资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台三角函数与解三角形专题三:解三角形(周长问题)解三角形是高中数学教学中的一个重要内容,也是高考的热点之一.解三角面积或者周长最值问题,由于涉及的知识点多,灵活性大,综合性强,往往成为学生的弱项.本文结合具体例题,讲解核心秘籍.1、正弦定理及其变形2、余弦定理及其推论3、常用的三角形面积公式(1);(2)(两边夹一角);4、基本不等式①②二、例题讲解(2021·安徽蚌埠·高三开学考试(理))1. 设的内角的对边分别为,且的最大边的边长为(1)求角;(2)求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由已知条件,结合余弦定理求,即可求角;(2)由(1)知,应用正弦定理可得,进而由三角形内角性质及三角恒等变换可得,即可求的范围.【详解】(1)由题意得,,由余弦定理得,即.(2)由(1)可知,中角为最大角,由大角对大边知:,由正弦定理知,,∴,即,而,又,∴,可得,∴.(2021·陕西汉台中学高三月考(文))2. 已知锐角内角,,及对边,,,满足.(1)求的大小;(2)若,求的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理,两角和的正弦公式化简已知等式可得,结合,可得的值.(2)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求,由已知求出的取值范围,再利用正弦函数的性质即可求解其范围.【详解】解:(1)因为,由正弦定理可得,又因为,所以,可得,由,可得.(2)因为,,由正弦定理,可得,,可得,因为锐角三角形中,所以,解得,所以,所以,可得.三、实战练习(2021·湖北高三开学考试)3. 在锐角中,角、、的对边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)当时,求的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理结合余弦定理可求得的值,结合角的取值范围可求得角的值;(2)由正弦定理结合三角恒等变换可得出,求出角的取值范围,可得出的取值范围,结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】解:(1)由及正弦定理得,所以,所以,所以,由,可得;(2),,所以,所以:,因为为锐角三角形,则,解得,所以,,则,所以,.(2021·全国高三其他模拟)4. 在中,角,,所对的边分别为,,,为的面积,.(1)求角的大小;(2)若,,求周长的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用三角形的面积公式及向量的数量积可得角的正切值,结合的范围即可得解;(2)由(1)及已知求出的取值范围,再由正弦定理及正弦函数的性质求出的取值范围即得.【详解】(1)在中,因,则,即,而,得,所以角的大小为;(2)由知,于是得为钝角,又,则,由正弦定理得,则,,则,而,即,则,于是得,,所以周长的取值范围为.(2021·肥城市教学研究中心)5. 在中,内角的对边分别为,且满足.(1)求A;(2)若,求周长的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由正弦定理得,化简得,利用的范围可得答案;(2)由正弦定理得,利用的范围和三角函数的性质可得答案.【详解】(1)由正弦定理得,因为,所以,所以,即,解得,因为,所以.(2)由正弦定理得,所以,所以,因为,所以,所以,所以.(2021·江苏南京市·金陵中学高三开学考试)6. 在中,角,,所对的边分别为,,,设为的面积,满足.(1)求角的大小;(2)若边长,求的周长的取值范围.【答案】(1);(2),.【解析】【分析】(1)利用三角形的面积公式,余弦定理,同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值,结合,可得的值;(2)由已知利用正弦定理,三角函数恒等变换可得,再由求出的周长的取值范围.【详解】(1)的面积满足,由面积公式和余弦定理得,则,即,又,所以.(2)因为,,所以由正弦定理得,则的周长,由得,则,所以,故的周长的取值范围是,.(2021·重庆高三月考)7. 已知的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求A;(2)若的面积为2,求的周长的最小值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由正弦定理化角为边,然后由余弦定理可求得角;(2)由三角形面积求得,再由基本不等式求得的最小值,结合余弦定理求得的最小值,从而得周长最小值.【详解】解析:(1)由已知,得,由正弦定理,得,即.再由余弦定理得.又,所以.(2)由(1)及已知得,的面积为,所以.又,当且仅当时等号成立,于是,所以三角形周长,所以周长最小值为,此时,.21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源预览