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立体几何
专题一：立体几何求体积
一、必备秘籍
1．等积变换法
等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积.
2.割补法
割补法的思想是：通过分割或补形，将原几何体分割或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积.
3.向量法
如图，平面的斜线交平面于点，向量是平面的法向量，设点到平面的距离为设，则，，则.
二、例题讲解
（2021·陕西宝鸡·高三月考（文））
1. 如图（1）所示，已知正方形的边长为2，延长，使得M为中点，连结．现将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图（2）所示．
（1）求证：平面；
（2）求几何体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）借助题设条件运用面面垂直的性质定理进行推证；
（2）根据，利用等体积法求解即可.
【详解】解：（1）∵由图（1）可知，
∴，∴
又∵平面平面，平面平面平面
∴平面
（2）∵由（1）可知，平面，
则即为几何体的高
感悟升华（核心秘籍） 等体积法注意选择能便捷求底面积，求高要先分析换哪个点当顶点，才能便捷求高.
（2021·四川攀枝花·高三三模（文））
2. 如图，三棱锥中，面，△为正三角形，点在棱上，且，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，，．
（1）求证：；
（2）求几何体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据、分别是棱、的中点得到，进一步证明，从而得证；
（2）分别求出和，进一步得到答案.
【详解】证明：（1）∵、分别是棱、的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴，则；
（2）∵△为正三角形，且边长为6，面，，
∴，
又，∴，到的距离为，
则，
到平面的距离为到平面距离的一半，为．
∴，
则．
【点睛】求组合体的体积，要利用到割补法的思想，求三棱锥的体积时要利用等体积法的思想更换顶点，这样会轻松一点.
感悟升华（核心秘籍） 求组合体体积，善于利用到割补法的思想；
（2022·全国高三专题练习）
3. 在五面体中，四边形为正方形，平面平面，，，.
（1）若平面平面，求的长；
（2）在第（1）问的情况下，过点作平行于平面的平面交于点，交于点，求三棱柱的体积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）证明出平面，然后以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，计算出平面和平面的法向量、的坐标，由已知条件得出，求出的值，即可得解；
（2）计算出点到平面的距离，以及的面积，利用柱体的体积公式可求得三棱柱的体积.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，平面，
又，以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则、、、、，，，，，
设平面的法向量为，设平面的法向量为，
由，取，可得，
由，取，可得，
因为平面平面，则，所以，，，解得；
（2）若，则由（1）可知平面的一个法向量为，
因为、，，
所以，点到平面的距离为，
又因为平面平面，平面平面，，平面，平面，
平面，，
在梯形中，，则，
所以，直角的面积为，
所以.
感悟升华（核心秘籍） 向量法求解的实际上是几何体的高，这个是求高的另一种途径，此法注意公式的记忆，计算的准确.
三、实战练习
（2021·浙江高三月考）
4. 如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，在梯形ABEF中，，，，平面平面ABCD．
（1）证明：平面AFC；
（2）若多面体ABCDEF的体积为，为锐角，求的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】由已知结合面面垂直的性质得面ABCD，则，再由四边形ABCD为菱形得，由直线与平面垂直的判定得平面AFC；
应用组合体的体积求出A到线段CD的距离，求解直角三角形可得的大小．
【详解】平面平面ABCD，，平面ABEF，平面平面，
平面ABCD，又平面ABCD，
，又四边形ABCD为菱形，即，且，
平面AFC；
该几何体由三棱锥与四棱锥组合而成，
由，，得，又面面ABCD，
到AB的距离等于C到平面ABEF的距离．
设A到CD的距离为d，则C到AB的距离也是d，又，多面体ABCDEF的体积为，
，解得，
∴，又为锐角，得．
（2021·江西南昌·高三开学考试（文））
5. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，为等边三角形，E为PC中点，平面平面ABCD．
（Ⅰ）求证：平面ABCD；
（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）证得平面ABCD，结合即可得出结论；
（Ⅱ）首先求出三棱锥的体积，进而根据即可求出结果.
【详解】（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接PO、EO，
因为为等边三角形，所以，
因为底面ABCD为正方形，所以，
因为，所以平面PAC，
所以，因为平面平面ABCD，
所以平面ABCD，
因为E为PC中点，所以，则平面ABCD．
（Ⅱ）因为，所以，，
由（Ⅰ）知，得，
所以，
又E为PC的中点，
所以．
（2021·安徽安庆·高三月考（文））
6. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，.
（1）证明：；
（2）若，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，结合已知条件可得，，即可证明面，即可求证；
（2）结合（1）知面，所以三棱锥的高为，根据已知条件证明，可求出，利用即可求解.
【详解】
（1）连接交于点，连接，因为底面是菱形，
所以，，又因为，所以，
而，所以面，又因为平面，
所以.
（2）由（1）知面，所以三棱锥的高为，
因为底面是边长为2的菱形，，所以，，
所以.因为，所以，
在中，，，，所以，
所以，
又因为，所以，
所以.
