正态分布．其中近似为样本平均数近似为样本方差，设X表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于（11.6，35.4）的架数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得；②若，则．
【答案】（1）a＝0.010，；（2）没有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异；（3）．
【解析】
【分析】（1根据题设结果频率分布直方图得出结论；（2）完善列联表，根据公式求得，和表中比较得出结论；（3）利用正态分布公式求得，结合二项分布求得结果．
【详解】解：（1）a＝0.010，且；
（2）甲种无人机中优质率为0.25＋0.1＋0.35＝0.7，所以甲种无人机中优质产品有70架，不是优质产品的有30架；乙种无人机中优质率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，所以乙种无人机中优质产品有60架，不是优质产品的有40架．
列联表如下：
甲 乙 合计
优质产品 70 60 130
不是优质产品 30 40 70
合计 100 100 200
，故没有95%的把握认为甲、乙两种“无人机”的优质率有差异．
（3）计算得：，
由条件，从而，
故从乙种“无人机”中随机抽取1架，其质量指标值位于（11.6，35.4）的概率是0.6826，
根据题意得，
（2021·山西高三三模（理））
8. 2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心 牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理 学史增信 学史崇德 学史力行，教育引导党员干部学党史 悟思想 办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【解析】
【分析】（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.
【详解】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：
0 1 2
.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
（2021·全国高三其他模拟）
9. 从2020年开始，部分高校实行强基计划，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，越来越多的学生通过参加数学竞赛来证明自己的数学实力.某省举行的数学联赛初赛有10000名学生参加，成绩数据服从正态分布N（80，100），现随机抽取了某市50名参赛学生的初赛成绩进行分析，发现他们的成绩全部位于区间[50，110]内.将成绩分成6组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），[100，110]，得到如图所示的频率分布直方图，该50名学生成绩的平均分是77分.
（1）求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）.
（2）（i）若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛，则分数线应定为多少？
（ii）若给成绩位于全省前228名的同学颁发初赛一等奖的证书，现从本市这50名同学里面能成功进入决赛的同学中任意抽取3人，记这3人中得到初赛一等奖的数为X，求X的分布列和数学期望.
附：若X~N（μ，σ ），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X＜μ+2σ）≈0.9545，P(μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973.
【答案】（1）； （2）（i）分；（ii）分布列见解析，期望.
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的性质和平均数的计算公式，列出方程组，即可求解；
（2）（i）根据题意通过初赛进入决赛服从正态分布，结合正态分布的图象的对称，即可求解；
（ii）得到50人进入决赛人数为人，大于100分的人数为人，得到变量的取值，求得向量的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，可得，即，
又由平均数为77分，
可得，
即，
联立方程组，解得.
（2）（i）若要在全省选拔15.865%的同学通过初赛进入决赛，可得服从正态分布，
所以，
又由,
而,
所以分数线应定为90分.
（ii）由题意可得50人进入决赛人数为人，
又由，因为，
所以，即大于100分的人数为人，
所以随机变量的取值为，
可得，,
,,
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以期望为：.
（2021·河南郑州·（理））
10. 已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸（单位：）服从正态分布．
（1）从该生产线生产的零件中随机抽取个，求至少有一个尺寸小于的概率；
（2）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为元，此后每增加一次则故障维修费增加元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和的分布列与数学期望．
参考数据：若，则，，，．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．
【解析】
【分析】（1）根据，利用原则求解；．
（2）易得的所有可能取值为，，，，，分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望.
