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4．1　数列的概念
第2课时　数列的递推公式与前n项和
学习指导 核心素养
1.理解数列递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的项．2．理解数列{an}前n项和的含义，会用an与Sn的关系求通项公式an. 1.逻辑推理：根据递推公式求数列的项．2．数学运算：由Sn求an.
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
2．数列的前n项和公式
(1)数列{an}的前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
(2)数列{an}的前n项和公式
如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
(3)an与Sn的关系
an＝．
即时检测
1．仅由数列的递推公式是否可以确定数列？
提示：不能，还需知道数列的首项或前n项．
2．在an和Sn的关系中，an＝Sn－Sn－1是否对任意n∈N*成立？
提示：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，且只有n＝1的结果符合n≥2时an的表达式，公式an＝Sn－Sn－1才对任意n∈N*成立．
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)递推公式也是表示数列的一种方法．(　　)
(2)已知数列{an}满足an＋1＝an＋2，则数列{an}唯一确定．(　　)
(3)若Sn为数列{an}的前n项和，则a9＝S10－S9.(　　)
(4)S2n表示数列{an}中所有偶数项的和．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
4．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　)
A．1，2，3，4，…　　　　 B．1，，2，2，…
C．，2，，2，… D．0，，2，2，…
答案：B
5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a4＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.由题意可知a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
6．已知数列{an}满足an＝，则S3＝________．
解析：因为an＝，所以a1＝1，a2＝3，a3＝6.即S3＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋6＝10.
答案：10
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　递推公式的应用
角度一　由递推公式求数列的项
利用数列的通项公式和递推公式两种方法表示数列时各有什么优点．
探究感悟：通项公式法表示数列，可以方便地求出数列任意一项，利于研究数列的性质；递推公式法表示数列，可以揭示数列前后几项间的联系．
例 (1)已知数列{an}的首项a1＝1且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．
C． D．
(2)已知数列{an}满足an＋1＝1－且a1＝2，则a2 022＝(　　)
A． B．－1
C．2 D．1
【解析】　(1)a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.
(2)由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，…，可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1，2，，－1，….而2 022＝674×3，故a2 022＝a3＝－1.
【答案】　(1)C　(2)B
归纳总结
由递推公式写出数列的项的方法
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．
(2)若通过计算数列的前几项得到数列的周期性，可通过周期性计算数列的项．　
角度二　由递推公式求通项公式
例 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　方法一(归纳法)：数列{an}的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，
由此可得数列的一个通项公式为an＝.
方法二(迭代法)：a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…，an＝an－1＋－(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－
＝2－＝(n≥2).
又a1＝1，所以an＝(n∈N*).
方法三(累加法)：an＋1－an＝－，
a1＝1，a2－a1＝1－，a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各项两边分别相加得an＝1＋1－＋－＋…＋－.所以an＝(n≥2).
因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*).
【答案】　B
拓展探究
本例中，若将条件“an＋1＝an＋－”改成“an＋1＝an·”，其他条件不变，求an.
解：方法一(累乘法)：因为＝，
所以＝，＝，＝，…，＝(n≥2).
以上各式两边分别相乘，得＝×××…×＝n.所以an＝n(n≥2).
又因为a1＝1也适合上式，所以an＝n.
方法二(迭代法)：由＝(n≥2)知，＝，＝，＝，…，所以an＝a1××××…××＝1××××…××＝n(n≥2).
又因为a1＝1也适合上式，所以an＝n.
归纳总结
由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的首项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．
(2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an＋1＝pan(p为非零常数)或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．　
即时检测
1．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝，则a2 023＝________．
解析：由题意得，a1＝－2，a2＝＝＝－，a3＝＝＝，a4＝＝＝3，a5＝＝＝－2，…，所以数列{an}是以4为周期的数列，
所以a2 023＝a3＝.
答案：
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋，则an＝________．
解析：当n≥2时，an－an－1＝＝－，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝；又a1＝1也适合上式，所以an＝.
答案：
探究点2　由前n项和Sn求通项公式an
数列{an}可否由其前n项和Sn唯一确定？怎样通过Sn求an？
探究感悟：如果已知数列{an}的前n项和公式，可以求出数列的每一项，从而确定数列，可以利用an＝来得到数列的通项公式．
例 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.
