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三角函数与解三角形
专题三：解三角形（周长问题）
解三角形是高中数学教学中的一个重要内容，也是高考的热点之一．解三角面积或者周长最值问题，由于涉及的知识点多，灵活性大，综合性强，往往成为学生的弱项．本文结合具体例题，讲解核心秘籍．
1、正弦定理及其变形
2、余弦定理及其推论
3、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
4、基本不等式
①
②
二、例题讲解
（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））
1. 设的内角的对边分别为，且的最大边的边长为
（1）求角；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知条件，结合余弦定理求，即可求角；
（2）由（1）知，应用正弦定理可得，进而由三角形内角性质及三角恒等变换可得，即可求的范围.
【详解】（1）由题意得，，
由余弦定理得，即.
（2）由（1）可知，中角为最大角，由大角对大边知：，
由正弦定理知，，
∴，即，
而，又，
∴，可得，
∴.
（2021·陕西汉台中学高三月考（文））
2. 已知锐角内角，，及对边，，，满足．
（1）求的大小；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得，结合，可得的值．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知求出的取值范围，再利用正弦函数的性质即可求解其范围．
【详解】解：（1）因为，
由正弦定理可得，
又因为，
所以，
可得，
由，可得．
（2）因为，，
由正弦定理，可得，，
可得，
因为锐角三角形中，所以，解得，所以，
所以，可得．
三、实战练习
（2021·湖北高三开学考试）
3. 在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，可得出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围．
【详解】解：（1）由及正弦定理得，
所以，所以，
所以，由，可得；
（2），，所以，
所以：
，
因为为锐角三角形，则，解得，
所以，，则，
所以，.
（2021·全国高三其他模拟）
4. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，.
（1）求角的大小；
（2）若，，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面积公式及向量的数量积可得角的正切值，结合的范围即可得解；
（2）由（1）及已知求出的取值范围，再由正弦定理及正弦函数的性质求出的取值范围即得.
【详解】（1）在中，因，则，即，而，得，
所以角的大小为；
（2）由知，于是得为钝角，又，则，
由正弦定理得，则，，
则，
而，即，则，
于是得，，
所以周长的取值范围为.
（2021·肥城市教学研究中心）
5. 在中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得，化简得，
利用的范围可得答案；
（2）由正弦定理得，利用的范围和三角函数的性质可得答案.
【详解】（1）由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
即，
解得，
因为，所以.
（2）由正弦定理得，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以.
（2021·江苏南京市·金陵中学高三开学考试）
6. 在中，角，，所对的边分别为，，，设为的面积，满足．
（1）求角的大小；
（2）若边长，求的周长的取值范围．
【答案】（1）；（2），．
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得的值，结合，可得的值；
（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换可得，再由求出的周长的取值范围．
【详解】（1）的面积满足，由面积公式和余弦定理得，
则，即，又，所以．
（2）因为，，所以由正弦定理得，
则的周长
，
由得，则，所以，
故的周长的取值范围是，．
（2021·重庆高三月考）
7. 已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若的面积为2，求的周长的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角；
（2）由三角形面积求得，再由基本不等式求得的最小值，结合余弦定理求得的最小值，从而得周长最小值．
【详解】解析：（1）由已知，得，
由正弦定理，得，
即.
再由余弦定理得.
又，所以.
（2）由（1）及已知得，的面积为，所以.
又，当且仅当时等号成立，
于是，
所以三角形周长，
所以周长最小值为，
此时，.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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