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5.2 三角函数的概念
【学习要求】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3.会应用三角函数的定义和同角三角函数解决相关问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1．任意角的三角函数的定义
(1)单位圆:在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)三角函数的定义
①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么：比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；
比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
【注】(1)在任意角的三角函数定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．
(3)定义域：如表所示
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y＝sinx 　R　
余弦函数 y＝cosx 　R　
正切函数 y＝tanx 　{x|x≠kπ＋，k∈Z}　
2．三角函数值的符号
sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：
【注】正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
3．公式一(k∈Z)：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα．
【注】该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．
4．有向线段
一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．
5．三角函数线的作法
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
【注】①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．
②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．
③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．
④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
6．三角函数线的作用
(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．
(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．
7.同角三角函数的基本关系式
1）公式：(1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1.　(2)商数关系：　＝tanα.　
2）公式推导：如图，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP的长作为直角三角形三边长，且OP＝1．
由勾股定理，得OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1．
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋(k∈Z)时，有＝tanα．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
【注】对同角三角函数基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
8．常用的等价变形
sin2α＋cos2α＝1 tanα＝
[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？
(1)使用变形公式sinα＝±，cosα＝±时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．
【高频考点】
高频考点1. 三角函数的定义及应用
【方法点拨】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
【例1】（1）（2021·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·绥德中学高一月考）是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·山东高一课时练习）点是角终边与单位圆的交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021·云南）若角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021·上海市高一月考）已知，，则的值为_________．
【变式1-3】（2021·江西上饶·高一月考）已知角的顶点为坐标原点，始边x轴的非负半轴，若点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2021·全国高一课时练习）点P从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 . 三角函数值的正负
【方法点拨】(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．（3）对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．
【例2】（1）（2021·湖北高一课时练习）若cos α与tan α同号，那么α在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
（2）（2021·河南开封·高一期末）已知点在第三象限，则角在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（3）（2021·横峰中学高一月考（理））已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【变式2-1】（2021·全国高一课时练习）设α角属于第二象限，且|cos|＝﹣cos，则角属于　象限．
【变式2-2】（2021·六盘山高级中学高一月考）若则在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限
【变式2-3】（2021·陕西铜川·高一期末）若，则所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2-4】（2021·湖北武汉·高一期中）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，以轴非负半轴为始边，终边经过点，，则下列各式的值可能大于0的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点3 . 三角函数线及其运用
【方法点拨】1.利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．
2. 解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．
3.利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：
①如图所示，画出单位圆；②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．
【例3】（1）设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
（2）当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．
【变式3-1】sin4，cos4，tan4的大小关系是（　　）
A．sin4＜tan4＜cos4 B．tan4＜sin4＜cos4 C．cos4＜sin4＜tan4 D．sin4＜cos4＜tan4
【变式3-2】已知sinθ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．
【变式3-3】利用单位圆和三角函数线，分别求出使下列各组条件成立的x的集合．
（1）；（2）tanx．
【变式3-4】设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：
（1）sinα+cosα＞l；（2）sinα＜α＜tanα．
高频考点4. 根据同角三角函数关系求值
【方法点拨】
在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
【例4】（2021·全国）已知，是第三象限角，求，的值.
【变式4-1】（2021·浙江衢州·）已知，，则________
【变式4-2】（2021·北京四中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2021·全国）若，为第二象限的角，则__________.
【变式4-4】（2021·全国）下列四个命题中可能成立的一个是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．（为第二象限角）
高频考点5 . 弦的齐次问题
【方法点拨】1.若已知tanα＝m，求形如(或)的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
2．形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．
【例5】（2021·北京市昌平区实验学校高一期中）已知角的终边过点，求：
1 ；②；③
【变式5-1】（2021·江西省修水县英才高级中学高一月考）已知，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【变式5-2】（2021·安徽蚌埠二中高一期中）已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ）
A．0 B． C． D．5
【变式5-3】（2021·河南焦作·高一期中）已知，且，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式5-4】（2021·甘肃张掖市第二中学高一期中）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
高频考点6 . sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及方程思想的运用
【方法点拨】在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sinθ，cosθ，使问题得解．
(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．
(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．
【例6】（2021·重庆高一月考）已知，α∈（0，π），求下列式子的值：
（1）sinαcosα；（2）；（3）sin3α+cos3α．
【变式6-1】（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2021·江西景德镇一中高一期中）已知，，求下列各式的值.
