资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
三角函数与解三角形
专题四：解三角形（面积问题）
解三角形是高中数学教学中的一个重要内容，也是高考的热点之一．解三角面积或者周长最值问题，由于涉及的知识点多，灵活性大，综合性强，往往成为学生的弱项．本文结合具体例题，讲解核心秘籍．
1、正弦定理及其变形
2、余弦定理及其推论
3、常用的三角形面积公式
（1）；
（2）（两边夹一角）；
4、基本不等式
①
②
二、例题讲解
（2021·合肥市第六中学高三开学考试（理））
1. 三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求；
（2）若，求的面积最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据立方和公式与余弦定理求解即可；
（2）根据基本不等式与面积公式求解即可
【详解】（1）∵
∴
∴
∴
∵，∴
（2）由，及余弦定理知
（当且仅当时“=”成立）
故
∴
故面积的最大值为
（2021·江苏南通市·高一月考）
2. 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.①；②；③.
（1）在上述三个条件中任选一个，求B；
（2）在（1）所选定的条件下，若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.
【解析】
【分析】（1）选①，由诱导公式变形，再由正弦定理化边为角，然后由二倍角公式变形后可得；
选②，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理得角；
选③，先由余弦定理化角为边，然后再由余弦定理求得角；
（2）求出三角形面积，由正弦定理化为角的表达式，然后然后由诱导公式，两角和的正弦公式，同角关系式化为的代数式，再由角范围得结论．
【详解】（1）选①
由正弦定理得：
在三角形中得，
选②.由正弦定理得：
在三角形中，
选③.
在三角形中，
（2）由正弦定理，
由锐角三角形，，，所以.
．
三、实战练习
（2021·济宁市育才中学高二开学考试）
3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，请在①；②；③这三个条件中任选一个，完成下列问题．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】选择见解析；（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）若选①，则由正弦定理可得，从而可得，进而可求出角，若选②，把化简后利用余弦定理可求出角，若选③，对化简结合两角和的正弦公式可求出角，
（2）由（1）知，，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得，再由为锐角三角形，可得，从而可求出的范围，进而可求出三角形面积的范围
【详解】解：（1）选①：∵，
由正弦定理可得，
∵，，则，
可得，因此，；
选②：，
可化为，即，
由余弦定理可得，
因为，所以，；
选③：∵，
∴，
∴，
∵，∴，
∵，∴．
（2）由（1）知，，
由正弦定理有
，
由为锐角三角形，有，得，
有，可得，
故的面积的取值范围为．
（2021·沧源佤族自治县民族中学高二期末）
4. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且B为锐角.
（I）求角B；
（Ⅱ）若，求面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（I）因为内角和定理和二倍角公式得,进而得；
（Ⅱ）由余弦定理和基本不等式得，即，进而根据面积公式计算求解即可.
【详解】解（Ⅰ）因为，
所以，
整理得，所以，
由于B为锐角，所以.
（Ⅱ）利用余弦定理，
整理得，
即，当且仅当时等号成立,
所以.
（2020·江苏泰州市·高三月考）
5. ABC中，分别为角A，B，C的对边，且满足．
（1）求角C ；
（2）若ABC为锐角三角形，c＝12，求ABC面积S的最大值．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据， 由正弦定理得到：，即求解；
（2）由（1）根据ABC为锐角三角形，得到，然后利用余弦定理结合基本不等式得到的范围求解.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
因为，
所以，
所以，即，
所以或，
即或，
①若，则，
②若，则，
因为，所以，即，
综上，或.
（2）因为ABC为锐角三角形，所以，
因为，
即（当且仅当a＝b等号成立）.
所以
即△ABC面积S的最大值是
（2021·黑龙江双鸭山一中）
6. 在锐角中，角，，的对边分别为，，．已知
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角形内角和、两角和的正弦公式、辅助角公式以及角的范围即可求角；
（2）因为，由正弦定理可得：，，由面积公式可得结合三角恒等变换、角的范围以及三角函数的性质可求最值.
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得：，
因为，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
即，所以，
因为，所以，所以；
（2）若，由（1）知，，
由正弦定理可知：，
所以，，
所以的面积为
，
由可得，
所以，
所以当即时，
的面积最大为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