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26.1二次函数
华师大版 九年级下册
情景导入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？
复习旧知
函 数
一次函数
反比例函数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
思考 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？
y=x2，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数.
思考：这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧.
新知讲解
问题1 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？
如图，设围成的矩形花圃为ABCD，靠墙的
一边为AD，垂直于墙面的两边分别为AB和CD.
设AB长为x m(0＜x＜10),先取x的一些值，进而
可以求出BC边的长，从而可得矩形的面积y.
将计算结果写在下表的空格中：
A D
B C
新知讲解
单位：m
18
16
14
10
8
6
4
2
18
32
42
50
48
42
32
18
通过填写表格可以发现当x的值为__时,y的值最大,为___，即在问题1中垂直于墙的一边AB的长为__ m,另一边BC的长为__ m时,得到的矩形花圃的面积最大．
5
50
5
10
(1)在问题1中AB(x)是否可以任意取值 x的取值范围是什么
x不能任意取值. x的取值范围是0＜x＜10.
(2)在问题1中,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的_____,它们之间的函数关系式为y=_________ 或y=_________ ．
函数
x(20－2x)
－2x2+20x
新知讲解
问题2 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时,其每天的销售利润最大
(1)每件进价8元，每件10元出售，则每件利润为 元；
2
(2)若售价降低x元，则每件利润为 元；
(10－x－8)
(3)售价降低x元时，则能多卖 件，
共卖 件；
=100x
(100+100x)
(4)在问题2中等量关系是什么？
利润=(售价－进价)×销售量
新知讲解
在问题2中,设每件商品降价x元,该商品每天的利润为y元,则y是x的______.
函数关系式为:y=___________________ 或者为y= .
其中x表示每件商品降价的钱数,最小降价为__元,最大降价为__元,因此x的
取值范围为________．
函数
(10－x－8)(100+100x)
－100x2+100x+200
0
2
0≤x≤2
即y=－100x2+100x+200(0≤x≤2)
想一想
问题1-2中函数关系式有什么共同点
（0＜x＜10）
(1)自变量x的最高次数是 ；
(2)二次项系数a ；
(3)右边是关于自变量x的 式.
≠0
整
2
(自变量x不能出现在分母中或根号里)
归纳总结
二次函数的定义：形如y=________ _(a，b，c是常数,a___0)
的函数叫做二次函数，其中x是______ _，__是二次项系数，__
是一次项系数，__是常数项.
ax2+bx+c
≠
自变量
a
b
c
【点拨】注意二次函数的二次项的系数不为0是二次函数概念的一部分．
思考
二次函数要满足的三个条件是什么？
(1)自变量x的最高次数是2；
(2)a≠0；
(3)右边是关于自变量x的整式,自变量x不能出现在分母中或根号里．
练一练
下列函数中,是二次函数的是( )
(A)y=8x2+1 (B)y=8x+1
(C)y= (D)y=+1
A
规律总结
判断二次函数的三步法
观察
判断
化简
看所给二次函数是否是y=ax2+bx+c(a≠0)的形
式，若是则可结合二次函数的定义直接判断；
若所给函数不是y=ax2+bx+c(a≠0)的形式，
则要整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式；
结合二次函数的定义判断化成y=ax2+bx+c
(a≠0)的形式的函数是否是二次函数.
思考
二次函数的一般式y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联系和区别？
联系：(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且a ≠0；
(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函数y=ax2＋bx＋c中y=0时得到的.
区别:前者是函数.后者是方程；等式另一边前者是y,后者是0.
典例精析
例、函数y=(m+3)
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）m取什么值时，此函数是二次函数？
（1）由题可知,
解得
（2）由题可知,
解得
【点睛】第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视.
m=3.
练一练
若函数 是二次函数，那么m的取值范围是什么？
解：由题意得：
∴m的取值范围是m=3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
课堂练习
1.下列函数关系中,是二次函数的是( )
(A)在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
(B)当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系
(C)等边三角形的周长C与边长a之间的关系
(D)圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系
D
2.下列函数中,不是二次函数的是( )
(A)y=1-2x2 (B)y=2(x-1)2+4
(C)y= (x-1)(x+4) (D)y=(x-2)2-x2
D
课堂练习
3.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是_______．
4.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积增加y，那么y与x的函
数关系式为_________．
a≠-1
y=x2+6x
课堂练习
5.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2.
(1)写出y与x之间的关系式;
(2)当圆的半径分别增加1cm, cm,2cm时,圆的面积各增
加多少
解：(1)y=π(x+1)2－π=πx2+2πx
(2)当x=1cm时, y=3π(cm2)
当x=cm时, y=(2+2 )π(cm2)
当x=2cm时, y=8π(cm2)
作业布置
2.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2.求
（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）当x=3时矩形的面积.