（1）；（2）.
【变式6-3】（2021·上海）已知，且．
（1）求的值．（2）求的值．
【变式6-4】（2021·全国高一课时练习）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）．
高频考点7 . 化简三角函数式
【方法点拨】三角函数式的化简过程中常用的方法：
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
【例7】（2021·河南高一期中）（1）已知角的终边经过点，化简并求值：；（2）计算的值．
【变式7-1】（2021·蚌埠田家炳中学高一月考）已知是第四象限角，化简为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2021·全国高一课时练习）若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2021·全国高一专题练习）设函数，且，为第二象限角.(1)求的值.(2)求的值.
【变式7-4】（2021·上海高一课时练习）化简：（1）；（2）.
高频考点8. 三角恒等式的证明
【方法点拨】利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式
三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等；(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
【例8】（2021·全国）证明下列恒等式：（1）
（2）
【变式8-1】（2021·全国）若<α<2π，求证：＋＝－.
【变式8-2】若sinθ+cosθ＝2sinα，sin2β＝sinθcosθ．求证：2cos2α＝cos2β．
【变式8-3】（1）已知tanα＝﹣3，求的值；（2）求证：tan2βsin2β＝tan2β﹣sin2β．
【变式8-4】求证：sinα﹣cosα
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二期末）已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·上海高一课时练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·陕西省洛南中学高一月考）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山东临沂·高一期末）设角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2021·全国高一课时练习）已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B．0 C．7 D．
6．下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知tanα=m，α是第二 三象限角，则sinα的值等于（ ）
A． B．± C． D．±
8．（2021·大连市第三十六中学高一期中）已知为三角形的内角，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角
B．如果是第一象限的角，且，则
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为
10．角的终边上有一点，且，则＝（ ）
A． B． C． D．0
11．若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·山东高一月考）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海市金山中学）已知角是第二象限角，且，则___________.
14．（2021·绥德中学高一月考）已知为第二象限角，为其终边上一点，且，则x=___________.
15．（2021·上海宝山·高一期末）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是__．
16．（2021·浙江高一期末）化简________．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·咸阳百灵学校高一月考）计算
（1） （2）)
18．（2021·全国高一课时练习）（1）已知角的终边经过点，求的值；
（2）已知角的终边经过点，求的值；
（3）已知角的终边上一点，且，求．
19．（2021·浙江高一期末）已知角以为始边，的终边经过点，求下列各式的值．
（1）；（2）．
20．（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1）；
（2）．
21．（2021·上海普陀·曹杨二中高一月考）在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点
（1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标；
（2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
（3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值.
22．（2021·上海高一）已知求：
（1）的值 （2）的值 （3）的值．
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5.2 三角函数的概念
【学习要求】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求定义域、函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3.会应用三角函数的定义和同角三角函数解决相关问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1．任意角的三角函数的定义
(1)单位圆:在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)三角函数的定义
①如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；
叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝(x≠0)．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
②我们也可以利用角α终边上任意一点的坐标来定义三角函数．
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么：比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；
比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝．
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数(trigonometric function)．
【注】(1)在任意角的三角函数定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．
(2)要明确sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．(3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数．
(3)定义域：如表所示
三角函数 解析式 定义域
正弦函数 y＝sinx 　R　
余弦函数 y＝cosx 　R　
正切函数 y＝tanx 　{x|x≠kπ＋，k∈Z}　
2．三角函数值的符号
sinα、cosα、tanα在各个象限的符号如下：
【注】正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正．
3．公式一(k∈Z)：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα．
【注】该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．
4．有向线段
一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段被看做带有方向，于是把它叫做有向线段．表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母．当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向(从起点向终点)与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数，如图所示，有向线段AB＝2，CD＝1，而有向线段BA＝－2，DC＝－1．
5．三角函数线的作法
如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合)．
过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．
【注】①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外．
②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或反向延长线)的交点．
③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负值．
④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后．
⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值．
6．三角函数线的作用
(1)用三角函数线可以比较两数的大小．在代数中，我们经常采用作差、作商、利用函数的单调性等方法比较大小，而三角函数线就表示了三角函数值的大小，所以在比较一些三角函数值的大小时，常采用比较三角函数线的方法，更加方便与直观．
(2)利用三角函数线可以求角或角的范围，即解简单的三角方程或三角不等式．即由三角函数线得三角函数值，再找角的终边，进而找到角的值或取值范围．
7.同角三角函数的基本关系式
1）公式：(1)平方关系：　sin2α＋cos2α＝1.　(2)商数关系：　＝tanα.　