【详解】（1）因为，
则，，，
所以，
所以从该生产线生产的零件中随机抽取个，至少有一个尺寸小于的概率为：
．
（2）由题意可得的所有可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：
数学期望．
【点睛】思路点睛：求离散型随机变量分布列、数学期望、方差的基本思路：
一审：随机变量的意义是什么？它的可能取值有哪几个？
二审：随机变量的每个取值对应事件是什么？利用何种概率模型求其概率？
三审：利用相应公式求概率，并列出分布列．
四审：分布列中各概率的和为1吗？
五审：求数学期望与方差．
（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））
11. 近年来，学生职业生涯规划课程逐渐进入课堂，考生选择大学就读专业时不再盲目扎堆热门专业，报考专业分布更加广泛，之前较冷门的数学、物理、化学等专业报考的人数也逐年上升．下表是某高校数学专业近五年的录取平均分与当年该学校的最低提档线对照表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码（）
该校最低提档分数线
数学专业录取平均分
提档线与数学专业录取平均分之差（）
（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的线性回归方程；
（2）据以往数据可知，该大学每年数学专业的录取分数服从正态分布，其中为当年该大学的数学录取平均分，假设2021年该校最低提档分数线为分．
（i）若该大学2021年数学专业录取的学生成绩在分以上的有人，本专业2021年录取学生共多少人？进入本专业高考成绩前名的学生可以获得一等奖学金．一等奖学金分数线应该设定为多少分？请说明理由．
（ii）若同学2021年高考考了分，他很想报考这所大学的数学专业，想第一志愿填报，请利用概率与统计知识，给该同学一个合理的建议．（第一志愿录取可能性低于，则建议谨慎报考）
参考公式：，．
参考数据：，，
【答案】（1）；（2）（i）2000人，分，理由见解析；（ii）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）直接利用公式求解关于的线性回归方程；
（2）（i）由（1）知，当时，，从而可得，所以该大学每年数学专业的录取分数，然后由正态分布的性质可得，从而可求得本专业2021年录取的学生人数，设一等奖学金分数线应该设定为，则，所以，再结合正态分布的性质可得答案；（ii）因为，又，从而可作出判断
【详解】（1）由题意知，，
，，
所以，，
故所求线性回归方程为．
（2）（i）由（1）知，当时，，
故该大学2021年的数学专业录取平均分约为．即
该大学每年数学专业的录取分数，则，．
．
，
本专业2021年录取学生共（人）．
成绩排在前名的学生数占总数人的．设一等奖学金分数线应该设定为．
则．
．
又知．
（分）．
一等奖学金分数线应该设定为分
（ii）因为，又，
所以该同学被录取的概率，
故建议该同学谨慎报考该大学的数学专业．
【点睛】关键点点睛：此题考查线性回归方程的求法，考查正态分布的应用，解题的关键是由题意求出，从而可得该大学每年数学专业的录取分数，然后利用正态分布的性质求解即可，考查转化思想，属于中档题
（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））
12. 2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg）的平方和为117．
（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数和方差；
（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布，用作为的估计值，用作为的估计值．随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在的概率是多少？
（3）某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼的质量在的条数，利用（2）的结果，求的数学期望．
附：（1）数据，，…的方差，
（2）若随机变量X服从正态分布，则；；．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】
【分析】(1)根据题目中的数据先求出平均数，再结合给出的方差公式可求得方差.
(2)根据题意可得，则，根据题目给出的数据，结合正态分布曲线的性质可得答案.
(3) 由(2)可得鱼的质量在的概率为，则，由二项分布的数学期望公式可得答案.
【详解】解：（1），．
（2）该鱼塘鱼质量满足，其中，，即
则，
∴．
（3）由(2)可得鱼的质量在的概率为.
由题意可知，
由二项分布的数学期望公式可得，的数学期望为．
（2021·湖南师大附中高三其他模拟）
13. 某工厂引进新的生产设备M，为对其进行评估，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/ 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评估设备M对原材料的利用情况，需要研究零件中某材料含量y和原料中的该材料含量x之间的相关关系，现取了8对观测值，求y与x的线性回归方程.
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；②参考数据：，，，.
（2）为评判设备M生产零件的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)；
①；②；
③.
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级.
（3）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品总数Y的数学期望E(Y).
【答案】（1）；（2）设备M的性能等级为丙级；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据题目提供的数据，求出，以及回归方程过样本中心求出，从而求出回归方程.
（2）分别求出，，，，
，，根据题中的100个数据判断满足其中的几个不等式，通过评判规则来决定性能等级;
（3）题目要求从样本中随意抽取2件零件，再从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算次品总数的数学期望，分别满足超几何分布和二项分布，再求期望.
【详解】（1），
，
；
（2），，
，，
，，
，
，
，
设备M的性能等级为丙级；
（3）样本中直径小于等于的共有2件，直径大于的零件共有4件，
所以样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.
由题意可知从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，其中次品数设为Y1，
则，于是；
从样本中随意抽取2件零件其次品数设为Y2，
由题意可知Y2的分布列为：
Y2 0 1 2
P
故.
则次品总数Y的数学期望.
【点睛】这类问题的关键在于理解题意，准确计算.第一问的计算要利用题中告诉的数据求出、；第二问的数据从100个数中选；第三问的关键在于分清两种不同方式下的不同分布，再分别计算.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