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集合与常用逻辑用语
一．构建知识框架
二．知识点复习
2.1集合的有关概念
1．集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．
2．元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为.
3．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
4．五个特定的集合
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N＋
注意：(1)解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；
(2)N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*或N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
例1.已知集合，集合，则中所含元素的个数为（ ）
A.3 B.6 C.8 D.10
【解析】由可知，必有；当时，；当时，或；
当时，或或；当时，或或或；
集合中的元素是有序数对，所有共有1+2+3+4=10个.
例2.(易错题)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．2 C．4 D．2或4
【解析】选A　若a＝2，则|a|＝2，不符合集合中元素的互异性，则a≠2；
若|a|＝2，则a＝2或－2，可知a＝2舍去，而当a＝－2时，a－2＝－4，符合题意；若a－2＝2，则a＝4，|a|＝4，不符合集合中元素的互异性，则a－2≠2.
综上，可知a＝－2.故选A.
2.2集合间的基本关系
表示 关系　　 文字语言 符号语言 记法
基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 x∈A x∈B A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A B，且 x0∈B，x0 A AB或BA
相等 集合A，B的元素完全相同 A B，B A A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 x，x ， A
注意：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，时刻关注对于空集的讨论．
例3.(易错题)已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，若A B，则实数a的取值范围是________．
【解析】如图，在数轴上表示出A，B.因为A B，所以a≤1.
例4.设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为(　　)
【解析】因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1,2}，M＝{0,1,2}，
所以N是M的真子集．故选A.
2.3集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A且x∈B} {x|x∈U，且x A}
性质 A∪ ＝A； A∪A＝A； A∪B＝B∪A A∩ ＝ ； A∩A＝A； A∩B＝B∩A A∪( UA)＝U； A∩( UA)＝ ； U( UA)＝A
注意：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
例5.已知集合则=（ ）
B. C. D.
【解析】两个集合中的元素都是，因此答案选D
例6.已知集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【解析】由可得，所以有且，
所以或，即或或
当或时，集合中，不符合题意，舍去；
当时，集合中，也不符合题意，舍去；
当时，，满足题意.
综上，.
例7.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
【解析】记28名参加比赛的学生构成的集合为，
参加游泳比赛的同学构成的集合为，参加田径比赛的同学构成的集合为，
参加球类比赛的同学构成的集合为，
由题意知，，，
故各集合间的关系可以用右图变式.由图可得，
于是有，故，
只参加游泳比赛的人数为15-3-3=9人.
2.4充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 p / q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且q p
注意：注意区别A是B的充分不必要条件(A B且BA)与A的充分不必要条件是B(B A且A B)两者的不同．
例8.“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选C　由x2＋3x＝0，解得x＝－3或x＝0，则当“x＝－3”时一定有“x2＋3x＝0”，反之不一定成立，所以“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的充分不必要条件．
例9.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】选A　由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件．故选A.
2.5全称命题和特称命题
1．全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
2．全称命题和特称命题
名称 形式　　 全称命题 特称命题
语言表示 对M中任意一个x，有p(x)成立 M中存在元素x0，使p(x0)成立
符号表示 x∈M，p(x) x0∈M，p(x0)
3．全称命题与特称命题的否定
注意：对没有量词的命题要结合命题的含义加上量词，再改变量词．
例10.命题“ x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)
A． x0∈R，x＋x0≤0　　 B． x0∈R，x＋x0＜0
C． x∈R，x2＋x≤0 D． x∈R，x2＋x＜0
【解析】选B　由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.
三．专项检测
A级——基础达标
1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B等于(　　)
A．{(1,0)} B．{(0,1)} C．{1,0} D．
【解析】选D　因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A∩B＝ .故选D.
2．(2021·贵州贵阳检测)设集合M＝{x|y＝ln(x＋3)}，N＝{x|x≥2}，则(　　)
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝
【解析】选C　由x＋3>0得x>－3，所以M＝{x|x>－3}，所以N M.故选C.
