资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
解析几何
专题三：圆锥曲线面积问题
一、必备秘籍
1、三角形面积问题：
直线方程：，，.
2、焦点三角形的面积：
直线过焦点的面积为，
.
注意：为联立消去后关于一元二次方程的二次项系数.
3、平行四边形的面积：
直线为，直线为，，
，
.
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
4、范围问题：
首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数，
均值不等式 ，变式：，
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值，
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”，
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）.
（2），当且仅当时，等号成立
（3），当且仅当时等号成立.
（4），当且仅当时，等号成立.
（5），当且仅当时等号成立.
二、例题讲解
（2021·广东高三月考）
1. 已知椭圆：的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为l的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为，求△的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据椭圆离心率、及所过的点，结合椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程.
（2）设，：，其线段中垂线为，联立椭圆方程并应用韦达定理求、，进而可得，由中点在中垂线上代入求参数b，进而求、到的距离，即可求△的面积．
【详解】（1）由题意，，解得，故椭圆的方程.
（2）令为，则中垂线方程为，
联立与椭圆方程得：，整理得，
若，则，，
∴，又在中垂线上，
∴，可得，即，，
∴，
又到的距离，
∴.
（2021·全国高三模拟预测）
2. 已知双曲线：的左 右焦点分别为，，虚轴上 下两个端点分别为，，右顶点为，且双曲线过点，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设以点为圆心，半径为2的圆为，已知过的两条相互垂直的直线，，直线与双曲线交于，两点，直线与圆相交于，两点，记，的面积分别为，，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由得，由双曲线过点得，两个方程联立求出和，可得双曲线的标准方程；
（2）设直线：，根据垂直关系得直线：，求出弦长和，求出，再根据参数的范围可求出结果.
【详解】（1）由双曲线的方程可知，，，，
则，.
因为，所以，即.①
又双曲线过点，所以.②
由①②解得，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设直线：，，，
则由，得直线：，即.
因为圆心到直线的距离，
所以，又，故.
联立消去得，
，
则，，
所以，
则，
又，所以.
即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：设直线：，用表示和是本题的解题关键.
（2021·浙江高三开学考试）
3. 如图，已知抛物线的焦点为，为轴上位于右侧的点，点为抛物线在第一象限上的一点，且，分别延长线段、交抛物线于、.
（1）若，求直线的斜率；
（2）求三角形面积的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由抛物线的焦点坐标求出的值，可得出抛物线的方程，设点，可知，求出、的纵坐标，利用斜率公式结合已知条件得出，可得出关于的方程，解出正数的值，进而可求得直线的斜率；
（2）求出点、的坐标，求得以及点到直线的距离，可求得的面积关于的表达式，利用基本不等式可求得面积的最小值.
【详解】（1），则，得，所以，抛物线的方程为，
设，点为抛物线在第一象限上的一点，故，
设点，由得，则，得，
所以，，直线的方程为，
联立，得，所以，，
进一步得，直线的方程为，
联立，得，
，则，
又，，
代入得，化简得：，
又，，即点，；
（2）由（1）知，，
，
直线的方程即为
所以点到直线的距离为，
，
当且仅当时，取到最小值.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
三、实战练习
（2021·江苏南京·高三月考）
4. 已知抛物线：与椭圆：（）有公共的焦点，的左、右焦点分别为，，该椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，若直线与轴，椭圆顺次交于，，（点在椭圆左顶点的左侧），且与互补，求面积的最大值．
【答案】（1）．（2）．
【解析】
【分析】（1）结合椭圆的焦点坐标和离心率，联立求解可得，，即得解；
（2）设直线为，与椭圆联立，转化与互补为，用坐标表示结合韦达定理可得，利用弦长公式和点到直线距离公式表示，结合均值不等式，即得解
【详解】（1）由题意可得，抛物线的焦点为，
椭圆的半焦距，又椭圆的离心率为，
，即，
，，即，
椭圆的方程为．
（2）设，，，，，
与互补，，
，化简整理，可得①，
设直线为，
联立直线与椭圆方程，化简整理，可得，
，可得②，
由韦达定理，可得③，
将，代入①，可得④，
再将③代入④，可得，解得，的方程为，
由点到直线的距离，
，
由②可得，，即，
设，令，，
令，
由均值不等式可知，，
当且仅当，即时等号成立，
当取最小值时，取最大值，即面积S最大，
，△面积S最大值为．
（2021·重庆市第十一中学校高三月考）
5. 已知椭圆的焦距为，其短轴的两个端点与右焦点的连线构成正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，当的面积最大时，求l的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题意知，，，结合，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线，，，联立，整理得，利用韦达定理，弦长公式结合的面积公式得到，利用换元结合基本不等式求解.
