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4．2　等差数列
4．2.2　等差数列的前n项和公式
第1课时　等差数列前n项和公式及其性质
学习指导 核心素养
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程．2．掌握等差数列前n项和公式．3．掌握等差数列五个量a1，d，n，an，Sn的关系． 1.数学运算：a1，d，n，an，Sn中“知三求二”，Sn的最值．2．数学建模：利用等差数列求解相关问题．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
等差数列的前n项和公式
公式一 适用条件
Sn＝ 知首项、末项、项数
公式二 适用条件
Sn＝na1＋d 知首项、公差、项数
怎样从函数观点看待Sn和n的关系？
提示：公式二可变形为Sn＝n2＋n，d≠0时，Sn是关于n的二次函数(常数项为零).
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于an＝Sn－Sn－1成立的条件是n∈N*.(　　)
(2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”．(　　)
(3)若数列{an}的前n项和为Sn，则a3＋a4＋a5＝S5－S2.(　　)
(4)若数列{an}的前n项和为Sn＝kn(k∈R)，则{an}为常数列．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，d＝2，则S20＝(　　)
A．230　　　　　　　　　 B．420
C．450 D．540
解析：选B.S20＝20a1＋d＝20a1＋190d＝20×2＋190×2＝420.
3．在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝(　　)
A．5或7 B．3或5
C．7或－1 D．3或－1
解析：选D.a1＋(n－1)×2＝11　①，
Sn＝na1＋×2＝35　②，
由①②解得a1＝3或a1＝－1.
4．已知数列{an}为等差数列，若a1＝15，a5＝25，则S5＝________．
解析：S5＝＝＝100.
答案：100
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　等差数列前n项和的有关计算
等差数列的前n项和公式与二次函数有什么关系？
探究感悟：在等差数列{an}中，Sn＝na1＋d＝n2＋n.
令A＝，B＝a1－，得Sn＝An2＋Bn.
当A≠0(d≠0)时，Sn是关于n的“二次函数”，那么点(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上；
当A＝0(d＝0)时，Sn是关于n的“一次函数”(B≠0，此时a1≠0)或“常函数”(B＝0，此时a1＝0)，点(n，Sn)是直线y＝Bx上一系列孤立的点．
例 在等差数列{an}中，
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d；
(3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
【解】　(1)设等差数列{an}的公差为d，则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39.
又因为a8＝4＋(8－1)d＝39，所以d＝5.
所以a8＝39，d＝5.
(3)由题意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.又a15＝＋(15－1)d＝－，
所以d＝－.所以n＝15，d＝－.
归纳总结
求等差数列基本量的方法
(1)思想方法：运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组)，通过解方程(组)求出未知量，体现方程思想．
(2)注意点
①注意已知与未知条件的联系；
②有时运用整体代换的思想．　
即时检测
1．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝6，则(　　)
A．Sn＝n2－3n　　　　　 B．Sn＝
C．an＝3n－6 D．an＝2n
解析：选BC.设等差数列{an}的公差为d，
因为S3＝0，a4＝6，
所以解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋3(n－1)＝3n－6，
Sn＝na1＋d＝－3n＋＝，
故选BC.
2．(2020·新高考卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
解析：由题意知数列{2n－1}为1，3，5，7，9，11，13，…，{3n－2}为1，4，7，10，13，16，19，…，所以数列{an}为1，7，13，19，…，即an＝1＋6(n－1)＝6n－5，所以数列{an}的前n项和为＝3n2－2n.
答案：3n2－2n
探究点2　等差数列前n项和的性质
角度一　求解比值问题
等差数列前n项和Sn和n是什么函数关系？
探究感悟：d≠0时，Sn是n的二次函数，且常数项为0.
例 (1)已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝(　　)
A． B．
C． D．
(2)(2021·天津市第一百中学期中)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为________．
【解析】　(1)方法一：利用等差数列的前n项和的性质得＝＝＝.
方法二：由条件可设Sn＝2n×nt，Tn＝(3n＋1)×nt(t≠0).
则a5＝S5－S4＝50t－32t＝18t，
b5＝T5－T4＝80t－52t＝28t.
所以＝＝.
(2)方法一：设该等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得
解得d＝5.
方法二：利用等差数列前n项和的性质求解．记该等差数列的前12项中偶数项的和为S偶，奇数项的和为S奇．
由已知条件，得
解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
【答案】　(1)B　(2)5
拓展探究
本例(1)中，已知条件不变，则＝________．
解析：由条件可设Sn＝2n×nt，Tn＝(3n＋1)×nt(t≠0)，则a5＝S5－S4＝50t－32t＝18t，
b6＝T6－T5＝114t－80t＝34t，
所以＝＝.