3．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．[1,3] B．(1,3] C．{－1,2,3} D．{－1,0,2,3}
【解析】选C　因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0,1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1,0,1,2,3}，图中阴影部分表示的集合为( RA)∩B， RA＝{x|x≠0且x≠1}，所以( RA)∩B＝{－1,2,3}．故选C.
4．已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有(　　)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【解析】选B　因为B＝{x|x＝n2－1，n∈A}＝{－1,0,3,8}，所以P＝A∩B＝{0,3}，所以P的子集共有22＝4(个)．故选B.
5.已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条
【解析】由题意可得p：x＜y，q：0＜x＜y，故p是q的必要不充分条件故选B.
6.调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是(　　)
A．最多人数是55 B．最少人数是55
C．最少人数是75 D．最多人数是80
【解析】选B　设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.
又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则x∈[0,20]，以上两种药都带的人数为y.
根据题意列出Venn图，如图所示，由图可知，x＋75＋80－y＝100.
∴y＝55＋x.∵0≤x≤20，∴55≤y≤75，故最少人数是55.故选B.
7.设全集S＝{1,2,3,4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若＝{2,3}，则m＝________.
【解析】因为S＝{1,2,3,4}， SA＝{2,3}，所以A＝{1,4}，即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.
8.已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．
【解析】∵A＝[－5,2]，B＝(1,4)，∴ UB＝{x|x≤1或x≥4}，则题图中阴影部分所表示的集合为( UB)∩A＝{x|－5≤x≤1}．
9.已知集合A＝，B＝{x|x<2m－1}，且A ，则m的最大值是________．
【解析】依题意，A＝＝，，
又A ，所以2m－1≤，解得m≤.故m的最大值为.
B级——综合应用
1.已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝ ，则实数m＝(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
【解析】选C　因为A∩B＝ ，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝.故选C.
2.已知集合A＝{x|y＝ }，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1,2]
C．[－2,1] D．[2，＋∞)
【解析】选C　集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为A∪B＝A，所以B A.
又B≠ ，所以有所以－2≤a≤1.故选C.
3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.
【解析】由题意，得A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3＜x＜3}，
所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3＜x＜0}．
因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3＜x＜0}＝{x|－3＜x＜0或x≥3}．
4.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为________．
【解析】∵B＝{x|ax2＝1，a≥0}，∴当a＝0时，B为空集，此时满足B A，∴集合A与B构成“全食”；若a>0，则B＝.由题意知＝1或＝，
当＝1时，B＝{1，－1}，B A，A与B构成“全食”；当＝时，B＝，A与B构成“偏食”．解得a＝1或a＝4.综上，a的取值集合为{0,1,4}．
5.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________．
【解析】 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，
由x∈P是x∈S的必要条件，知S P.
则所以0≤m≤3.
所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．
6.已知命题p： x∈[1,2]，x2≥a；命题q： x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0成立．若命题p和q都是真命题，则实数a的取值范围为________．
【解析】因为p是真命题，所以a≤(x2)min，又x∈[1,2]，所以a ≤1；因为q是真命题，所以x＋2ax0＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4(2－a)≥ 0，解得a ≥1或a≤－2.故有a ≤－2或a＝1，即实数a的取值范围为(－∞，－2]∪{1}．
7..已知，其中均为实数.证明：对于任意的，均有的充要条件是.
【解析】因为，所以函数的图象的对称轴方程为，且，当时，.
先证必要性：对于任意的，均有，则，所以；
再证充分性：因为，当时，的最大值为，
所以对任意的，，即.
综上，是对于任意的，均有的充要条件.
8.若集合，，。
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围。
【解析】（1）：，，
（2），，
，，
9.已知集合，。
（1）设命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若存在，求实数的取值范围。
【解析】（1），
，
由题知，，，。
（2）∵存在，即，
，或，专题01 集合与常用逻辑用语
一．构建知识框架
二．知识点复习
2.1集合的有关概念
1．集合元素的三大特性： 、 、
2．元素与集合的两种关系：属于，记为 ；不属于，记为 .