【解】　因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
又当n＝1时，上式成立，所以an＝4n－32，n∈N*.
拓展探究
将本例中的条件“Sn＝2n2－30n”改成“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
解：因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.
当n＝1时不符合上式．
所以an＝
归纳总结
已知Sn求an的3个步骤
(1)先利用a1＝S1求出a1.
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的解析式．
(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的解析式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写．如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　
即时检测
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝，则a5＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.根据题意，Sn＝，则S5＝，S4＝，则a5＝S5－S4＝－＝，故选B.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋2n＋1，则an＝________．
解析：因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2.由于a1不适合此式，
所以an＝
答案：
探究点3　数列的单调性与最值
已知数列的通项公式，怎样探讨数列的最大项、最小项？
探究感悟：数列是特殊的函数，可以通过数列的图象，单调性和变化趋势确定数列的最大项、最小项．
例 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×(n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
【解】　方法一：作差比较an＋1与an的大小，判断数列{an}的单调性．an＋1－an＝(n＋3)×－(n＋2)×＝×.
当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
所以数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝.
方法二：作商比较an＋1与an的大小，判断数列{an}的单调性．
＝＝.
易知an＞0，令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，所以数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝.
方法三：假设数列{an}中有最大项，且最大项为第n项，则即
解得即5≤n≤6.故数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝.
归纳总结
(1)通过解不等式an＋1－an＞0来确定数列的单调性，进而求其最大(小)值．
(2)通过解不等式组来确定，即设第k(k∈N*，k＞1)项是数列的最大(小)项，则，求出k的正整数值后代入通项公式即得最大(小)项．　
即时检测
1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是________．
解析：方法一：由数列{an}为递增数列，知an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t＞0恒成立，即t＞－(2n＋1)恒成立．
而n∈N*，所以t＞－3，故t的取值范围是(－3，＋∞).
方法二：an＝n2＋tn＝－，
由于n∈N*，且数列{an}为递增数列，结合二次函数的图象(图略)可得－＜，解得t＞－3，
故t的取值范围是(－3，＋∞).
答案：(－3，＋∞)
2．若数列中的最大项是第k项，则k＝________．
解析：令an＝n(n＋4)，易知an＞0，
由＝＞1，得n＜.
由n∈N*得n≤3，于是有a1＜a2＜a3＜a4＞a5＞…，故k＝4.
答案：4
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5＝(　　)
A．－　　　B．　　　　C．－　　　 D．
解析：选B.由an＝(－1)n·2an－1及a1＝，知a2＝，a3＝－2a2＝－，a4＝2a3＝－，a5＝－2a4＝.
2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3
C．an＝ D．an＝
解析：选C.当n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3.由于n＝1时不适合n≥2的解析式，则an＝故选C.
3．(2021·四川宜宾高三期末)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an，则a10＝(　　)
A．511 B．512 C．1 023 D．1 024
解析：选B.因为Sn＋1＝Sn＋2an，所以Sn＋1－Sn＝2an，所以an＋1＝2an，又a1＝1，所以a2＝2，a3＝22，a4＝23，…，a10＝29＝512.
4．已知数列{an}满足a1＝，an＝an－1(n≥2)，则an＝________．
解析：因为an＝an－1(n≥2)，
所以当n≥2时，＝.
所以＝，＝，…，＝，＝，
以上n－1个式子两边分别相乘得··…··＝··…··，
即＝××2×1，所以an＝.
当n＝1时，a1＝＝，符合an＝，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
答案：
5．已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，则an＝________．
解析：方法一：因为ln an－ln an－1＝1(n≥2)，
所以ln ＝1，即＝e.
所以an＝··…··a1
又因为a1＝1符合上式，
所以an＝en－1.
方法二：当n≥2时，ln an－ln an－1＝1，
所以ln an－1－ln an－2＝1，
…
ln a2－ln a1＝1.
以上各式两边分别相加可得ln an－ln a1＝n－1，
所以ln an＝ln a1＋n－1＝n－1，所以an＝en－1；
又n＝1时，a1＝1也适合上式，
所以an＝en－1.
答案：en－1
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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