2）公式推导：如图，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP的长作为直角三角形三边长，且OP＝1．
由勾股定理，得OM2＋MP2＝1，因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1．
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋(k∈Z)时，有＝tanα．
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
【注】对同角三角函数基本关系式的理解
(1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
(2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
(3)同角三角函数的基本关系式是针对使三角函数有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立．
8．常用的等价变形
sin2α＋cos2α＝1 tanα＝
[拓展]变形公式的应用要注意哪些方面？
(1)使用变形公式sinα＝±，cosα＝±时，“±”号是由α的终边所在的象限确定的，而对于其他形式的变形公式就不必考虑符号问题．
(2)对这些关系式不仅要牢牢掌握，还要能灵活运用(正用、逆用、变形应用)．
【高频考点】
高频考点1. 三角函数的定义及应用
【方法点拨】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝，余弦值cosα＝，正切值tanα＝．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
【例1】（1）（2021·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·绥德中学高一月考）是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·山东高一课时练习）点是角终边与单位圆的交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）A（3）A
【解析】（1）角终边经过点，则，，，
所以，故选：C.
（2）由题意可知，，解得，
因此，.故选：A.
（3）由题意得，故选：A．
【变式1-1】（2021·云南）若角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由三角函数的定义得：，
所以，，.故选：C
【变式1-2】（2021·上海市高一月考）已知，，则的值为_________．
【答案】或.
【解析】因，，则有或，又，
于是得或，所以的值为或.故答案为：或.
【变式1-3】（2021·江西上饶·高一月考）已知角的顶点为坐标原点，始边x轴的非负半轴，若点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点是角终边上一点，所以.故选：B.
【变式1-4】（2021·全国高一课时练习）点P从出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】点P从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以点Q是角的终边与单位圆的交点，所以Q，又角的终边与的终边是相同的，所以，，所以.故答案为：A
高频考点2 . 三角函数值的正负
【方法点拨】(1)能准确判定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键；(2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律．（3）对于多个三角函数符号的判断问题，要进行分类讨论．
【例2】（1）（2021·湖北高一课时练习）若cos α与tan α同号，那么α在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
（2）（2021·河南开封·高一期末）已知点在第三象限，则角在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（3）（2021·横峰中学高一月考（理））已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】（1）B（2）D（3）C
【解析】（1）因为cos α与tan α同号，则cos α与tan α的乘积为正，即正弦值为正，
所以α在第一、二象限.故选：B
（2）∵点在第三象限，∴，∴在第四象限.故选：D.
（3）因为角第二象限角,所以，
所以，
当是偶数时，设，则，此时为第一象限角；
当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.；综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为，所以，所以为第三象限角．故选：C．
【变式2-1】（2021·全国高一课时练习）设α角属于第二象限，且|cos|＝﹣cos，则角属于　象限．
【解析】解：∵|cos|＝﹣cos，∴cos0，
∵α角属于第二象限，∴属于第一或三象限，∴角属于第三象限，故答案为：三
【变式2-2】（2021·六盘山高级中学高一月考）若则在（ ）
A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限
【答案】A
【解析】因为在第一、二象限为正，第三、四象限为负；在第一、四象限为正，第二、三象限为负.而，所以在第一、三象限.故选：A.
