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数列
专题一：数列求通项（与的关系）
数列求通项是高考数列问题的高频考点，特别是已知数列与的关系，求．
一、必备秘籍
说明：此公式考点为两个方向：方向一，即在求通项问题中，用替换题目中的；此考点为主要考点；方向二：，即在求通项问题中，用替换题目中的，此法和方向一刚好是反方向的；此考点出现频率较少．
二、例题讲解
（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）
1. 已知为数列的前项和，且．求数列的通项公式．
【答案】
【解析】
【分析】根据，可求出的通项公式.
【详解】时 ，
时 ，
当时，不满足的情况，
所以
（2021·全国高三专题练习（理））
2. 已知数列的前项和为，点在函数的图象上．求数列的通项公式．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，然后利用求数列的通项公式；
【详解】解：把点代入得，，
所以当时，，
当时，，
经验证，也满足，
所以.
（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）
3. 在数列中，若且．求数列的通项公式．
【答案】
【解析】
【分析】由可得是首项为，公差为的等差数列，进而得，再根据求解通项公式即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴是首项为，公差为的等差数列．
，∴．
当时，，
所以．
（2021·四川成都市·成都七中高三月考（文））
4. 已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】
【分析】可得，进而得，再讨论是否满足，分段表示即得解
【详解】解：当时，由已知，可得，
当时，①
因为，②
所以②—①得，
所以．
显然当时不满足上式，
所以
三、实战练习
（2021·山东高三专题练习）
5. 已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】
【分析】由题，再结合已知作差即可得，再检验时的情况即可得答案.
【详解】因为①
所以②，
①-②得出．
又时，得，满足，
所以
（2021·陕西宝鸡市·高三一模（理））
6. 已知数列满足，求数列的通项公式．
【答案】
【解析】
【分析】先根据前项和与通项的关系得，再检验时也满足条件即可求得答案.
【详解】因为①，
所以②，
①-②得，即 ,
当时，，满足，
所以
（2021·全国高三其他模拟（理））
7. 设数列的前项和为，若且当时，，则的通项公式_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据与的关系，当时，可得，从而可得，从而可得，进而求出，再根据与的关系即可求解.
【详解】当时，，
则，
，
，，即，
，
所以，
所以当时，，
当时，，不满足上式，
故，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了与的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.
（2021·辽宁沈阳市·高二期中）
8. 已知数列的前n项和为，且满足，，则的通项公式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，即可得到是以4为首项，4为公差的等差数列，即可求出，再根据计算可得；
【详解】解：数列的前n项和为，且满足，
整理得：，
故（常数），
所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列；
所以，
整理得，
当时，故，
显然不符合，
所以．
故答案为：．
（2020·全国高三专题练习（理））
9. 数列满足， ，写出数列的通项公式__________.
【答案】
【解析】
【分析】当时，有，作差可求出，再验证是否成立，即可得出答案.
【详解】当时，由,
所以，
—可得，所以，
当时，，所以，不满足上式，
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，做题的关键是掌握，属于中档题.
（2020·全国高三专题练习）
10. 设数列的前n项和满足，且，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】由，两本同除以，可构造是等差数列，由此可求出 ，再利用，即可求得
【详解】由，得
是以为首相，1为公差的等差数列，
，
，
当 时，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题.
（2021·全国高三其他模拟）
11. 已知数列满足，求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】由得，当时，结合题意得，进而检验时满足条件即可得答案.
【详解】解：因为①
所以当时，，可得；
当时，，②
①-②得，所以，
当时也满足上式，
所以的通项公式为.
（2021·浙江省普陀中学高三开学考试）
12. 已知正项数列及其前项和满足：，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】利用给定的递推公式结合()变形整理得即可求解作答.
【详解】数列中，因，则，解得，
当时，，即，
整理得，而是正项数列，于是得，即为等差数列，
所以数列的通项公式是.
（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）
13. 已知数列满足，数列的前项和为，若______，在以下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题：
①；
②数列满足：，，且的前项和为；
③．
问题：求数列的通项公式；
【答案】选择见解析； ．
【解析】
【分析】选①：根据递推公式得到，即可求出结果，注意检验 时是否符合；
选②：利用累加法求出，进而可以求出结果；
选③：根据前项和与的关系，证得数列为等差数列，进而可求出结果；
【详解】解：（1）选①：
当，，
当，①，
又因为②，
②-①得，则，
又，符合，
所以．
选②：，
又，所以，所以．
选③：
当，，
当，①，
又因为②，
所以②-①得：，即：
所以，，有，
故数列为等差数列，，公差，
所以．
（2021·山东高三其他模拟）
14. 已知正项数列及其前项和满足：，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】利用给定的递推公式结合()变形整理得即可求解作答.
【详解】数列中，因，则，解得，
当时，，即，
整理得，而是正项数列，于是得，即为等差数列，
所以数列的通项公式是.
（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）
15. 设正项数列满足，求.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件将给定等式化成，再用转化为数列相邻两项的关系即可作答.
【详解】在正项数列中，，则有，
当时，，于是得，即，
整理得：，而数列是正项数列，即，
因此得：，而，即，
于是得数列是首项为1，公差为2的等差数列，则，
所以.
（2021·全国高三其他模拟）
16. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】项和转换可得，由数列的各项为正数，所以，即得解
【详解】当时，，即，解得或（舍）.
当时，，，
两式相减得，
又数列的各项为正数，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
（2021·全国高三其他模拟）
17. 已知数列满足，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到当时，，从而得到，即：，再验证即可.
【详解】∵，①
∴当时，，②
①-②得，
则．
当时，由①得，不满足上式，
∴.
（2021·江西九江·高三三模（文））
18. 已知各项均为正数的数列的前项和为，且，求数列的通项公式.
【答案】
【解析】
【分析】项和转换可得，由数列的各项为正数，所以，即得解
【详解】当时，，即，解得或（舍）.
当时，，，
两式相减得，
又数列的各项为正数，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.
所以.
（2021·沙坪坝·重庆八中高三月考）
19. 已知数列满足．求数列的通项公式；
【答案】
【解析】
【分析】根据数列前项和与通项的关系即可求得，再验证成立即可得答案.
【详解】解：对于①，
当时，有；
当，有②，
①-②得：，所以．
经检验：对成立．
所以数列的通项公式为．
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