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解析几何
专题一：轨迹方程
一、必备秘籍
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
3、求轨迹方程的方法：
（1）定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程.
(2)直译法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程.
(3)参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，
，进而通过消参化为轨迹的普通方程.
(4)代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程.
(5)点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
二、例题讲解
1. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线
【答案】；椭圆.
【解析】
【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为，半径为，
设圆和圆的圆心分别为、，
将圆的方程分别配方得：圆，圆
当动圆与圆相外切时，有 …①
当动圆与圆相内切时，有…②
将①②两式相加，得，
∴动圆圆心到点和的距离和是常数，
所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆．
设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为；
∴，
∴
∴
∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．
【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．
感悟升华（核心秘籍） 利用定义法求轨迹方程时，重点在于判断题意给的信息符合已学习过的图形定义；然后利用定义求解.注意求解过程中变量的取值范围.
2. 已知点、动点满足，求点的轨迹？
【答案】抛物线．
【解析】
【分析】用向量数量积的坐标运算表示已知等式化简即得轨迹方程，由方程可判断轨迹．
【详解】，
. 由条件，，整理得．轨迹是抛物线．
感悟升华（核心秘籍） 直译法，就是根据题目给定的已知条件，直接代入，如本题，根据这个已知条件直接求解.
3. 过点作两条互相垂直的直线，若交轴于点，交轴于点，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】x＋2y－5＝0
【解析】
【分析】由△PAB为直角三角形得 ，设M（x，y），用坐标表示此等式可得．
【详解】设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），
∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形，
化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程.
综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.
感悟升华（核心秘籍） 本题方法一，使用参数法求解轨迹方程，参数法是考生弱项，再使用参数法时，根据题意列出方程组，消参是核心.
4. 点是椭圆上的动点，为定点，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】设动点M的坐标为（x，y），设B点坐标为（x0，y0），再利用相关点代入法求轨迹方程.
【详解】设动点M的坐标为（x，y），设B点坐标为（x0，y0），
则由M为线段AB中点，可得
，即点B坐标可表示为（2x－2a，2y），
因为点（x0，y0）在椭圆上，
，
从而有
整理得动点的轨迹方程为.
感悟升华（核心秘籍） 代入法： 1、求哪个点的轨迹，就将哪个点的坐标设为，如本题求的轨迹，故直接设 2、本题点轨迹已知，代入法核心，就是用所求点表示出已知点，如本题，由于点轨迹已知，所以直接代入，从而求出与的关系式.
5. 已知椭圆，求斜率为的平行弦中点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】设弦的两个端点分别为，利用点差法可得，联立直线和椭圆，
即可得的范围
【详解】设弦的两个端点分别为，的中点为.
则，（1），（2）
得：，
.
又，.
由于弦中点轨迹在已知椭圆内，
联立
故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：
感悟升华（核心秘籍） 点差法具有一定的局限性，适用中点弦问题，遇到中点弦问题可以优先考虑点差法.
三、实战练习
（2021·广西高三开学考试（理））
6. 设双曲线其右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若直线与轴不垂直，求直线的斜率.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可设直线方程为，，联立双曲线方程，消元后结合判别式、根与系数的关系即得；
【详解】解：由题知，设直线方程为，代入方程得
．
设，，
则，
，
所以.
（2021·宁波市北仑中学高三开学考试）
7. 如图，已知，直线，是平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点Q，且．求动点的轨迹的方程.
【答案】
【解析】
【分析】设出点的坐标，用数量积的坐标运算表示等式，构造出一个关于，的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程．
【详解】设点，则，由，
得，，
化简得曲线的方程为.
（2021·全国高三模拟预测）
8. 在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．求垂心的轨迹方程.
【答案】（）或（）
【解析】
【分析】求出外心坐标，外接圆半径同，得顶点C的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H的轨迹方程．
【详解】设的外心为，半径为R，
则有，又，
所以，即，或，
当坐标为时．
设，，有，即有（），
由，则有，
由，则有，
所以有，，则，
则有（），
所以垂心H的轨迹方程为（）.
同理当当坐标为时．H的轨迹方程为（）.
综上H的轨迹方程为（）或（）．
（2021·肥城市教学研究中心高三模拟预测）
9. 平面上一动点的坐标为.求点轨迹的方程.
【答案】
【解析】
【分析】利用 消去参数 即可求得点 的轨迹 E 的方程.
