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立体几何
专题二：异面直线所成角
一、必备秘籍
两条异面直线所成的角．
①定义：设是两条异面直线，过空间任一点作直线，，则与所夹的锐角或直角叫做所成的角．
②范围：两异面直线所成角的取值范围是．
③向量求法：设直线的方向向量分别为，，其夹角为，则有.
二、例题讲解
（2021·海原县第一中学高三二模（理））
1. 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，并且，，底面，已知，四边形的面积为.
（1）证明：直线平面；
（2）点为棱的中点，当直线与平面所成的角为时，求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）本题首先可根据四边形的面积为得出，然后过点作于点，根据勾股定理得出，再然后通过底面得出，最后通过线面垂直的判定即可得出结果；
（2）本题首先可以构建空间直角坐标系，然后得出，，最后通过即可得出结果.
【详解】（1）因为四边形的面积为，所以，解得，
如图，过点作于点，则，，
因为，所以，
因为底面，底面，所以，
因为，所以直线平面.
（2）因为底面，所以为在平面内的投影，
故即为直线与平面所成的角，，
因为，所以，
因为，所以，
如图，作空间直角坐标系，
则，，，，
，，
则，
故直线与所成角的余弦值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定以及异面直线所成角的求法，若平面外一条直线垂直平面内两条相交直线，则线面垂直，考查勾股定理与空间直角坐标系的应用，考查线面角的相关性质，考查数形结合思想，是中档题.
感悟升华（核心秘籍） 异面直线所成角是比较简单考点，计算时还是需要注意向量计算准则，最后求值特别注意问题问的是正弦，余弦，还是正切.
三、实战练习
（2021·全国高三模拟预测）
2. 直角梯形绕直角边旋转一周的旋转的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，且二面角为，，分别在线段，上．
（Ⅰ）若，分别为，中点，求与所成角的余弦值；
（Ⅱ）若为上的动点、为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），．
【解析】
【分析】（Ⅰ）设出圆台上、下底面半径，求出圆台高，再利用直二面角建立合适的空间直角坐标系，即可求解；（Ⅱ）取的中点，连接，，，由线线平行与线面垂直性质，即可求解最大值，再利用空间向量法即可求解二面角的余弦值．
【详解】（Ⅰ）设圆台上、下底面半径分别为，．
∵，∴；∵，∴．
∵，∴．
过点作于点，则，
，∴圆台的高为．
∵二面角是直二面角，
∴建立空间直角坐标系如图所示，
点，，，，，
∴，
∴与所成角的余弦值为．
（Ⅱ）取的中点，连接，，，
∴，则．
∵平面，∴平面，
∴为直线与平面所成角，，
当时，最小，最大．
在中，，，，，
，即与平面所成最大角的正切值为．
又点，，，，
设点，平面的法向量，，，即，∴，
则，，，即，
解得，．
即令得．
易知平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则．
由图易得二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为．
【点睛】本题考查了立体几何中线线角、线面角以及二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于建立空间直角坐标系，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
（2021·江苏扬州中学高三模拟预测）
3. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，为的中点，点在棱上，且．
（1）求直线与直线所成角的余弦值；
（2）当直线与平面所成的角最大时，求此时的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值．
（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出的值．
【详解】（1）如图，以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
∴，
∴与所成角的余弦值为．
（2）点在棱上，且，∴，
∴，，
又，．
设为平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成的角为，
则
，
令，则，
∴，
当，即时，有最小值，此时取得最大值为，
即与平面所成的角最大，此时，即的值为．
（2021·天津北辰·高三模拟预测）
4. 如图，在三棱柱中，四边形为矩形，且，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直性质可证得平面，从而得到；利用勾股定理可证得，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）取中点O，中点，由面面垂直性质可证得平面，则以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果；
【详解】（1）四边形为矩形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
又，，，，
又平面，，
平面；
（2）取中点O，中点，连接，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面；
又，，，
则以O为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
异面直线与所成角的余弦值为.
（2021·北京二中高三模拟预测）
5. 如图1，在直角梯形中，，，，，为对角线的中点.现将沿折起到的位置，使平面⊥平面，如图2.
（1）求证：直线⊥平面；
（2）求异面直线和所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理进行证明；
（2）建立空间直角坐标系，以方向为轴，以垂直方向为轴，以方向为轴，利用向量法求异面直线和所成角的余弦值.
【详解】（1）因为平面平面，且平面平面，
又由图1可知且为中点，所以，
又平面，所以平面；
（2）建立空间直角坐标系，以方向为轴，以垂直方向为轴，以方向为轴，如下图所示：
由图1可知为等腰直角三角形，所以，
所以为等腰直角三角形，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以异面直线所成角的余弦值为.
（2021·江西高三三模（理））
6. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【解析】
【分析】（1）证明，利用面面垂直的性质可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；
（2）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，根据可得出，求出的值，利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值.
