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解析几何
专题二：圆锥曲线弦长问题
一、必备秘籍
弦长公式：（最常用公式，使用频率最高）
二、例题讲解
（2021·辽宁高三开学考试）
1. 已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
（2）由（1）知曲线为，讨论直线的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，则，又，
∴椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意：
当直线的斜率存在时，设，又，，三点共线，
可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立，得，则，，
∴.
（2021·全国高三专题练习）
2. 过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点.
（1）求双曲线的离心率和渐近线；
（2）求的长.
【答案】（1），渐近线方程为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由双曲线方程得出，再求出，可得离心率，渐近线方程；
（2）写出直线方程，代入双曲线方程，设，，由韦达定理得，然后由弦长公式计算弦长．
【详解】解：（1）因为双曲线方程为，
所以，
则，
所以，渐近线方程为.
（2）双曲线右焦点为，则直线l的方程为
代入双曲线中，化简可得
设，
所以，，
所以.
【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的离心率和渐近线方程，考查直线与双曲线相交弦长．解题方法是直线方程与双曲线方程联立并消元后应用韦达定理求出，然后由弦长公式求出弦长．
（2021·全国高三模拟预测）
3. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）设，求得的坐标，结合，化简、整理，即可求得抛物线的方程；
（2）设，不妨设，由，求得，设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，，进而求得，利用弦长公式，即可求解.
【详解】（1）设，因为，，
则，，．
由，可得，化简得，
即动点的轨迹的方程为．
（2）设，，
由题意知，，
易知，不妨设，
因为，所以，所以． ①
设直线的方程为，
联立消去，得，则，
可得， ②
由①②联立，解得，
所以．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
三、实战练习
（2021·江门市培英高级中学高三模拟预测）
4. 已知椭圆过点，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为椭圆的左顶点，直线过右焦点与椭圆交于，两点（，与不重合），不与轴垂直，若，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求解的值，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）根据题意设，直线：，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合，求出的值，再根据弦长公式即可求得.
【详解】（1）由题意可得：，
解得：，
椭圆C的标准方程为：；
（2），
由题意可设：直线：，，
联立： 得：，
则，
，
，
又，
，
解得：，
故，
.
（2021·广东执信中学高三月考）
5. 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
（2021·全国高三月考（文））
6. 已知椭圆与抛物线有公共的焦点，，分别为椭圆长轴的左、右端点，为上一动点，且的最大面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线经过点，且与交于，两点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用已知条件可以直接得出焦点的坐标，当三角形面积最大时为短轴端点，从而解出，的值即可；
（2）利用（1）中求出的点的坐标，设出直线方程，然后与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求出直线的方程．
【详解】（1）抛物线的焦点坐标为
椭圆中的半焦距为．
由椭圆的几何性质可知，
当面积最大时，为椭圆短轴端点，不妨令，
则
解得
椭圆的标准方程为．
（2）直线经过椭圆的右焦点，且
直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则直线的方程为，
与椭圆的方程联立可得
，，
设，，
则，
解得，
直线的方程为或．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、抛物线的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，要求较高的运算求解能力，属于中档题.本题的关键点有：
（1）韦达定理的应用，韦达定理是联系各个变量之间的桥梁是解决解析几何问题的重要方法；
（2）计算能力和计算技巧是解决解析几何问题的关键能力.
（2021·陕西（文））
7. 已知点B是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点P.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）直线与E交于点M，N，且，求m的值.
【答案】（1），（2）.
【解析】
【分析】（1）由条件可得，然后由椭圆的定义可求出答案；
（2）设，然后联立直线与椭圆的方程消元，韦达定理得出，然后利用求出的值即可.
【详解】
（1）由条件可得
所以动点P的轨迹E是以为焦点的椭圆，设其方程为
所以，所以
所以方程为
（2）设
联立可得
所以由得
因为
所以可解得
（2021·全国高三专题练习）
8. 已知点和，动点到，两点的距离之差的绝对值为2，记点的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设与直线交于两点，，求线段的长度.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设，由于，，利用双曲线的定义求解即可；
（2）直线和双曲线方程联立消，利用韦达定理以及弦长公式求解即可.
【详解】（1）设，
则，
所以点的轨迹为双曲线，
且，，
则，，
所以轨迹的方程为；
（2）由，
得，
因为，
所以直线与双曲线有两个交点，
设，，
则，，
故.
所以线段的长度为.
（2021·全国高三专题练习）
9. 已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据离心率为和顶点求出，即可得出双曲线方程；
（2）可先求出直线方程为，联立椭圆方程，再利用弦长公式即可求出.
【详解】（1）由题可得，解得，，所以双曲线的方程为；
（2）双曲线的右焦点为
所以经过双曲线右焦点且倾斜角为30°的直线的方程为.
联立得．
设，，则，．
所以.
【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线相交弦长的求法，属于基础题.
（2021·重庆高三模拟预测）
10. 已知直线l：与抛物线C：交于A、B两点，O为坐标原点，．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若过点A的另一条直线l1与抛物线C交于另一点M，与y轴交于点N，且满足|AN|＝|AM|，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用，求得参数即可；
（2）设直线BM的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m，最后利用弦长公式计算，利用二次函数判断最小值即可.
