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4．2　等差数列
4．2.2　等差数列的前n项和公式
第2课时　等差数列前n项和的应用
学习指导 核心素养
1.巩固等差数列的前n项和公式． 2．掌握等差数列前n项和的最值问题解法．
3．能利用等差数列前n项和公式解决相关问题． 1.数学运算：公式巩固．
2．逻辑推理、数学建模：求前n项和最值，求解相关问题．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．求等差数列前n项和Sn的最大(小)值的常用方法
(1)通项法
利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项．
若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定；
若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定．
(2)二次函数法
在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n的值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定．
2．等差数列求和问题的解题步骤
(1)判断问题中涉及的数列是否为等差数列；
(2)若是等差数列，找出首项、公差、项数；
(3)确认问题是求an还是Sn；
(4)选择恰当的公式计算并转化为实际问题的解．
3.在等差数列{an}中，若d≠0，则Sn是n的二次函数，可否说Sn的最值在函数图象顶点处取到？
提示：在讨论Sn最值时，要注意n∈N*，Sn的最值应在顶点处或离顶点最近的(n，Sn)处取到．
即时检测
1．已知数列{2n－19}，那么这个数列的前n项和Sn(　　)
A．有最大值且是整数　　　　
B．有最小值且是整数
C．有最大值且是分数
D．无最大值和最小值
解析：选B.因为an＝2n－19，所以数列{2n－19}为递增数列，a9＜0，a10＞0，所以S9最小，S9显然为整数．故选B.
2．(2021·广东省珠海市期中)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为(　　)
A．56 B．58
C．62 D．60
解析：选D.因为Sn＝n2－5n＋2，
所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－5n＋7，
两式相减可得an＝2n－6，
当n＝1时，a1＝S1＝－2，不满足上式，
故an＝
则数列{an}从第2项开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，
所以数列{|an|}的前10项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋＝60.
3．在数列{an}中，a1＝－29，an＋1＝an＋3(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝(　　)
A．10 B．145
C．300 D．320
解析：选C.因为a1＝－29，an＋1＝an＋3(n∈N*)，
所以数列{an}是以－29为首项，
公差为3的等差数列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－32，
所以当n≤10时，an＜0；当n≥11时，an＞0；
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝－(a1＋a2＋…＋a10)＋(a11＋a12＋…＋a20)＝－×10＋×10＝－×10＋×10＝300.故选C.
4．某第三方支付平台的会员每天登录该平台都能得到积分，第一天得1积分，以后只要连续登录每天所得积分都比前一天多1分．某会员连续登录两周，则他两周共得________积分．
解析：依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列，故他这两周共得＝105积分．
答案：105
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　等差数列前n项和的最值
等差数列中从项的变化趋势来看，Sn的最值何时取到？
探究感悟：若a1＞0，d＜0，则Sn的最大值可通过寻找最后一个正数项求解．若a1＜0，d＞0，则Sn的最小项可通过寻找最后一个负数项求解．
例 (1)(2021·吉林省通化市月考)在等差数列{an}中，若|a3|＝|a9|，公差d＜0，则前n项和Sn取得最大值时正整数n＝(　　)
A．4或5　　　　　　　 B．5或6
C．6或7 D．7或8
(2)在等差数列{an}中，若a1＞0，S11＝S18，则数列{an}的前________项的和最大．
【解析】　(1)方法一：因为d＜0，|a3|＝|a9|，所以a3＋a9＝0，则a6＝0，所以a1＋5d＝0，所以Sn＝na1＋d＝－5dn＋d＝－d.
由n∈N*知，当n＝5或n＝6时，Sn最大．
方法二：因为d＜0，|a3|＝|a9|，所以a3＋a9＝0，
所以a1＋a11＝a3＋a9＝0，
所以S11＝＝0.
易知Sn对应的二次函数的图象开口向下(如图所示)，利用二次函数图象的对称性及n∈N*知，当n＝5或n＝6时，Sn取得最大值．
方法三：因为d＜0，|a3|＝|a9|，所以a3＋a9＝0.而a3＋a9＝2a6，所以a6＝0，所以S5＝S6.
故S5，S6均为Sn的最大值．
(2)方法一：由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d＞0，所以d＜0.
解不等式组
即得14≤n≤15.
故当n＝14或n＝15时，Sn最大．
方法二：由S11＝S18可得，a1＝－14d，
所以Sn＝na1＋d＝－d.
由a1＞0知d＜0，结合二次函数图象的对称性及n∈N*，可得当n＝14或n＝15时，Sn最大．
方法三：由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，所以a15＝0.
又a1＞0，所以d＜0，故当n＝14或n＝15时，Sn最大．
方法四：由S11＝S18，＝及Sn对应的二次函数图象的对称性可知，当n＝14或n＝15时，Sn最大．
【答案】　(1)B　(2)14或15
归纳总结
等差数列前n项和的最值求解的常用方法
方法一：通项公式法：其基本思想是通过通项公式求出符号变化的项，从而求得和的最值；
方法二：二次函数法：其基本思想是利用前n项和公式的二次函数特性，借助抛物线的图象求最值．　
即时检测
1．(多选)(2021·山东菏泽一中高二月考)等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是(　　)
A．d＞0 B．a1＜0
C．当n＝5时Sn最小 D．Sn＞0时n的最小值为8
解析：选ABD.由题意，设等差数列{an}的公差为d，
因为a7＝3a5，可得a1＋6d＝3(a1＋4d)，解得a1＝－3d.
