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浙教版九年级下 2.2切线长定理同步练习
一．选择题
1．（2020 西宁）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　）
A． B．2 C． D．3
2．（2021 西湖区二模）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P为（　　）
A．120° B．60° C．30° D．45°
3．（2021 永定区模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（　　）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
4．（2020 永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB； ②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2012 武汉模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD＝，AC＝3．则DE长为（　　）
A． B．2 C． D．
6．（2021春 永嘉县校级期末）如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB、DC的延长线交于点P，若C是PD的中点，且PD＝6，PB＝2，那么AB的长为（　　）
A．9 B．7 C．3 D．
7．（2021 松北区三模）如图，AB为⊙O的切线，AC为弦，连接CB交⊙O于点D，若CB经过圆心O，∠ACB＝28°，则∠B的度数为（　　）
A．33° B．34° C．56° D．28°
8．（2020 和平区校级自主招生）如图，AB为⊙O的直径，C为的中点，D为劣弧CB上一个动点（点D不与B，C重合），过D作⊙O的切线交AB延长线于点P，连接CD并延长交AB延长线于点Q，给出下列结论：
①若CB∥DP，则∠DAB＝22.5°； ②若PB＝BD，则∠DPA＝30°；
③DP可能成为∠BDQ的平分线； ④若⊙O的半径为1，则CD CQ＝AB；
⑤0°＜∠PDQ≤45°．
其中正确结论的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题
9．（2020 二道区校级二模）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是　 　cm．
10．（2020秋 虎林市期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠APB＝60°，PA＝4．则⊙O的半径是　 　．
11．（2020秋 西华县期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为　 　．
12．（2021 靖江市模拟）如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝90°．若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．
13．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P＝70°，则∠C＝　 　．
三．解答题
14．如图，BC为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，C为切点，连接AB交⊙O于点P．
（1）若⊙O的半径长为2cm，∠B＝60°，求AP的长；
（2）点Q是AC的中点，判断PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．
15．如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．
（1）图中哪条线段与BF相等？试证明你的结论；
（2）若AE＝3，CD＝2，求⊙O的直径．
16．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点为E，F，G，H，已知AD∥BC，AB＝CD，DO＝6cm，CO＝8cm，求四边形ABCD的周长．
17．（2021秋 东城区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若⊙O的半径为2，求AD．
18．（2021秋 南岗区校级月考）如图，已知点A、B、C、D在圆上，AD＝8．
（1）若EA、ED是⊙O的切线，切点分别是A、D，已知DE＝9，求△ADE的周长；
（2）若CD＝6，AC＝10，AB＝4，求BC的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2020 西宁）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　）
A． B．2 C． D．3
【解析】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，
∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝AP＝2．
故选：B．
2．（2021 西湖区二模）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P为（　　）
A．120° B．60° C．30° D．45°
【解析】解：连接OA，BO；
∵∠AOB＝2∠E＝120°，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝180°﹣∠AOB＝60°．
故选：B．
3．（2021 永定区模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（　　）
A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm
【解析】解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；