1.课本P4 习题26.1 1,2,3
课堂小结
1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax (a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax +c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax +bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax +bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
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26.1二次函数教学设计
课题 26.1二次函数 单元 26 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.理解并掌握二次函数的概念；能判定给出的函数是否是二次函数； 2.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，并能确定自变量的取值范围； 3.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数来描述实际生活中两个变量之间关系的体验，感受数学与生活的联系。
重点 对二次函数概念的理解
难点 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 2.我们学过哪些函数 3.思考:一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？ 教师提出问题，引导学生回答，师生共同回顾、交流，适时做好总结． 回顾以前学习过的具体实例能更好地帮助学生了解函数的本质所在，而回顾同学们比较熟悉的一次函数、反比例函数更能让他们回忆起学习函数的过程．学习新的内容，注重知识之间的联系，调动学生学习的积极性与主动性，也为接下来的学习做好铺垫.
讲授新课 探究问题（一）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？由学生认真思考并与同组伙伴交流，然后回答下面的问题。 AB长123456789BC长12面积y(m )48
（1）试将计算结果填写在下表的空格中。 （2）在坐标上对应（x,y）画上对应的点。并观察趋势。 （3）x的值是否可以任意取 有限定范围吗 （4）y的最大值可能在哪里？ （5）从表格和坐标上看得出AB（x）的长确定了，面积(y)也确定，这可以看成y是x的函数，请你把它写出来。 探究问题（二）某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大 由学生认真思考并与同组伙伴交流，然后回答下面的问题。 （1）从上面的两个函数关系中，解析式的右边分别是几次多项式 （2）请同学们将问题1、2的函数与一次函数比较找出区别？ 引入二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。 巩固对二次函数概念的理解： 提问： （1）上述概念中的a为什么不能是0？ （2）对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？ 例、函数y=(m+3) （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用 老师及时提醒注意的问题. 继续引导学生回答下列问题，并推选该组的学生进行展示自己的答案。 学生思考，自主回答，老师补充。 学生自主解答,老师订正 通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，对比一次函数归纳出二次函数的定义。 通过例题的解决，加深学生对二次函数概念的理解.
课堂练习 1.下列函数关系中,是二次函数的是( ) (A)在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 (B)当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系 (C)等边三角形的周长C与边长a之间的关系 (D)圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 2.下列函数中,不是二次函数的是( ) (A)y=1-2x2 (B)y=2(x-1)2+4 (C)y= (x-1)(x+4) (D)y=(x-2)2-x2 3.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是_______． 4.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积增加y，那么y与x的函数关系式为_________． 5.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2. (1)写出y与x之间的关系式; (2)当圆的半径分别增加1cm, cm,2cm时,圆的面积各增加多少 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书
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26.1二次函数导学案
课题 26.1二次函数 单元 26 学科 数学 年级 九年级
知识目标 1.理解并掌握二次函数的概念；能判定给出的函数是否是二次函数； 2.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式，并能确定自变量的取值范围； 3.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数来描述实际生活中两个变量之间关系的体验，感受数学与生活的联系。
重点难点 重点：对二次函数概念的理解。 难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。
教学过程
知识链接 我们学过哪些函数 思考: 一个边长为x的正方形的面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？
合作探究 一、教材第2页 AB长123456789BC长12面积y(m )48
探究一、要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？由学生认真思考并与同组伙伴交流，然后回答下面的问题。 （1）试将计算结果填写在下表的空格中。 （2）在坐标上对应（x,y）画上对应的点。并观察趋势。 （3）x的值是否可以任意取 有限定范围吗 （4）y的最大值可能在哪里？ （5）从表格和坐标上看得出AB（x）的长确定了，面积(y)也确定，这可以看成y是x的函数，请你把它写出来。 二、教材第三页 探究问题（二） 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大 由学生认真思考并与同组伙伴交流，然后回答下面的问题。 （1）从上面的两个函数关系中，解析式的右边分别是几次多项式 （2）请同学们将问题1、2的函数与一次函数比较找出区别？ 三、教材第3页探索 观察所得关系式有什么共同特点？ 四、教材第4页概括 二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数。 提问： （1）上述概念中的a为什么不能是0？ （2）对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
自主尝试 1.下列四个函数中，一定是二次函数的是(　　) A. B.y=ax2+bx+c C.y=x2﹣(x+7)2 D.y=(x+1)(2x﹣1) 2.已知函数 是二次函数，则m等于(　　) A.±2 B.2 C.﹣2 D.±1 3. 已知是x的二次函数，求出它的解析式. 【方法宝典】 根据二次函数的概念进行解题即可.
当堂检测 1.下列函数关系中,是二次函数的是( ) (A)在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 (B)当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系 (C)等边三角形的周长C与边长a之间的关系 (D)圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系 2.下列函数中,不是二次函数的是( ) (A)y=1-2x2 (B)y=2(x-1)2+4 (C)y= (x-1)(x+4) (D)y=(x-2)2-x2 3.已知y=(a+1)x2+ax是二次函数,那么a的取值范围是_______． 4.正方形的边长是3,若边长增加x,则面积增加y，那么y与x的函数关系式为_________． 5.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm2. (1)写出y与x之间的关系式; (2)当圆的半径分别增加1cm, cm,2cm时,圆的面积各增加多少
小结反思 通过本节课的学习，你们有什么收获？
参考答案： 当堂检测： D D a≠-1 y=x2+6x 5.解：(1)y=π(x+1)2－π=πx2+2πx (2)当x=1cm时, y=3π(cm2) 当x=cm时, y=(2+2 )π(cm2) 当x=2cm时, y=8π(cm2)
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