（2021·江西高三月考（文））
7. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点，AC=BC=3，AB=3，AA1=6．
（1）求证：AC1//平面CDB1；
（2）求点C1到平面CDB1的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)2.
【解析】
【分析】(1)连接BC1交B1C于点E，连接DE，证明DE//AC1即可作答；
(2)在三棱锥C1-CDB1中，利用等体积法即可得解.
【详解】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，连接BC1交B1C于点E，连接DE，如图，
显然四边形BCC1B1是矩形，则E是BC1中点，而D是AB的中点，
于是得DE//AC1，又平面，平面，
所以AC1//平面CDB1；
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=3，AB=3，则，即，
而D是AB的中点，则，
又，，
，即，面积，
显然，而，平面BCC1B1，于是得平面BCC1B1，
点A到平面BCC1B1的距离为AC=3，点D是平面BCC1B1的斜线段BA的中点，从而得点D到平面BCC1B1的距离为，
的面积，三棱锥的体积，
设点C1到平面CDB1的距离为h，由，即，亦即，解得，
所以点C1到平面CDB1的距离为2.
（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））
8. 长方体中，，，是上底面内的一点，经过点在上底面内的一条直线满足．
（1）作出直线，说明作法（不必说明理由）；
（2）当是中点时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）作图见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）在上底面过点作直线即可；
（2）连接，，，,交于点，则，易得平面，然后由求解.
【详解】（1）如图，连接，在上底面过点作直线；
（2）连接，，，，若交于点，则，，
在该长方体中有底面，
所以，又，
所以平面，
即是三棱锥的高，
所以.
（2021·浙江高三专题练习）
9. 如图，平面平面，其中为矩形，为直角梯形，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）作于，利用已知条件证明，再利用面面垂直的性质定理即可求证；
（2）先证明平面，利用三棱锥的体积可求出的长，进而可得的长，点到平面的距离为，由即可求解.
【详解】（1）作于，
因为，.
所以可得，
因为，所以，所以.
所以，即
因为面面，面 面，面
所以面.
（2）因为平面平面，，
面面，面
所以平面，，
，
所以，因为，所以，
因为平面，面，所以，
所以，
设点到平面的距离为，
由可得，可得，
所以点到平面的距离为
（2021·四川成都·高三其他模拟（文））
10. 如图，在四棱锥中，，，为棱的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，试求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，通过构造平行四边形得到，进而得出结果；
（2）通过勾股定理得出，由面面垂直性质定理得出平面，最后根据得结果.
【详解】（1）如图，取中点，连接，．
在中，为的中点，为的中点，
为的中位线
，
又，，
且．
四边形为平行四边形．
．
又平面，平面，
平面．
（2），，
在中，，
在直角梯形中，易得
在中，，，
．
平面平面，
平面平面，
平面．
平面
在中，，，
．
（2021·全国高三模拟预测（文））
11. 如图，在多面体中，四边形为菱形，四边形为正方形，，，点为中点，点为中点.
（1）求证：平面平面且；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面平面，再根据面面垂直的性质定理，证得，得到平面平面，证得平面，得到，再由，证得平面，即可证得；
（2）证得平面，得到三棱锥的高，利用，即可求解.
【详解】（1）因为四边形为正方形，所以，
由，，可得，所以，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
由是正三角形，因为点为中点，所以，
又由平面，且平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为四边形为正方形，点为中点，点为中点，
所以，.
因为，所以，从而，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）由四边形为正方形，所以，且平面，
因为平面平面，可得平面，
可得三棱锥的高，
因为，，所以，
又由，
所以的面积，
所以.
（2021·陕西（文））
12. 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若为等边三角形，求三棱锥的体积.
【答案】（）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，由，分别为，的中点，得，再由线面平行的判定定理即可证明所证；
（2）如图建系，利用向量法求出点到平面的距离，再由，从而得出答案.
【详解】解：
（1）证明：连接，
因为，分别为，的中点，
所以，
又因平面，
所以平面；
（2）取的中点，连接，因为为等边三角形，所以，
所以，
如图以为原点，为轴，过作平面的垂线轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设平面的一个法向量，
则即，
令，则，，
所以，
则点到平面的距离，
又，
所以.
（2021·新疆高三模拟预测（文））
13. 如图所示，四棱锥中，菱形所在的平面，，点 分别是 的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质易得，由线面垂直的性质有，根据线面垂直、面面垂直的判定即可证平面平面；
（2）由多面体由构成，即，利用三棱锥的体积公式即可求体积.
【详解】（1）连接，由底面为菱形，，
∴△是正三角形，又是的中点，
∴，又，
∴，
∵平面，平面，
∴，又，
∴面，又面，
∴平面平面.
（2）∵，
而，，
∴.
【点睛】关键点点睛：
（1）利用菱形的性质证线线垂直，线面垂直的判定及性质证线面垂直.
（2）将多面体拆分为两个三棱锥，即可求体积.