所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，
＝PF+FE+EG+PG，
＝PF+FA+GB+PG，
＝PA+PB
＝16cm，
故选：C．
4．（2020 永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，所以①正确；
∵OA＝OB，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，所以②正确；
∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴点A、B在以OP为直径的圆上，
∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．
故选：C．
5．（2012 武汉模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD＝，AC＝3．则DE长为（　　）
A． B．2 C． D．
【解析】解：连接OD，CD．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝，AC＝3．
∴CD＝，
∵OD＝OC＝OA，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵DE是切线，
∴∠CDE+∠ODC＝90°．
∵∠OCD+∠DCB＝90°，
∴∠BCD＝∠CDE，
∴DE＝CE．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠B＝∠ACD，
∴＝，
∴BC＝＝＝4，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠B+∠DCB＝90°，∠B+∠CDE＝90°，∠CDE+∠BDE＝90°，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝DE，
∴BE＝CE＝DE．
∴DE＝BC＝×4＝2．
故选：B．
6．（2021春 永嘉县校级期末）如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB、DC的延长线交于点P，若C是PD的中点，且PD＝6，PB＝2，那么AB的长为（　　）
A．9 B．7 C．3 D．
【解析】解：∵C是PD的中点，PD＝6，
∴PC＝CD＝PD＝3，
由切割线定理得，PC PD＝PB PA，即3×6＝2×PB，
解得，PB＝9，
∴AB＝PA﹣PB＝7，
故选：B．
7．（2021 松北区三模）如图，AB为⊙O的切线，AC为弦，连接CB交⊙O于点D，若CB经过圆心O，∠ACB＝28°，则∠B的度数为（　　）
A．33° B．34° C．56° D．28°
【解析】解：如图，连接OA，
∵∠ACB＝28°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝56°．
又∵AB为⊙O的切线，OA是半径，
∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°．
∴∠B＝90°﹣∠AOB＝34°．
故选：B．
8．（2020 和平区校级自主招生）如图，AB为⊙O的直径，C为的中点，D为劣弧CB上一个动点（点D不与B，C重合），过D作⊙O的切线交AB延长线于点P，连接CD并延长交AB延长线于点Q，给出下列结论：①若CB∥DP，则∠DAB＝22.5°；②若PB＝BD，则∠DPA＝30°；
③DP可能成为∠BDQ的平分线；④若⊙O的半径为1，则CD CQ＝AB；
⑤0°＜∠PDQ≤45°．其中正确结论的个数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】解：C为的中点，
∴AC＝BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
①∵CB∥DP，
∴∠DPO＝∠CBA＝45°，
∵DP是⊙O切线，
∴∠ODP＝90°，
∴△ODP是等腰直角三角形，
∴∠DOP＝45°，
∴∠DAB＝∠DOP＝22.5°，
故①正确；
②若PB＝BD，
∴∠PDB＝∠DPB，
∵∠PDB+∠ODB＝∠DPB+∠DOP＝90°，
∴∠ODB＝∠DOP，
∴DB＝OB，
∵OD＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠DOP＝60°，
∴∠DPA＝30°，
故②正确；
③由①即可得DP可能成为∠BDQ的平分线，故③正确；
④∵C为的中点，
∴∠CDA＝∠CAB，
∵∠ACD＝∠ACQ，
∴△ACD∽△CQA，
∴，
∴CD CQ＝AC2＝（）2＝2，
∵AB＝2，
∴CD CQ＝AB，
故④正确；
⑤∵∠QDB＝∠CAB＝45°，
∴0°＜∠PDQ＜45°，
所以⑤错误．
故选：B．
二．填空题
9．（2020 二道区校级二模）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，则此光盘的直径是　6　cm．
【解析】解：∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的直径6cm．
故答案为：6．
10．（2020秋 虎林市期末）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，若∠APB＝60°，PA＝4．则⊙O的半径是　　．
【解析】解：连接OA、OB、OP，如下图所示：
∵PA、PB为圆O的两条切线，
∴由切线长定理可知：PA＝PB，OB⊥PA，OA⊥PA；
∵OA、OB为半径长，PO＝PO，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠APO＝∠BPO＝30°；
∵tan∠APO＝＝，
∴OA＝PA＝，
所以圆的半径为，
故此题应该填．
11．（2020秋 西华县期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB＝8，AC＝5，则BD的长为　3　．