答案：
归纳总结
等差数列前n项和比值问题的思路
(1)数列{an}中，若项数为2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝；若项数为2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an，S奇－S偶＝an，＝.
(2)若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·.
(3)利用等差数列前n项和形式可设前n项和Sn＝An2＋Bn(常数项为0)，再结合题设条件解决问题．　
角度二　与前n项和有关的新数列
例 (1)(2021·广东省佛山市期末)在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为(　　)
A．160 B．180
C．200 D．220
(2)一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则该数列的前110项和为________．
【解析】　(1)方法一：设数列{an}的公差为d，由题意得解得故S20＝20a1＋×d＝180.
方法二：由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，
由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.
(2)方法一：设等差数列的首项为a1，公差为d，
则解得
故S110＝110a1＋d＝110×＋×＝－110.
方法二：设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)，
则解得
故Sn＝－n2＋n，
所以S110＝－×1102＋×110＝－110.
方法三：因为数列{an}为等差数列，所以数列也是等差数列，且，与三点共线，
于是有＝，将S10＝100，S100＝10代入，即得S110＝－110.
方法四：由题意知数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差数列．设其公差为d，前10项和为10S10＋d＝S100＝10，解得d＝－22，
所以S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，所以S110＝－120＋S100＝－110.
方法五：因为S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝＝，
又S100－S10＝10－100＝－90，所以a1＋a110＝－2，
所以S110＝＝－110.
【答案】　(1)B　(2)－110
归纳总结
根据等差数列的前n项和构造新的等差数列的两种方法
已知等差数列{an}的前n项和Sn，可以构造出新的等差数列，从而利用等差数列的相关知识解题．常见的构造方法有：(1)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等差数列，公差为数列{an}的公差的k2倍；(2)数列是等差数列，公差为数列{an}的公差的.事实上，＝An＋B(A，B为常数) 为等差数列，且有，，成等差数列，其实质是Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列的变形．　
即时检测
1．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn.若＝，则＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
解析：选C.令Sn＝2λn2，Tn＝λn(3n＋7)，
则a6＝S6－S5＝22λ，b3＝T3－T2＝22λ，
所以＝1.
2．(2021·辽宁省沈阳市四校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，S7－S5＝24，a3＝5，则S7＝(　　)
A．25 B．49
C．15 D．40
解析：选B.由等差数列前n项和的性质可得S5＝5a3＝5×5＝25，由S7－S5＝24得S7＝S5＋24＝25＋24＝49.
3．(2021·天津市静海区六校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝(　　)
A．8 B．12
C．16 D．20
解析：选D.因为数列{an}是等差数列，且S4＝8，S8＝20，S8－S4＝12，所以数列S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，…是等差数列，且首项为8，公差为4.所以a13＋a14＋a15＋a16＝S16－S12＝8＋4×3＝20.
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝(　　)
A．16　　　　　　　　　　 B．24
C．36 D．48
解析：选D.设数列{an}的公差为d，则Sn＝＋d，所以S4＝2＋6d＝20.所以d＝3.所以S6＝3＋15d＝48.
2．(2021·山西省太原五中月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a17＝a19＋3，则S29＝(　　)
A． B．81
C． D．87
解析：选D.方法一：设数列{an}的公差为d，则2(a1＋16d)＝a1＋18d＋3，得a1＋14d＝3，即a15＝3，则S29＝＝29a15＝87.
方法二：2a17＝a15＋a19＝a19＋3，则a15＝3，故S29＝29a15＝29×3＝87.
3．(2021·河北省石家庄市模拟)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和．若S2 020＝2 020，且＝－＝2 000，则a1＝(　　)
A．－2 021 B．－2 020
C．－2 019 D．－2 018
解析：选D.因为{an}是等差数列，Sn为其前n项和，
设公差为d，则＝a1＋(n－1)，＝a1，
所以数列是以a1为首项，为公差的等差数列．
则－＝a1＋(2 020－1)·－＝1 000d＝2 000，
解得d＝2.又S2 020＝2 020，
所以＝＝1＝a1＋(2 020－1)×，
所以a1＝－2 018.
4．(2021·山东省东营市质检)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝(n∈N*)，则＋＝________．
解析：因为b3＋b18＝b6＋b15＝b10＋b11，所以＋＝＝＝＝＝.
答案：
5．在等差数列{an}中，S10＝120且在这10项中，＝，则公差d＝________．
解析：由
解得
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
答案：2
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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