【变式2-3】（2021·陕西铜川·高一期末）若，则所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】∵，∴，∴点在第二象限．故选：B．
【变式2-4】（2021·湖北武汉·高一期中）在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，以轴非负半轴为始边，终边经过点，，则下列各式的值可能大于0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，角的顶点在原点，以轴非负半轴为始边，终边经过点，，
可得，，故符号不定，值可能大于0，A正确；，B错误；，C错误；，D错误．故选：A．
高频考点3 . 三角函数线及其运用
【方法点拨】1.利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：
(1)关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．
(2)注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．
2. 解答利用三角函数线求解不等式这类题目时，一般先根据三角函数值的范围找出角的终边所在的区域，在找角的终边所在的区域时，注意对正弦要找单位圆上的纵坐标，对余弦应在单位圆上找横坐标，根据这些坐标找出单位圆上满足要求的弧，即可找到角的终边所在的区域，再根据角的终边所在的区域写出角的范围．
3.利用三角函数线解sinα≥a，sinα≤a(|a|<1)型不等式的具体方法为：
①如图所示，画出单位圆；②过y轴上一点M(0，a)作y轴的垂线，交单位圆于P，P′两点，作射线OP，OP′；③写出射线OP与OP′对应的角；④图中阴影部分(包括边界)即满足sinα≤a(|a|<1)的角α的终边所在的范围，空白部分(包括边界)即满足sinα≥a(|a|<1)的角α的终边所在的范围．
【例3】（1）设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【解析】解：a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°＝sin28°，根据单位圆的三角函数线：
AB＝b，EF＝c，CD＝a，即：tan38°＞sin28°＞sin24°，即a＜c＜b，故选：D．
（2）当α∈（0，）时，求证：sinα＜α＜tanα．
【解析】证明： 如图，设角a的终边与单位圆相交于点P，单位圆与X轴正半轴的交点为A，
过点A作圆的切线交OP的延长线于T，过P作PM⊥OA于M，连结AP，
则sinα＝MP，，tanα＝AT，∵S△POA＜S扇形POA＜S△OAT，
∴，∴MPAT，∴sinα＜α＜tanα．
【变式3-1】sin4，cos4，tan4的大小关系是（　　）
A．sin4＜tan4＜cos4 B．tan4＜sin4＜cos4 C．cos4＜sin4＜tan4 D．sin4＜cos4＜tan4
【解析】解：如图作单位圆，
∵4，∴tanα＝AT＞0，sinα＝BP＜0，cosα＝OB＜0；
故BP＜OB＜AT；故sin4＜cos4＜tan4；故选：D．
【变式3-2】已知sinθ，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．
【解析】解：画出三角函数线如图．
由图可知角θ的范围是{θ|2kπθ≤2kπ或2kπx≤2kπ，k∈Z}
【变式3-3】利用单位圆和三角函数线，分别求出使下列各组条件成立的x的集合．
（1）；（2）tanx．
【解析】解：（1）画出图形，如图所示；
单位圆中的三角函数线同时满足sinx，cosx的x是，k∈z；
即x的取值范围是{x|2kπx≤2kπ，k∈z}．
（2）（2）如图①所示，过点（1，）和原点作直线交单位圆于P和P′，
则射线OP、OP′就是满足tanx的角x的终边，
∵在[0，2π）内，满足条件的∠POx＝π，∠P′Ox；
∴满足条件tanx的角x的集合是{x|xkπ，k∈Z}，
则满足tanx的角x的集合是{x|kπ≤xkπ，k∈Z}．
【变式3-4】设α是锐角，利用单位圆证明下列不等式：
（1）sinα+cosα＞l；（2）sinα＜α＜tanα．
【解析】证明：（1）α为锐角，角α的终边落在第一象限，
设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥Y轴于点N（如图），
则sinα＝MP，cosα＝OM＝NP，利用三角形两边之和大于第三边有：sinα+cosα＝MP+OM＞1，得证．
（2）∵如图所示：S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAE，
S△OPA 1 BP，S扇形OPA 1 ，S△OAE 1 AE，∴BPAE，∴sinα＜α＜tanα．
高频考点4. 根据同角三角函数关系求值
【方法点拨】
在使用开平方关系sinα＝±和cosα＝±时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角α所在的象限，如果角α所在的象限是已知的，则按三角函数在各个象限的符号来确定正负号；如果角α所在的象限是未知的，则需要按象限进行讨论．
【例4】（2021·全国）已知，是第三象限角，求，的值.
