资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
三角函数与解三角形
专题一：三角函数的图象与性质
高考在三角函数图象与性质的考查力度上近几年有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质．其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主．主要考查数学抽象、数学运算和逻辑推理素养．在解题过程中，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．
一、必备秘籍【背记重点】
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域
值域 R
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心
对称轴方程 无
2．三角函数的周期性
（1）函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为，函数()的最小正周期．
（2）函数的最小正周期．应特别注意函数的周期为．函数()的最小正周期均为．
（3）函数的最小正周期．应特别注意函数|的周期为，函数() 的最小正周期均为．
3．三角函数的奇偶性
（1）函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
（2）函数是奇函数 ()，是偶函数 ()；
（3）函数是奇函数 ()．
4．三角函数的对称性
（1）函数的图象的对称轴由 ()解得，对称中心的横坐标由()解得；
（2）函数的图象的对称轴由 ()解得，对称中心的横坐标由()解得；
（3）函数的图象的对称中心由)解得．
5、辅助角公式：，（其中）；
6、降幂公式：
二、例题讲解
（2021·浙江高考真题）
1. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
（2015·湖北高考真题（理））
2. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
5
0
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：
0
0
5
0
0
且函数表达式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得．
因为的对称中心为，．
令，解得，．
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，．由可知，当时，取得最小值．
考点：“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．
视频
（2021·黑龙江哈尔滨三中高三其他模拟（文））
3. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简的解析式，由此求得函数的最小正周期．
（2）由，可得，利用正弦函数的图象和性质，可求得的值域．
【详解】（1）由题意，
所以的最小正周期为．
（2）由题意，
故当，即时，；
当，即时，
所以．
（2020·北京海淀香山中学）
4. 已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.
【详解】（Ⅰ），
所以的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.
因为，所以.
要使得在上的最大值为，
即在上的最大值为1.
所以，即.
所以的最小值为.
点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.
（2021·上海杨浦区·复旦附中高一期中）
5. 已知函数的部分图像如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数零点与函数周期的关系，结合正弦型函数的最小正周期公式、特殊值法进行求解即可；
（2）根据两角和的正弦公式、降幂公式，结合辅助角公式和正弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】（1）由图可得，∴，，
∴，则，
又，解得，
∵，∴，∴；
（3）
.
∵，∴，则当时，取得最小值为0，
当时，取得最大值为，的取值范围为.
（2021·建平县实验中学高一月考）
6. 函数，已知该函数相邻两条对称轴之间的距离为，最大值与最小值之差为4，且对于任意的都有.
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的减区间；
（3）当时，恰有两个不等的实根，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的对称轴与最小正周期的关系，结合正弦型函数的最值性质、函数最大值的性质进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；
（3）根据正弦型函数的单调性，结合换元法进行求解即可.
【详解】（1）因为，最大值与最小值之差为4，所以有，
因为该函数相邻两条对称轴之间的距离为，所以该函数的最小正周期为：，
因为，所以有，即，
因为对于任意的都有，所以当时，该函数有最大值，最大值为2，因此有，
因为，所以令，，因此；
（2）当时，
即当时，函数单调递减，因为，所以令，即，
因此在区间上的减区间为：；
（3）因为，所以令，所以问题转化为，函数有两个不等实根，
当时，函数单调递增，函数值域为： ，
当时，函数单调递增，函数值域为： ，
当，函数单调递减，函数值域为： ，
因此要想，函数有两个不等实根，只需.
三、实战练习
（2021·广东茂名市·高一期末）
7. 设函数，，
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）当时，的最小值为0，求实数m的值.
【答案】（1），增区间为；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的和差角公式化简为
，运算即得解；
（2）由，可得，当或，取最小值为，即得解
【详解】（1）
最小正周期
由
∴
∴的增区间为
故答案为：
（2）当，
当或即或时，取最小值为
由 ∴
故答案为：
【点睛】本题考查了三角函数的周期、单调性及最值问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
（2021·浙江高三开学考试）
8. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数（）在上有两个零点，求m的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】（1）函数的单调递增区间即是函数的单调递减区间，由，解不等式即可求解；
（2）函数（）在上有两个零点，即是函数，的图像与直线有两个交点，数形结合即可求解.
【详解】解：（1），
，
函数的单调递增区间即是函数的单调递减区间，
由，得，，
所以单调增区间为，.
（2）记，函数（）在上有两个零点，即是函数，的图像与直线有两个交点，
由（1）的解答知，故，
所以，
∵，
∴，
所以的图像如图所示：
数形结合，可知.
（2021·定远县育才学校高一期中（理））
9. 已知函数，其图象过点.
（1）求的值；
（2）将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为和.
【解析】
【分析】(1)根据三角恒等变换得,再待定系数法得；
（2）根据三角函数平移变换得，再根据整体代换思想求解函数的最值即可.
【详解】（1）因为，
所以
.
又函数图像过点，
所以，即.
又，所以.
（2）由（1）知，，
将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，可知，
因为，所以，
因此，故.
所以
所以在上的最大值和最小值分别为和.
视频
（2021·防城港市防城中学高一期中）
10. 已知函数，其中，，，若的图像相邻两最高点的距离为，且有一个对称中心为．
（1）求和的值；
（2）求的单调递增区间；
（3）若，且方程有解，求k的取值范围．
【答案】（1）；；（2）答案见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用周期求，把代入求出；
（2）对a分类讨论，利用复合函数单调性法则列不等式，求出单增区间；
（3）先求出若时，的值域，即可求出k的范围.
【详解】（1）依题可得：∵，∴
又函数图像的一个对称中心为，
所以，∴，，
又，∴
（2）由（1）知
当时，由，得，
得函数单调递增区间为
当时，由，得，
得函数单调递增区间为
（3）若，
由得，，
要在时有解，则．
（2020·江苏省姜堰第二中学高一月考）
11. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最值并求出相应的值．
【答案】（1）；（2），1；，.
【解析】
【分析】（1）结合五点法，由最大值最小值求得，由周期求得，由点的坐标求得，得解析式；
（2）由图象平移写出的表达式，然后由正弦函数性质求得最值．
【详解】解：（1）由图象可知，所以
所以，将代入可得，
所以
（2）
因为，所以，
当，即，1；
当，即，
（2021·奉新县第一中学高一月考）
12. 已知函数（其中A，，，B均为常数，，，）的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式及其递增区间；
（2）若先将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求实数的最小值.
【答案】（1）；递增区间为：；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据图象可得函数的解析式为，再解不等式，即可得到答案；
（2）由题意，，由是偶函数，得，，从而求得答案；
【详解】（1）由图可知：
，，，
所以，所以，所以.
由，得，，
所以，，
因为，所以.所以.
递增区间为：.
（2）由题意：
，
因为是偶函数，所以，，
所以，，
因为，所以当时，m的最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