3．集合的三种表示方法： 、 、
4．五个特定的集合
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
注意：(1)解题时，应注意检查集合的元素是否满足互异性；
(2)N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*或N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.
例1.已知集合，集合，则中所含元素的个数为（ ）
A.3 B.6 C.8 D.10
例2.(易错题)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．2 C．4 D．2或4
2.2集合间的基本关系
表示 关系　　 文字语言 符号语言 记法
基本关系 子集 集合A中 元素都是集合B中的元素 x∈A x∈B
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中 有一个元素不属于A A B，且 x0∈B，x0 A
相等 集合A，B的元素完全 A B，B A
空集 不含任何元素的合．空集是任何集合A的 x，x ， A
注意：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，时刻关注对于空集的讨论．
例3.(易错题)已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，若A B，则实数a的取值范围是________．
例4.设全集U＝R，则集合M＝{0,1,2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为(　　)
2.3集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为
图形表示
意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈U，且x A}
性质 A∪ ＝ ； A∪A＝ ； A∪B＝B∪A A∩ ＝ ； A∩A＝ ； A∩B＝B∩A A∪()＝ ； A∩()＝ ； ＝
注意：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
例5.已知集合则=（ ）
B. C. D.
例6.已知集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由.
例7.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
2.4充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的 条件，q是p的 条件
p是q的 条件 p q且qp
p是q的 条件 p / q且q p
p是q的 条件 p q
p是q的 条件 pq且q p
注意：注意区别A是B的充分不必要条件(A B且BA)与A的充分不必要条件是B(B A且A B)两者的不同．
例8.“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
例9.设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.5全称命题和特称命题
1．全称量词和存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等
2．全称命题和特称命题
名称 形式　　 全称命题 特称命题
语言表示 对M中任意一个x，有p(x)成立 M中存在元素x0，使p(x0)成立
符号表示
3．全称命题与特称命题的否定
注意：对没有量词的命题要结合命题的含义加上量词，再改变量词．
例10.命题“ x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)
A． x0∈R，x＋x0≤0　　 B． x0∈R，x＋x0＜0
C． x∈R，x2＋x≤0 D． x∈R，x2＋x＜0
三．专项检测
A级——基础达标
1．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B等于(　　)
A．{(1,0)} B．{(0,1)} C．{1,0} D．
2．设集合M＝{x|y＝ln(x＋3)}，N＝{x|x≥2}，则(　　)
A．M＝N B．M N C．N M D．M∩N＝
3．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．[1,3] B．(1,3] C．{－1,2,3} D．{－1,0,2,3}
4．已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有(　　)
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
5.已知命题p：2x＜2y，命题q：log2x＜log2y，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条
6.调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是(　　)
A．最多人数是55 B．最少人数是55
C．最少人数是75 D．最多人数是80
7.设全集S＝{1,2,3,4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若＝{2,3}，则m＝________.
8.已知集合U＝R，集合A＝[－5,2]，B＝(1,4)，则下图中阴影部分所表示的集合为________．
9.已知集合A＝，B＝{x|x<2m－1}，且A ，则m的最大值是________．
B级——综合应用
1.已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝ ，则实数m＝(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
2.已知集合A＝{x|y＝ }，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1,2]
C．[－2,1] D．[2，＋∞)
3.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.
因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3＜x＜0}＝{x|－3＜x＜0或x≥3}．
4.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为________．
5.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________．
6.已知命题p： x∈[1,2]，x2≥a；命题q： x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0成立．若命题p和q都是真命题，则实数a的取值范围为________．
7..已知，其中均为实数.证明：对于任意的，均有的充要条件是.
8.若集合，，。
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围。
9.已知集合，。
（1）设命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
（2）若存在，求实数的取值范围。

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