三角函数与解三角形专题03 解三角形(周长问题)-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍(全国通用版)

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三角函数与解三角形专题03 解三角形(周长问题)-【解题思路培养】2022年高考数学一轮复习解答题拿分秘籍(全国通用版)

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三角函数与解三角形
专题三:解三角形(周长问题)
解三角形是高中数学教学中的一个重要内容,也是高考的热点之一.解三角面积或者周长最值问题,由于涉及的知识点多,灵活性大,综合性强,往往成为学生的弱项.本文结合具体例题,讲解核心秘籍.
1、正弦定理及其变形
2、余弦定理及其推论
3、常用的三角形面积公式
(1);
(2)(两边夹一角);
4、基本不等式


二、例题讲解
(2021·安徽蚌埠·高三开学考试(理))
1. 设的内角的对边分别为,且的最大边的边长为
(1)求角;
(2)求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】(1)由已知条件,结合余弦定理求,即可求角;
(2)由(1)知,应用正弦定理可得,进而由三角形内角性质及三角恒等变换可得,即可求的范围.
【详解】(1)由题意得,,
由余弦定理得,即.
(2)由(1)可知,中角为最大角,由大角对大边知:,
由正弦定理知,,
∴,即,
而,又,
∴,可得,
∴.
(2021·陕西汉台中学高三月考(文))
2. 已知锐角内角,,及对边,,,满足.
(1)求的大小;
(2)若,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】(1)由正弦定理,两角和的正弦公式化简已知等式可得,结合,可得的值.
(2)由正弦定理,三角函数恒等变换的应用可求,由已知求出的取值范围,再利用正弦函数的性质即可求解其范围.
【详解】解:(1)因为,
由正弦定理可得,
又因为,
所以,
可得,
由,可得.
(2)因为,,
由正弦定理,可得,,
可得,
因为锐角三角形中,所以,解得,所以,
所以,可得.
三、实战练习
(2021·湖北高三开学考试)
3. 在锐角中,角、、的对边分别为、、,且.
(1)求角的大小;
(2)当时,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】(1)利用正弦定理结合余弦定理可求得的值,结合角的取值范围可求得角的值;
(2)由正弦定理结合三角恒等变换可得出,求出角的取值范围,可得出的取值范围,结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】解:(1)由及正弦定理得,
所以,所以,
所以,由,可得;
(2),,所以,
所以:

因为为锐角三角形,则,解得,
所以,,则,
所以,.
(2021·全国高三其他模拟)
4. 在中,角,,所对的边分别为,,,为的面积,.
(1)求角的大小;
(2)若,,求周长的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】(1)利用三角形的面积公式及向量的数量积可得角的正切值,结合的范围即可得解;
(2)由(1)及已知求出的取值范围,再由正弦定理及正弦函数的性质求出的取值范围即得.
【详解】(1)在中,因,则,即,而,得,
所以角的大小为;
(2)由知,于是得为钝角,又,则,
由正弦定理得,则,,
则,
而,即,则,
于是得,,
所以周长的取值范围为.
(2021·肥城市教学研究中心)
5. 在中,内角的对边分别为,且满足.
(1)求A;
(2)若,求周长的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】(1)由正弦定理得,化简得,
利用的范围可得答案;
(2)由正弦定理得,利用的范围和三角函数的性质可得答案.
【详解】(1)由正弦定理得,
因为,所以,
所以,
即,
解得,
因为,所以.
(2)由正弦定理得,
所以,
所以

因为,所以,
所以,
所以.
(2021·江苏南京市·金陵中学高三开学考试)
6. 在中,角,,所对的边分别为,,,设为的面积,满足.
(1)求角的大小;
(2)若边长,求的周长的取值范围.
【答案】(1);(2),.
【解析】
【分析】(1)利用三角形的面积公式,余弦定理,同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值,结合,可得的值;
(2)由已知利用正弦定理,三角函数恒等变换可得,再由求出的周长的取值范围.
【详解】(1)的面积满足,由面积公式和余弦定理得,
则,即,又,所以.
(2)因为,,所以由正弦定理得,
则的周长

由得,则,所以,
故的周长的取值范围是,.
(2021·重庆高三月考)
7. 已知的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求A;
(2)若的面积为2,求的周长的最小值.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】(1)由正弦定理化角为边,然后由余弦定理可求得角;
(2)由三角形面积求得,再由基本不等式求得的最小值,结合余弦定理求得的最小值,从而得周长最小值.
【详解】解析:(1)由已知,得,
由正弦定理,得,
即.
再由余弦定理得.
又,所以.
(2)由(1)及已知得,的面积为,所以.
又,当且仅当时等号成立,
于是,
所以三角形周长,
所以周长最小值为,
此时,.
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