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5.4.3 正切函数的性质与图像重要考点归纳总结
考点一：正切函数的图像识别与应用
1．在（0，）内，使成立的的取值范围为（ ）
A．（，） B． C． D．
2．（1）若则x的取值范围是______；（2）不等式的解集为______．
3．函数 在 ，)上的大致图象依次是下图中的(　　)
A．①②③④ B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③
4．函数的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
5．函数在区间内的图象是（ ）
A． B．
C． D．
考点二：正切函数的定义域和值域
6．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知在区间上的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
8．函数，的值域为_________.
9．函数，的值域是______．
10．若，则的值域为______．
11．函数的值域是
A． B． C． D．
考点三：正切函数的周期性和对称性
12．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为，对称中心为
B．的最小正周期为，对称中心为
C．的最小正周期为，对称中心为
D．的最小正周期为，对称中心为
14．函数图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
15．给出下列函数：①；②；③；④.其中最小正周期为的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．②④ D．①③
16．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是（ ）
A．0 B．1
C．-1 D．
17．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
考点四：正切函数的奇偶性
18．“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．在下列函数中，同时满足：①在上递增；②以为周期；③是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．.
20．有下列命题①是增函数；②是减函数；③是奇函数；④是偶函数.其中所有正确命题的序号是___________.
21．已知函数，且，则______．
22．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
考点五：正切函数的单调性
23．函数的单调递减区间为_______________.
24．函数的单调递减区间为______.
25．，，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
26．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
27．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
28．已知函数在内是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．已知函数，点和是函数图像的相邻的两个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（ ）
A． B． C． D．
考点六：正切函数的综合应用
30．关于函数的叙述中，正确的有（ ）
①的最小正周期为；②在区间内单调递增；
③是偶函数；④的图象关于点对称．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
31．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数在定义域内是增函数
B．函数的增区间是
C．函数的定义域是
D．函数在上的最大值为，最小值为0
32．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图象关于中心对称
C．在区间上单调递增 D．的值域为
33．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．
34．已知函数的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为和，且过点.求：
（1）函数的解析式；
（2）满足的x的取值范围.
参考答案
1．B【详解】
画出和直线的图象，
由图象可得,在上解集为，
故选B.
2．
【详解】
（1）根据正切函数的图象，可知在上，满足的x的取值范围是，而正切函数的最小正周期是，故满足的x的集合是；
（2）由正切函数的图象，可知，所以原不等式的解集为．
故答案为：；
3．C【详解】
对应的图象为①， 对应的图象为②， 对应的图象为④，对应的图象为③.故选C.
4．B
【详解】
由，
则所以，即函数是偶函数故排除A，C，
当时，，排除D.故选：B
5．A【详解】
函数，
当时，，所以，故排除C、D选项，
当时，，所以，故排除B选项，
故选：A.
6．A【详解】
由
故选：A
7．A【详解】
因为，即，
又，所以，所以，
所以，．
故选：A．
8．【详解】
∵
∴
令,则,的图象如图所示
由图知所求函数的值域为
故答案为:
9．
【详解】
，
故答案为：
10．【详解】
解：当时，可得，，此时，则；
当时，可得，，此时，则．
所以函数的值域为．
故答案为：
11．C【详解】
设,则
,
函数在上为增函数，
,即.
故选C
12．A【详解】
函数的最小正周期是 ，
故选：A.
13．D【详解】
因为函数，
所以的最小正周期为，对称中心为，
故选：D
14．D【详解】
令，得，
故函数图象的对称中心的坐标为.
故选:D.
15．A【详解】
①，其最小正周期为；
②的图象，如图所示：
，
由图象知的最小正周期为；
的最小正周期；
的图象如图所示：
，
由图象知最小正周期.
故选：A.
16．A【详解】
因函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的周期为，
则，解得，即，于是得，
所以的值是0.
故选：A
17．D【详解】
函数的图象是由的图象先向右平移个单位长度，再把轴下方的图象翻折到轴上方得到，故的最小正周期与的相同，为，
故选：D.
18．A【详解】
当时，，此时为奇函数，
当函数为奇函数，,
故即，此时推不出，
故“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件，
故选：A.
19．C【详解】
选项A，的最小正周期为,不满足②；
选项B，为偶函数,不满足③；
选项D，在上单调递减,不满足①；
选项C，设,在上单调递增,则,即,即在上单调递增,故满足①；的最小正周期为,故满足②；,故满足③
故选：C．
20．④
【详解】
由正切，余切函数的定义域知，两个函数均是不连续的，即不是单调函数，故①、②错误；
对于函数，在时，，在时，函数无意义，定义域不对称，则其是非奇非偶函数，故③错误；
由知，函数是偶函数，故④正确；
故答案为：④
21．0
【详解】
由，所以
又
故答案为：0
22．B
【详解】
解:，令，，于是
，所以是奇函数，从而的最大值G与最小值g的和为0，而.
故选：B
23．
【详解】
由题意可知，则要求函数的单调递减区间只需求的单调递增区间，
由得，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：.
24．
【详解】
,
解得，,
当时，
是增函数，
是减函数，
即的单调递减区间为，
故答案为：
25．B【详解】
解：因为，
所以，，
所以，又，
所以.故选：B.
26．D【详解】
∵ 指数函数在上为增函数，又，
∴ ，
又∵ 对数函数在上为增函数，又
∴ ，
函数在上为增函数，
∴ ，
∴，
故选：D．
27．【详解】
因为，所以，
所以，，
因为在上单调递增，
所以，解得：．
所以实数的取值范围是，故答案为：.
28．B【详解】
因为函数在内是减函数，所以,
又因为为奇函数，图像关于原点对称，
所以图像关于对称，
所以函数在内也是减函数，
所以，
所以，即.
又，所以.
故选：B.
29．A【详解】
点和是函数图像的相邻的两个对称中心
且正切函数图像相邻两个对称中心的距离，
函数的最小正周期，
即，解得.
又在区间内单调递减，
，
.
由，，
得，.
，
当时，；
当时，.
①当时，，
由，，
得，，
即函数的单调递减区间为，.
当时，函数的单调递减区间为，满足条件.
②当时，.
由，，
得，，
即函数的单调递减区间为，，
当，时，函数单调递减区间分别为，，
不符合题意，故舍去.
综上所述，.
故选：A.
30．C【详解】
由题意，函数
函数的最小正周期，故①错误；
令，解得，故函数在单调递增，当时，为区间，故②正确；
，令为奇函数，故③错误；
令，故，故的图象关于点对称，当时，为，故④正确
故选：C
31．BD【详解】
函数在定义域内不具有单调性，故A错误；
由，得，故B正确；
由，解得，故C错误；
因为函数在上是增函数，所以函数在时取得最大值，在时取得最小值0，故D正确．故选：BD．
32．BC【详解】
解：函数，
画出函数的图象，如图所示：
，的最小正周期是，
的值域为，
在区间上单调递增，
根据的图象，的图象关于中心对称，
说法正确的是BC．故选：BC．
（1）最小值，最大值（2）
（1）当时，，对称轴为
因为，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值,
所以函数的最大值为，最小值为.
（2）
是关于的二次函数，
它的图象的对称轴为直线．
因为在区间上是单调函数，
所以或，
即或，
又，
所以的取值范围是.
34．（1）；（2）
【详解】
（1）由题意可得的周期为，所以，所以，
因为它的图像过点，所以，即，
所以，即.又，所以，于是.
又它的图像过点，所以，得.
所以.
（2）由（1）得，所以，即.
解得.
所以满足的x的取值范围是

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