【详解】（1）为的中点，且，则，
又因为，则，故四边形为平行四边形，
因为，故四边形为矩形，所以，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
因为平面，因此，平面平面；
（2）连接，由（1）可知，平面，，为的中点，则，
以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则、、、、，
设，
,
因为，则，解得，
，
，则.
因此，直线与所成角的余弦值为.
（2021·浙江高三期末）
7. 如图，在四棱中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，
（1）求与平面所成角的余弦值；
（2）点Q是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，是平面的一个法向量，再由向量计算可得正弦，从而得解；
（2），则可用表示，再用表示所成角的余弦值，利用二次函数的性质可得何时取最小值.
【详解】以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系如图，
由题可知.
（1）∵平面，∴是平面的一个法向量，
，
设与平面所成角为，
，
∴与平面所成角的余弦值为，
（2），设，
又，则，
又，从而，
设，
则，
当且仅当，即时，
的最大值为，
因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值.
又.
【点睛】方法点睛：利用空间向量计算角、长度时，需要根据题设条件合理建立空间直角坐标系，从而把空间角的计算归结为方向向量或法向量的夹角的计算，对于动点坐标的计算，也要作合理的假设.
（2021·上海市大同中学高三三模）
8. 如图，在直三棱柱中，，，点 分别为 的中点，与底面所成的角为.
（1）求异面直线与所成角的大小余弦值；
（2）求点与平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知求得，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求出、的坐标，由两向量所成角的余弦值求解异面直线与所成角的大小；
（2）求出平面的法向量及，由向量法求点与平面的距离．
【详解】解：（1）平面，为与底面所成角，
即，．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，0，，，1，，
则，1，，，
设异面直线与所成角的大小为，
，
则异面直线与所成角的大小为；
（2）设平面的法向量为，
由（1）知，，，
由，取，得．
又，
点与平面的距离．
（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高三三模）
9. 如图，在多面体中，四边形是正方形，平面，，，·
（1）求证：平面.
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
（3）若点是线段上的一个动点，试确定点的位置，使得二面角的余弦值为.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）位于点.
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系.
（1）求出平面的法向量，再根据数量积的运算即可证明；
（2）利用夹角公式可求得；
（3）设，再求平面的法向量，利用夹角公式可求得建立方程可求得结果.
【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
（1）证明：，，，
设平面的法向量为，则
∵，令得，
∴，又平面，
∴平面.
（2），，
∴，
设异面直线与所成角为.则，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
（3）设，则，
设平面的法向量为，则，
∴，令得，
，
解得或（舍）.
∴当位于点时，二面角的余弦值为.
（2021·山西晋中·高三三模（理））
10. 在三棱锥中，，分别是棱，上的点，且平面．
（1）求证：平面；
（2）若平面，，，二面角的平面角的余弦值为，求直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由线面平行的性质得到即可；
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，算出平面和平面的法向量，然后可求出，然后可算出答案.
【详解】（1）因为平面，平面，平面平面
所以
因为平面，平面，所以平面
（2）因为平面，，
所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
设，则
所以，，
设平面的法向量为
则，即，所以可取，即
设平面的法向量为
则，即，所以可取
因为二面角的平面角的余弦值为，
所以，即，解得，所以
所以
所以直线与所成角的余弦值为
（2021·天津静海一中高三月考）
11. 如图，在三棱柱中，平面，，，侧棱，是的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与所成角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）以点C为坐标原点建系如图，易得，因此；
（2）将向量和代入夹角公式，即可求得直线与所成角的余弦值；
（3）先求出二面角两个半平面的法向量，由夹角公式可得二面角的余弦值，进而可得其正弦值.
【详解】（1）证明：依题意，以点C为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系
则，，，，，．
所以，，
所以，
所以，即．
（2）解：由（1），得，，
所以，，
所以．
即所求直线与所成角的余弦值为．
（3）解：依题意及（1），得．
设平面的法向量为，
则即
令，得，，所以
由（1）及题意知，平面，
所以平面的法向量是
所以，，．
所以
设二面角的平面角为，由于，
所以，
故所求二面角的正弦值为．
【点睛】方法点睛：本题考查了立体几何中的线线角和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；对于立体几何中二面角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
（2021·海南高三模拟预测）
12. 如图，在三棱柱中，底面，，，，．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）设为的中点，在平面内找一点，使得平面，求点到平面和平面的距离．
【答案】（1）；（2）到平面的距离为，到平面的距离为1．
【解析】
【分析】（1）根据题设可知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．根据异面直线所成的角的空间向量求解方法可求得直线与所成角的余弦值；
（2）设点坐标为，根据线面垂直的坐标表示可求得点的坐标，从而求得距离．
【详解】解：（1）根据题设可知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
所以，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为．
（2）由条件知．因为点在平面内，可设其坐标为，则．
因为平面，所以，，
由坐标系可得，，
所以解得，，
所以点，其到平面的距离为，到平面的距离为1．
【点睛】关键点点睛：利用法向量求解空间线线角，以及得出空间线线关系，线面关系等的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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