【详解】设，
则，即，
所以，
所以的方程为.
（2021·福建莆田·高三二模）
10. 曲线任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，求的方程.
【答案】
【解析】
【分析】设点，根据条件建立等式，化简即可；
【详解】设，由题意：，
化简得：，即C的方程为：.
（2021·全国高三开学考试）
11. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足.求动点的轨迹的方程.
【答案】
【解析】
【分析】设点，利用向量的数量积以及向量的模化简求解，可得动点P的轨迹方程；
【详解】设，则，，，
由，知
化简得：，即动点P的轨迹E的方程为.
（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）
12. 过点的直线与抛物线交于、两点.求线段的中点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】设，，，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ的中点B的轨迹方程.
【详解】解：设，，
代入得，
化简得，
又，
所以线段PQ的中点B的轨迹方程为.
（2021·全国（文））
13. 设动点在直线和上的射影分别为点和，已知，其中为坐标原点.求动点的轨迹的方程.
【答案】
【解析】
【分析】利用直接法求解轨迹方程即可.
【详解】设，则，
所以，
，
整理可得点的轨方程为.
（2021·四川成都·树德中学高三模拟预测（理））
14. 线段的长等于3，两端点 分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.求曲线的方程.
【答案】
【解析】
【分析】设 ，由两点间距离公式，向量平行的坐标表示
把用表示后代入可得结果；
【详解】设 ，由于，则①，
∵，∴，所以，即，
代入①式得点的轨迹曲线的方程为．
（2021·四川自贡·（文））
15. 已知平面上动点到点的距离比点到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线，若点，点在曲线上，且满足（为坐标原点）．求曲线的方程及点坐标.
【答案】时，y2＝4x；时，；B（2，2）.
【解析】
【分析】运用直接法求解轨迹方程即可；根据点B满足的几何条件，建立方程组可求得点B的坐标.
【详解】设P（x，y），根据题意可得
化简得y2＝2|x|+2x，
当x＜0时，y＝0，
当x≥0时，y2＝4x，
所以曲线C的轨迹方程可表示为：时，；时，y2＝4x.
时，设B（，y0），则
因为
所以（﹣1，0）+（﹣1，y0）＝2（0，n），
所以，
解得y02＝8，因为n＞0，
此时，＝＝2，，点B的坐标为
时，设，则
由得， ，题中，不合题意.
综上，曲线C的轨迹方程为时，；时，y2＝4x；
点B的坐标为（2，2）．
（2021·黑龙江实验中学高三模拟预测（文））
16. 已知点是平面直角坐标系中异于原点的一个动点，过点且与轴垂直的直线与直线交于点，且向量与向量垂直.求点的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】设点，可得，由已知可得出，化简可得出轨迹的方程.
【详解】解：设点，则，，，
因为，则，
因此，点的轨迹的方程为.
（2021·宁夏银川一中高三模拟预测（理））
17. 在直角坐标系中，动圆与圆：外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.求曲线的轨迹方程.
【答案】
【解析】
【分析】设圆心，圆的半径为，根据题意可得以及，联立消去即求出曲线C的轨迹方程.
【详解】解：设圆心，圆的半径为，因为动圆与圆外切，
所以①，
又动圆与直线相切.所以②，
联立①②消去，可得．
所以曲线的轨迹方程为.
（2021·安徽省舒城中学（理））
18. 已知点是圆与x轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．求点的轨迹的方程.
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，，设是上的任意点，表示出弦的中点恰好落在轴上，求出（用表示），代入可得点的轨迹方程．
【详解】由题意知，，设是上的任意点，
弦的中点恰好落在轴上，
，，，
整理得，，，
点的轨迹方程为．
（2021·安徽安庆一中高三三模（理））
19. 在直角坐标系中，动点到定点的距离比到轴的距离大．求动点的轨迹方程.
【答案】和
【解析】
【分析】设出点的坐标，根据题意列出所满足的方程，化简方程可求得的轨迹方程.
【详解】设，由题意：
两边平方可得：
当时，化简可得，
当时，，
所以曲线M的轨迹方程为和.
（2021·贵州贵阳·（理））
20. 已知定点，曲线上的任一点都有．求曲线的方程.
【答案】
【解析】
【分析】设动点坐标，坐标代入化简整理，直接法求动点轨迹方程；
【详解】设，由，得，
，
，化简整理得.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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