【详解】（Ⅰ）由题意知，，，
，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）当轴时不合题意，
由题意设直线，，．
联立，整理得．
当，即，且，．
从而．
又点O到直线MN的距离．
所以的面积．
设，则，．
因为，当且仅当，即时等号成立，且满足．
所以，当的面积最大时，直线的方程为或．
【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
（2021·全国高三月考）
6. 已知椭圆的左 右焦点分别是和，点在椭圆上，且的周长是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为椭圆上三点，若有，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题设条件和椭圆的定义得到，求得，得到，进而求得，即可求得椭圆的方程；
当直线斜率存在时，设方程为：，联立方程组求得，根据，求得，结合点到直线的距离公式和面积公式，求得；当直线斜率不存在时，得到直线AB方程为，求得，即可求解.
【详解】（1）由题意，双曲线的焦点和，可得，
因为的周长是，可得
所以，即，可得，
又由，
所以椭圆的方程是.
当直线斜率存在时，设方程为：，，
联立方程组，整理得，
则
由，可得，
又由，可得
所以，
将代入椭圆方程可得，整理得，
又到直线的距离为，
则，
又由，可得点为的重心，所以；
当直线斜率不存在时，根据坐标关系可得，直线AB方程为，
可得，所以，
所以，
综上可得：.
【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
（2021·榆林市第十中学高三月考（理））
7. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，，当在上且垂直轴时，.
（1）求的标准方程；
（2）为的左顶点，为的上顶点，是上第四象限内一点，与轴交于点，与轴交于点.
（i）证明：四边形的面积是定值.
（ii）求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）由通径长公式得，结合椭圆定义可得关系，再由求得，得椭圆方程；
（2）（i）由题意知，，设，，，由三点共线把用表示，然后计算四边形面积可得结论；
（ii）由（i）只要面积最大即可，求出椭圆的与平行的切线方程，切点即为（注意有两个切点，需要确定其中一个），从而得面积最大值．
【详解】解：（1）由题意知，，，则，
得，又，，解得，
所以的标准方程是.
（2）（i）由题意知，，设，，，
因为，，三点共线，则，解得，
，，三点共线，则，解得，
，，，
.
.
（ii）因为，
所以当最大时，最大.
，设与平行的直线，
与联立，消得，
，解得，（舍去），
两平行线，间的距离，
，则.
（2021·山西祁县中学高三月考（理））
8. 在平面直角坐标系中，已知，动点到直线的距离等于.动点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知，过点的动直线与曲线交于，两点，记和的面积分别为和，求的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为3.
【解析】
【分析】（1）设点，直接把题意翻译成关于x，y的方程，化简即可得到曲线C的方程；
（2）由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为，， ，
将直线l与曲线C的方程联立，表示出，再利用基本不等式即可求得其最大值.
【详解】（1）设点，
当时，到直线的距离显然小于，故不满足题意；
故（），即，
整理得，即，
故曲线的方程为；
（2）由题意可知直线的斜率不为0，
则可设直线的方程为，，，
联立，整理得，显然成立，
所以，，
所以，
故，
设，，则，
则，
因为，所以（当且仅当时，等号成立）.
故，
即的最大值为3.
（2021·西藏拉萨中学高三月考（理））
9. （1）一动圆过定点，且与定圆相切，求动圆圆心的轨迹E的方程．
（2）直线l经过点A且不与x轴重合，l与轨迹E相交于P、Q两点，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）3.
【解析】
【分析】（1）设动圆圆心为，半径为R．由与定圆相切，且点A的圆C内，由，即，利用椭圆的定义求解；
（2）设l的方程为：，代入，由，结合韦达定理求解.
【详解】（1）设动圆圆心为，半径为R．
定圆C的圆心，半径为4. 点A的圆C内．
，
且 ，
轨迹E是以C、A为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以椭圆方程为：.