（2021·千阳县中学高三模拟预测（文））
14. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，为正三角形，且侧面底面，E为线段的中点，M在线段上．
（1）求证：；
（2）当点满足时，求多面体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三线合一可证明，再由面面垂直的性质定理可证明平面，证明得；
（2）根据，分别求解，，即可得多面体的体积.
【详解】（1）证明：因为为正三角形，
E为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又因为平面，所以．
（2）由已知得，
而，.
所以；；
所以．
【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的性质和多面体几何体的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理进行证明。
（2021·全国高三专题练习（文））
15. 在如图所示的空间几何体中，平面平面，与均是等边三角形，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上．
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，先证明平面，再证明即可；
（2），分别计算，然后相加即可.
【详解】
证明：（1）取中点，连接.
由题意，为的平分线，且.
设点是点在平面上的射影，
由已知得，点在上，连接，则平面.
平面平面，平面平面，，
平面，同理可得平面，
又平面，
.
和平面所成的角为，即，
，
四边形为平行四边形，，
平面.
（2），
，
又面，，
，
，
.
【点睛】（1）证明空间几何的垂直和平行可以根据结论反向推理；
（2）求空间组合体体积的割补法，如空间几何体是组合体，可通过割补法进行计算.
（2021·全国高三月考（文））
16. 如图，已知直三棱柱的底面为正三角形，侧棱长都为4，、、分别在棱、、上，且，，，过，的中点，且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一个中截面．
（1）证明：中截面是梯形；
（2）若直线与平面所成的角为45°，求多面体的体积．
【答案】（1）证明见解析：（2）．
【解析】
【分析】（1）通过证明且证明截面是梯形；（2）由直线与平面所成的角为45°，可求出，解法一：将所求多面体的体积拆成两个棱锥的体积：分别计算求和；解法二：所求多面体的体积为原三棱柱体积的一半，求出棱柱的体积即可求出所求多面体的体积.
【详解】（1）证明：依题意，
又，，，
因此四边形，均是梯形，
由平面，平面，且平面平面，
可得，即．
同理可证，所以．
又，分别为，的中点，
则，，，分别为，，，的中点，
即，分别为梯形，的中位线．
因此，，
故，所以中截面是梯形．
（2）解法一：由直线与平面所成的角为45°，
过作的平行线交于点，则，
故，所以底面正三角形的边长为2．
多面体的体积
．
解法二：由直线与平面所成的角为45°
过作的平行线交于点H，则，
故，所以底面正三角形的边长为2．
直三棱柱的体积为．
由对称性知，多面体的体积为直三棱柱的体积的一半，
故．
【点睛】思路点睛：（1）证明截面为梯形，需证明两条对边平行且不相等；（2）求多面体的体积经常将所求多面体拆成可求的棱锥或棱柱的组合体.
（2021·山西阳泉·高三期末（文））
17. 如图，在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点.
（1）求证：；
（2）求四面体的体积.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，
（1）求出的坐标后利用它们的数量积为0可证.
（2）求出平面的法向量后可求到平面的距离，从而可求四面体的体积.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
（1），，
故，故.
（2），
设平面的法向量为，则
，取，则，故.
又，故到平面的距离，
又，，故，
故四面体的体积为.
【点睛】方法点睛：利用空间向量求点到平面的距离时，注意先求平面的法向量以及斜线的方向向量，再利用公式可求距离.
（2021·华东师范大学第三附属中学）
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，、与平面所成的角依次是和，，、依次是、的中点；
（1）求直线与平面所成的角的正弦值；
（2）求三棱锥的体积；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出的坐标以及平面的法向量，计算的值即可求解；
（2）利用线面平行的判定定理证明面，由三棱锥等体积即可求解.
【详解】（1）分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
因为平面，
所以、即为直线、与平面所成的角，
所以，，可得，
所以，，，，，
所以，，
又因为面 ，面，
所以面面，因为面面，
，面，
所以平面，
所以平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
；
（2）因为、依次是、的中点，所以，
因为，所以，
因为面，面，可得面，
连接，可得，
，
所以三棱锥的体积为.
（2016·上海嘉定·（理））
19. 已知是底面边长为的正四棱柱，是和的交点.
（1）若正四棱柱的高与底面边长相等，求二面角的大小正切值；
（2）若点到平面的距离为，求正四棱柱的高.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意，正四棱柱是棱长为1的正方体，连结，则是二面角的平面角，在中求即可求解；
（2）设正四棱柱的高为，如图建立空间直角坐标系，求出各点坐标以及平面一个法向量为，利用点到平面的距离为列方程，解方程即可求解.
【详解】（1）由题意，正四棱柱是棱长为的正方体，
连结，因为，为的中点，所以，
又，所以是二面角的平面角.
因为平面，所以，
在 中，，，
所以；
（2）设正四棱柱的高为.
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面一个法向量为，
由，取，得，
所以，　
所以点到平面的距离为，　
解得：.　　
所以正四棱柱的高为.
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