【答案】;;
【解析】因为，是第三象限角，
所以，.
【变式4-1】（2021·浙江衢州·）已知，，则________
【答案】
【解析】由，即，
又由，联立方程组，解得，
又因为，所以.故答案为：.
【变式4-2】（2021·北京四中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以，所以.故选：D.
【变式4-3】（2021·全国）若，为第二象限的角，则__________.
【答案】
【解析】为第二象限的角，，
，，故答案为：.
【变式4-4】（2021·全国）下列四个命题中可能成立的一个是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．（为第二象限角）
【答案】B
【解析】对于A选项，由同角三角函数关系，，不成立，故A错误；
对于B选项，当时成立，故B正确；
对于C选项，若且成立，则由与矛盾，故C错误；对于D选项，由同角三角函数关系，，故D错误.故选：B
高频考点5 . 弦的齐次问题
【方法点拨】1.若已知tanα＝m，求形如(或)的值，其方法是将分子、分母同除以cosα(或cos2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和cosα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
2．形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cos2α代换，分子、分母同除以cos2α再求解．
【例5】（2021·北京市昌平区实验学校高一期中）已知角的终边过点，求：
①；②；③
【答案】①；②；③.
【解析】①因为角的终边过点，所以，，由三角函数的定义可得：
②，
③.
【变式5-1】（2021·江西省修水县英才高级中学高一月考）已知，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】因，则有，
所以的值为.故选：B
【变式5-2】（2021·安徽蚌埠二中高一期中）已知是第四象限角，为其终边上一点，且，则的值（ ）
A．0 B． C． D．5
【答案】D
【解析】由条件可知，，所以，
解得：，所以，.故选：D
【变式5-3】（2021·河南焦作·高一期中）已知，且，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以，，，
所以，，解得或，
因为，所以，所以，故选：A
【变式5-4】（2021·甘肃张掖市第二中学高一期中）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，由同角三角函数基本关系可得，解得：，
所以，故选：B．
高频考点6 . sinθ±cosθ，sinθ·cosθ三者的关系及方程思想的运用
【方法点拨】在解三角函数问题时要注意题目中的隐含条件，本题就是灵活运用了平方关系，列方程求出sinθ，cosθ，使问题得解．
(1)对于三角函数式sinθ±cosθ，sinθ·cosθ之间的关系，可以通过(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθ·cosθ进行转化．
(2)若已知sinθ±cosθ，sinθ·cosθ中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinθ，cosθ的值，从而求出其余的三角函数值．
【例6】（2021·重庆高一月考）已知，α∈（0，π），求下列式子的值：
（1）sinαcosα；（2）；（3）sin3α+cos3α．
【解析】解：（1）∵，α∈（0，π），
∴两边平方，可得1+2sinαcosα，∴解得sinαcosα；
（2）∵0，①
又α∈（0，π），∈（0，），∴sinα＞0，cosα＜0，tan0，
∴sinα﹣cosα，②
∴由①②可得sinα，即，整理可得：3tan210tan3＝0，
∴解得tan3，或（舍去）．
（3）sin3α+cos3α＝（sinα+cosα）（sin2α+cos2α﹣sinαcosα）＝（）×（1）．
【变式6-1】（2021·云南省玉溪第一中学高一月考）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以，故，
所以.故选：A
【变式6-2】（2021·江西景德镇一中高一期中）已知，，求下列各式的值.