（2）设l的方程为：，代入，
得，
设，
则，，
，
，
令，
则
在为增函数
，即时，取最大值3.
（2021·山东高三模拟预测）
10. 已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线的方程；
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，可得，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，再由直线与双曲线的右支交与两点，可得，则，代入上式化简可求得结果
【详解】解：（1）由题意得，，
解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，
设，，
联立，整理可得
，
所以
所以
直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以，设，
所以
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出，再结合，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题
（2021·全国高三专题练习）
11. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若的面积为，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）和．
【解析】
【分析】
（1）根据焦点坐标，可得，所以，代入双曲线方程，可得，将P点坐标代入，即可求得a值，即可得答案；
（2）设直线的方程为，与双曲线C联立，可得关于x的一元二次方程，利用韦达定理，可得的表达式，代入弦长公式，即可求得，根据点到直线的距离公式，可求得原点到直线l的距离d，代入面积公式，结合题意，即可求得k的值，即可得答案.
【详解】（1）依题意，，所以，
则双曲线的方程为，
将点代入上式，得，
解得(舍去)或，
故所求双曲线的方程为．
（2）依题意，可设直线的方程为，代入双曲线的方程并整理，得．
因为直线与双曲线交于不同的两点，
所以，解得．(*)
设，则，
所以．
又原点到直线的距离，
所以．
又，即，
所以，解得，满足(*)．
故满足条件的直线有两条，其方程分别为和．
【点睛】解题的关键是熟练掌握弦长公式、点到直线的距离公式等知识，并灵活应用，易错点为：解得k值，需检验是否满足判别式的条件，考查计算化简的能力，属中档题.
（2021·全国高三专题练习）
12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，．
（1）求与双曲线C有共同渐近线且过点的双曲线标准方程；
（2）若P是双曲线C上一点，且，求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设所求双曲线方程为，代入点，求得k值，即可得答案；
（2）不妨设P在C的右支上，根据双曲线定义，可得，根据方程可得的值，在中，利用余弦定理可得的值，代入面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）因为所求双曲线与共渐近线，
所以设该双曲线方程为，
又该双曲线过点，
所以，解得k=-2，
所以所求双曲线方程为：
（2）不妨设P在C的右支上，则，，
在中，，
解得，
所以的面积
【点睛】解题的关键是：掌握共渐近线的双曲线方程的设法，即与共渐近线的方程可设为：；与共焦点的方程可设为：，再代入点求解即可，考查分析计算的能力，属中档题.
（2021·浙江高三开学考试）
13. 已知抛物线：和椭圆：，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，线段的中垂线交椭圆于，两点．
（1）若恰是椭圆的焦点，求的值；
（2）若恰好被平分，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，再根据恰是椭圆的焦点，即可得出答案；
（2）设直线：，，联立，求得的中点坐标，根据因为恰好被平分，则直线的斜率等于，再根据点差法求得直线的斜率，求得，根据由的中点在椭圆内，求得p的最大值，从而可求得面积的最大值．
【详解】解：（1）在椭圆中，，所以，
因为恰是椭圆的焦点，
所以，所以；
（2）设直线：，，
联立，得，
则，则，
故的中点坐标为，
又因为恰好被平分，则，，
直线的斜率等于，
将M、N的坐标代入椭圆方程得：
，，
两式相减得：，
故，
即直线的斜率等于，
所以，解得，
由的中点在椭圆内，得，解得，
因为，所以的最大值是2，
，
则面积，
所以，当时，面积的最大值是．
（2021·普宁市第二中学高三月考）
14. 在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．
（1）求抛物线的准线方程；
（2）求，求证：直线恒过定点；
（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．
【答案】（1）准线方程：；（2）直线恒过定点，证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由焦点在轴正半轴上，且，即可得准线方程；
（2）设直线方程为，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得的值，即可得所过的定点；
（3）设的方程为，，，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求、两点坐标，由两点间距离公式求、的长，再计算，由基本不等式求最值即可求解.
【详解】（1）由可得：，焦点为，所以准线方程：，
（2）设直线方程为，，
由得，
所以，，
，
即，解得：
所以直线过定点
（3），由题意知直线、的斜率都存在且不为，
设直线的方程为，，，
则直线的方程为，
由得，
所以，，
所以，，所以
用替换可得，，所以，
所以
，当且仅当即时，等号成立，
所以的面积取最小值．
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