【解析】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
12．（2021 靖江市模拟）如图，点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝90°．若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为　4﹣π　（结果保留π）．
【解析】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，PA＝PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°＝∠BPA，
∴四边形OBPA是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴阴影部分的面积＝S正方形OBPA﹣S扇形AOB则＝22﹣＝4﹣π．
故答案为：4﹣π．
13．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，AC为直径，切点分别为A、B，∠P＝70°，则∠C＝　55°　．
【解析】解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB，
∵∠P＝70°，∴∠PAB＝（180°﹣70°）＝55°，
∴∠OAB＝90°﹣55°＝35°，
∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣35°
＝55°，
故答案为55°．
三．解答题
14．如图，BC为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，C为切点，连接AB交⊙O于点P．
（1）若⊙O的半径长为2cm，∠B＝60°，求AP的长；
（2）点Q是AC的中点，判断PQ与⊙O的位置关系，并说明理由．
【解析】解：（1）∵AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，即∠BCA＝90°；
在Rt△BCA中，∠B＝60°，BC＝4cm，
故AB＝8cm，AC＝4cm；
由切割线定理知：AC2＝AP AB，即AP＝AC2÷AB＝48÷8＝6cm．
（2）连接CP、OP，则∠CPB＝∠CPA＝90°；
在Rt△CPA中，Q是AC的中点，则QP＝QC，
故∠QCP＝∠QPC；
又∵∠OCP＝∠OPC，
∴∠OCP+∠QCP＝∠OPC+∠QPC，即∠OPQ＝∠OCQ＝90°，
因此PQ与⊙O相切．
15．如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．
（1）图中哪条线段与BF相等？试证明你的结论；
（2）若AE＝3，CD＝2，求⊙O的直径．
【解析】解：（1）FB＝CE．
证明：连接DE，BD．
∵DC是圆的切线．
∴∠EDC＝∠DAC OD⊥直线l
∵AC⊥直线l．
∴OD∥AC
∴∠ADO＝∠DAC
∵OA＝OD
∴∠OAD＝∠ADO
∴∠OAD＝∠DAC
∴DF＝DC
∵DF⊥AB，AC⊥l于C，
∴∠BFD＝∠DCE＝90°，
在△BDF和△EDC中，
∴△BDF≌△EDC
∴FB＝CE；
（2）∵CD是圆O的切线．
∴CD2＝CE CA，即4＝CE（CE+3）
解得：CE＝1
则BF＝CE＝1
∴AB＝BF+AF＝BF+AC＝1+AE+CE＝1+3+1＝5．
16．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点为E，F，G，H，已知AD∥BC，AB＝CD，DO＝6cm，CO＝8cm，求四边形ABCD的周长．
【解析】解：如图，
∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，切点为E，F，G，H，
∴AF＝AG，BH＝BG，CH＝CE，DE＝DF，
∴BH+CH+AF+DF＝BG+CE+AG+DE，
即BC+AD＝AB+CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ODE＝∠ADC，∠OCD＝∠DCB，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
在Rt△DOC中，CD＝＝＝10，
∵AB＝CD＝10，
∴AB+CD＝BC+AD＝20，
∴四边形ABCD的周长为20．
17．（2021秋 东城区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．
（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若⊙O的半径为2，求AD．
【解析】（1）证明：如图，连接OE，
∵⊙O与直线AB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴OA＝OB．
（2）解：如图，连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥OC，
∴AC与⊙O相切于点C，
∴∠OAC＝∠OAB，
∵∠OAB＝∠B，
∴∠OAC＝∠OAB＝∠B，
∵∠BAC+∠B＝90°，
∴∠OAC+∠OAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠OAC＝30°，
∵OC＝OD＝2，
∴OA＝2OC＝2×2＝4，CD＝2+2＝4，
∴AC＝＝2，
∴AD＝＝2，
∴AD的长为2．
18．（2021秋 南岗区校级月考）如图，已知点A、B、C、D在圆上，AD＝8．
（1）若EA、ED是⊙O的切线，切点分别是A、D，已知DE＝9，求△ADE的周长；
（2）若CD＝6，AC＝10，AB＝4，求BC的长．
【解析】解：（1）∵EA、ED是⊙O的切线，DE＝9，
∴AE＝DE＝9，
∴△ADE的周长＝DE+AE+AD＝9+9+8＝26；
（2）在△ADC中，AD2+CD2＝82+62＝100，AC2＝102＝100，
则AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴BC＝＝＝2．
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