又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A，B正确；
因为Sn＝n2＋n＝n2－n，由n＝－＝可知，当n＝3或n＝4时Sn最小，故C错误；
令Sn＝n2－n＞0，解得n＜0或n＞7(n∈N*)，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确．
2．(2021·河北省张家口市段考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 020＞0，S2 021＜0，则当n＝________时，Sn最大．
解析：由等差数列的性质知，S2 021＝＝2 021a1 011＜0，所以a1 011＜0.又S2 020＝＝1 010(a1 010＋a1 011)＞0，所以a1 010＋a1 011＞0，而a1 011＜0，故a1 010＞0.因此当n＝1 010时，Sn最大．
答案：1 010
探究点2　等差数列求和的实际应用
怎样从实际问题中建立等差数列模型？
探究感悟：抓住实际问题中的数量关系，恰当引入变量n(n∈N*)及与其相关的an，将an和n之间的关系用数学式子表示出来，即得数列模型an＝f(n)，然后判断此数列是否为等差数列．
例 某单位用分期付款的方式为职工购买40套公寓，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则全部按期付清后，买这40套公寓实际花了多少钱？
【解】　由于购房时先付150万元，则欠款1 000万元．
依题意分20次付款，则每次付款金额顺次构成数列{an}，
所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)，
所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列，
所以a20＝60－19×＝50.5，
所以S20＝(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.
所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元).
故全部按期付清后，买这40套公寓实际花了1 255万元．
归纳总结
等差数列求和公式的实际应用要点
等差数列的求和公式在日常生活中有广泛的应用，利用它可以解决一些分期付款、行程、相遇问题，解有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案．　
即时检测
(2021·北京西城区高二期末)某渔业公司今年年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元．若该渔船预计使用n年，其总花费(含购买费用)为________万元；当n＝________时，该渔船年平均花费最低(含购买费用).
解析：每年捕捞工作所需的费用构成首项为4，公差为2的等差数列，所以总费用Sn＝n×4＋×2＋100＝n2＋3n＋100.平均花费为＝n＋＋3≥2＋3＝23，当且仅当n＝，即n＝10时，等号成立，所以n＝10时，该渔船年平均花费最低．
答案：n2＋3n＋100　10
探究点3　等差数列的综合应用
例 (1)冬春季是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的共有(　　)
A．225人 B．255人
C．365人 D．465人
(2)(2021·湖南怀化高一联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝(　　)
A．100 B．101
C．200 D．201
(3)设数列bn＝－2n＋21，则数列{|bn|}的前n项和Sn＝________．
【解析】　(1)当n为奇数时，an＋2＝an，当n为偶数时，an＋2－an＝2，
所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列，
所以S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)＝15＋15×2＋×2＝255，故选B.
(2)因为A，B，C三点共线，所以a1＋a200＝1，故S200＝＝100，故选A.
(3)当n≤10时，bn＞0，
此时Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝－n2＋20n；
当n≥11时，Sn＝b1＋b2＋…＋b10－(b11＋b12＋…＋bn)
＝－(b1＋b2＋…＋bn)＋2(b1＋b2＋…＋b10)，
＝－＋2×
＝n2－20n＋200.
综上所述，Sn＝
【答案】　(1)B　(2)A　(3)
归纳总结
等差数列求和的综合应用
(1)对数列结构进行分析变形，寻找适当方法求和．
(2)数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略
①等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|} 就等于数列{an}，可以直接求解．
②等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理．
③等差数列{an}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列分成两段处理．　
即时检测
1．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　)
A．0 B．100
C．－100 D．10 200
解析：选B.因为an＝f(n)＋f(n＋1)，所以由已知条件知
an＝
所以an＝(－1)n·(2n＋1)，
所以an＋an＋1＝2(n是奇数)，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)
＝2＋2＋2＋…＋2＝100.
2．在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18＝________．
解析：由a1＞0，a10·a11＜0知d＜0，且a10＞0，a11＜0，
所以T18＝a1＋a2＋…＋a10－a11－a12－…－a18＝2S10－S18＝60.
答案：60
3．(2021·山东兰陵一中高三模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，记Sn是数列{an}的前n项和，则S40＝________．
解析：当n是奇数时，an＋2－an＝1，数列{an}中奇数项构成等差数列；当n是偶数时，an＋2＋an＝1.
所以S40＝(a1＋a3＋a5＋…＋a39)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a40)＝20a1＋×1＋10＝220.
答案：220
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．在等差数列{an}中，a1＞0，3a8＝5a13，则Sn中最大的是(　　)
A．S21　　　　　　　 B．S20
C．S19 D．S18
解析：选B.设等差数列的公差为d.
由3a8＝5a13，
得3(a1＋7d)＝5(a1＋12d)，
整理得a1＝－d.
又a1＞0，所以d＜0，
因此Sn＝n2＋n＝n2－20dn＝(n－20)2－200d，所以S20最大．故选B.
2．(2021·山东日照高二期末)我国古代某数学著作中有这么一道题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是说，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为(　　)
A．75斤 B．70斤
C．65斤 D．60斤
解析：选C.设第一个孩子分到a1斤棉花，则由题意，得S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65，故选C.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值为________．
解析：对n分情况讨论：当n＝1时，S1＝a1＝－2.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5，
所以an＝
由通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10，
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67.
答案：67
4．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
解析：由当且仅当n＝8时Sn最大，
知a8＞0且a9＜0，
于是
解得－1＜d＜－，
故d的取值范围为.
答案：
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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