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，则，
又，则，
由，可得；
（2）由可得，
【变式6-3】（2021·上海）已知，且．
（1）求的值．（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，∴，
∴．
（2）因为，且，所以，所以
所以
【变式6-4】（2021·全国高一课时练习）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，所以，即，
所以．
因为，
又，所以，则，所以．
（2）由已知条件及（1），可知，解得，所以．
高频考点7 . 化简三角函数式
【方法点拨】三角函数式的化简过程中常用的方法：
(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
【例7】（2021·河南高一期中）（1）已知角的终边经过点，化简并求值：；（2）计算的值．
【答案】（1）（2）1．
【解析】（1）由题意知，，．
原式
；
（2）原式．
【变式7-1】（2021·蚌埠田家炳中学高一月考）已知是第四象限角，化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵为第四象限角，
∴.故选：B
【变式7-2】（2021·全国高一课时练习）若且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，
所以，又，所以.故选：B
【变式7-3】（2021·全国高一专题练习）设函数，且，为第二象限角.
(1)求的值.
(2)求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)函数，且，为第二象限角，
，
，；
(2).
【变式7-4】（2021·上海高一课时练习）化简：（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）；
（2）
高频考点8. 三角恒等式的证明
【方法点拨】利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式
三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异；(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等；(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
【例8】（2021·全国）证明下列恒等式：（1）（2）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）
；
（2）左边，右边＝左边．原等式得证。
【变式8-1】（2021·全国）若<α<2π，求证：＋＝－.
【答案】证明见解析.
【解析】∵<α<2π，∴sin α<0.
左边＝＋ ＝＋
＝＋＝－－＝－＝右边．∴原等式成立．
【变式8-2】若sinθ+cosθ＝2sinα，sin2β＝sinθcosθ．求证：2cos2α＝cos2β．
【解析】证明：由sinθ+cosθ＝2sinα，得2sinα＝sinθ+cosθ，①
又sin2β＝sinθcosθ，②
①2﹣2×②，得4sin2α﹣2sin2β＝1，变形得，1﹣2sin2β＝2﹣4sin2α，则有cos2β＝2cos2α．
【变式8-3】（1）已知tanα＝﹣3，求的值；（2）求证：tan2βsin2β＝tan2β﹣sin2β．
【解析】解：（1）∵tanα＝﹣3，∴．
（2）证明：tan2βsin2β＝tan2β﹣sin2β， sin2β＝tan2β（1﹣sin2β） sin2β＝tan2βcos2β
sin2βcos2β sin2β＝sin2β．得证．
【变式8-4】求证：sinα﹣cosα
【解析】证明：∵1﹣2sinα cosα＝（sinα﹣cosα）2，
∵1+sinα﹣cosα≠0，∴左端
＝sinα﹣cosα＝右端．得证．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·陆良县中枢镇第二中学高二期末）已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知，且，则.故选：C.
2．（2021·上海高一课时练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】原式
，故选：C.
3．（2021·陕西省洛南中学高一月考）在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以.故选：C
4．（2021·山东临沂·高一期末）设角的始边为轴的非负半轴，则“角的终边在第二象限”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：已知角的始边为轴非负半轴，若角的终边在第二象限，则；
若，则角的终边在第二、三象限或者在轴负半轴上，
故“角的终边在第二象限”是“”的充分不必要条件，故选：．
5．（2021·全国高一课时练习）已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B．0 C．7 D．
【答案】D
【解析】令得,故定点为, 所以由三角函数定义得，
所以故选：D
6．下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合三角函数线即可直接求解.
【详解】
作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有，
所以，故选：A.