【详解】解：（1）依题意，设，
由，消去y，得，，
，，即，
即，所以，解得，
抛物线C的标准方程为；
（2）由题意知，直线BM的斜率存在，故可设直线BM的方程为，，
由，消去y，得，，
由（1）知，，故，
由题意知三点共线，且|AN|＝|AM|，即A为线段的中点，设，
则，即，即，，
，
故时，最小为.
【点睛】思路点睛：
直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或，解决相关问题.
（2021·全国高三模拟预测）
11. 已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用已知条件，列出方程组，求解，即可求出的标准方程．
（2）设，，，，且．设中点为，当时，，；当时，求出直线的斜率，直线方程，然后直线方程与联立方程消去，整理得，利用韦达定理，弦长公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，，，，且．
设中点为，则，，
当时，，；
当时，，
则，即，
与联立方程消去，整理得，
由，得，
，，
，
当且仅当，即，即时，取“”，
所以的最大值为10，
此时的方程为．
（2021·浙江高三模拟预测）
12. 已知直线l：与抛物线C：交于A、B两点，O为坐标原点，．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若过点A的另一条直线l1与抛物线C交于另一点M，与y轴交于点N，且满足|AN|＝|AM|，求的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先联立直线与抛物线，得到判别式和韦达定理，再根据垂直关系，利用，求得参数即可；
（2）设直线BM的方程，并与抛物线联立，得到判别式和韦达定理，根据已知关系，判断中点位置，利用坐标关系求得参数m，最后利用弦长公式计算，利用二次函数判断最小值即可.
【详解】解：（1）依题意，设，
由，消去y，得，，
，，即，
即，所以，解得，
抛物线C的标准方程为；
（2）由题意知，直线BM的斜率存在，故可设直线BM的方程为，，
由，消去y，得，，
由（1）知，，故，
由题意知三点共线，且|AN|＝|AM|，即A为线段的中点，设，
则，即，即，，
，
故时，最小为.
【点睛】思路点睛：
直线与抛物线中的弦长问题，我们常让直线与抛物线方程联立，再利用韦达定理及弦长公式，建立关系式．其中弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或，解决相关问题.
（2021·全国高三专题练习）
13. 如图所示，，是焦点为的抛物线上的两动点，线段的中点在定直线上.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由抛物线定义有，结合已知条件即可求；
（2）由直线与抛物线位置关系，联立方程得到一元二次方程，结合根与系数关系、弦长公式即可求的最大值.
【详解】（1）由题意知：，抛物线对称轴方程.
设，，，则；
（2）点和在抛物线上，有，，
两式相减得：，令，
∴，即，
∴设直线的方程为，即，代入抛物线方程得，
∴，得，，
∴
∴当时，，
【点睛】思路点睛：求抛物线焦半径相关线段长度时注意抛物线定义的应用，即抛物线焦点到抛物线上点的距离等于该点到抛物线准线的距离；直线与抛物线相交，求弦长时一般要联立方程应用根与系数关系以及弦长公式.
（2021·全国高三专题练习）
14. 已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，证明：为定值；
（3）求的最小值.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）4.
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；
（2）可设的坐标，设过点的直线方程为，与抛物线方程联立，消去得：，利用判别式等于零可得结论；
（3）设，的坐标，由（2）可得参数，的关系，代入过的切线方程与抛物线的方程中，可得，用参数，表示的坐标，代入弦长公式中求的表达式，由参数的范围求出的最小值．
【详解】（1）由椭圆方程得，椭圆的右焦点为
抛物线的焦点为，，
所以抛物线的标准方程：．
（2）抛物线的准线方程为．
设，
设过点的直线方程为，
与抛物线方程联立，消去得：．
其判别式△，令△，得：．
由韦达定理知，，
故（定值）．
（3）设，，，，由，得，
故，
所以，代入抛物线方程得，
所以，，，，
因为，，
所以
，
当且仅当时取等号．
当且仅时取等号．
故的最小值为4．
【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.
（2021·广西河池·高三期末（理））
15. 已知抛物线的焦点为，斜率为2的直线与抛物线相交于、两点．
（Ⅰ）若直线与抛物线的准线相交于点，且，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线不过原点，且，求的周长．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）设直线的方程为，则点的坐标为，联立直线与抛物线，由判别式大于0可得，由解方程可得或（舍去），从而可得结果；
（Ⅱ）设直线的方程为，并代入抛物线，根据韦达定理和可解得，根据弦长公式可得，利用抛物线的定义可得，进一步可得的周长.
【详解】（Ⅰ）由抛物线可知，准线为，
设直线的方程为，则点的坐标为，
联立方程，消去后整理为，
又由，可得，
由点的坐标为，有，
解得或（舍去），
故直线的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，
点、的坐标分别为，，
联立方程，消去后整理为，
可得，，
又由，可得．
又由，，
可得
，
得（舍去）或．
由，可得，，
所以，
，
故的周长为．
【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的定义，韦达定理和弦长公式，考查了运算求解能力，属于中档题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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