7．已知tanα=m，α是第二 三象限角，则sinα的值等于（ ）
A． B．± C． D．±
【答案】A
【分析】利用同角间三角函数关系式求得，然后按角所在象限分类讨论．
【详解】∵tanα=m，∴sin2α，∴|sinα|=，
当α是第二象限角时，tanα=m<0，sinα>0，∴sinα=；
当α是第三象限角时，tanα=m>0，sinα<0，∴sinα=；
综上所述，α是第二 三象限角，sinα=.故选：A．
8．（2021·大连市第三十六中学高一期中）已知为三角形的内角，，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】是三角形的内角，，所以
又因为，所以，即
所以，为锐角，且，所以，所以
所以
所以，所以（舍去）或．故选：C．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．如果是第一象限的角，则是第四象限的角
B．如果是第一象限的角，且，则
C．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
D．若圆心角为的扇形的弦长为，则该扇形弧长为
【答案】AD
【分析】由象限角的概念可判断A，举出反例可判断B，由扇形的弧长、面积公式可判断C、D.
【详解】对于A，若为第一象限角，则，
所以，是第四象限的角，故A正确；
对于B，若，满足是第一象限的角，且，但，故B错误；
对于C，设扇形的半径为，则，解得，所以该扇形的面积，故C错误；
对于D，若圆心角为的扇形的弦长为，则扇形的半径，
所以该扇形的弧长，故D正确.故选：AD.
10．角的终边上有一点，且，则＝（ ）
A． B． C． D．0
【答案】ABD
【分析】根据任意角的三角函数的定义，即可求解.
【详解】由题意，角的终边上有一点，且，
若，此时；若时，可得，解得，
当时，可得；当时，可得.故选：ABD.
11．若为第二象限角，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据角所在象限,判断三角函数符号,即可判断选项.
【详解】因为为第二象限角,,,所以A,B正确，D不正确；
当时，，当时，，所以C不一定正确.故选:AB
12．（2021·山东高一月考）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】①，，即，
，，，，，故A正确；
，②，故D正确；
①加②得，①减②得，故B正确；
，故C错误.故选：ABD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海市金山中学）已知角是第二象限角，且，则___________.
【答案】
【解析】因为，所以，即，
因为，所以，所以，
因为角是第二象限角，所以，故答案为：
14．（2021·绥德中学高一月考）已知为第二象限角，为其终边上一点，且，则x=___________.
【答案】
【解析】∵，∴或，∴或，
∵是第二象限角，∴（舍去）或（舍去）或.故答案为：.
15．（2021·上海宝山·高一期末）设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆顺时针方向旋转角后到达点，然后继续沿单位圆顺时针方向旋转角到达点，若点的纵坐标是，则点的坐标是__．
【答案】
【解析】初始位置在的终边上，所在射线对应的角为，所在射线对应的角为，
由题意可知，，又，则，解得，
所在的射线对应的角为，由任意角的三角函数的定义可知，点的坐标是，即．故答案为：．
16．（2021·浙江高一期末）化简________．
【答案】
【解析】原式.故答案为：
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021·咸阳百灵学校高一月考）计算
（1） （2）)
【答案】（1）；（2）0.
【解析】（1）
（2）
18．（2021·全国高一课时练习）（1）已知角的终边经过点，求的值；
（2）已知角的终边经过点，求的值；
（3）已知角的终边上一点，且，求．
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）当时，；当时，．
【解析】（1）（O为原点），；
（2）（O为原点），
当时，；
当时，；
（3）由题设知，
（O为原点），．
所以，即，
解得．
当时，
当时，
19．（2021·浙江高一期末）已知角以为始边，的终边经过点，求下列各式的值．
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】根据题意，，，.
（1）；
（2）.
20．（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1）；
（2）．
【答案】（1）1；（2）.
【解析】（1）原式；
（2）原式．
21．（2021·上海普陀·曹杨二中高一月考）在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点
（1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标；
（2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；
（3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值.
【答案】（1）；（2）；（3）。
【解析】（1）设点在角的终边上，又，则，
所以点在角的终边上，且，所以点的横坐标为，
纵坐标为，即点坐标为.
（2）∵顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，
∴，且，求得，则，，
则．
（3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，
不妨假设在第一象限，则在第二象限，
根据题意可得，且，
∴，，
∴，
即，平方可得，，当且仅当时，取等号．
∴，当且仅当时，取等号，故当时，取得最大值为．
22．（2021·上海高一）已知求：
（1）的值 （2）的值 （3）的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）
又，
（2）
（3）原式=
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