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期末复习学案：集合与常用逻辑用语
1．一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示。把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合。
集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性。
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
3．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
1．下列给出的对象中，能构成集合的是(　　)
A．一切很大的数 B．好心人
C．漂亮的小女孩 D．清华大学2019年入学的全体学生
【答案】D　
【解析】 “很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A、B、C中的元素均不能构成集合，故选D．
2．用“∈”或“ ”填空：
________N； －3________Z； ________Q； 0________N*；________R。
【答案】　 　∈　 　 　∈
3．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________。
【答案】3
【解析】由题意可知a＋1＝4，即a＝3。
1．(2021广东广州广雅中学高一月考)下列关系中正确的是(　　)
A． R B．0∈N* C．∈Q D．∈Z
【答案】C
【解析】属于实数，因此A选项错误；N*是正整数集，因此0 N*，故B选项错误；是有理数，因此C选项正确；由于=π是无理数，Z是整数集，因此D选项错误。故选C．
2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是 (　　)
A．3．14 B．-5 C． D．
【答案】D
【解析】是实数，但不是有理数，故选D．
3．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是(　　)
A．0∈A B．a A C．a∈A D．a=A
【答案】C
【解析】由题意知A中只有一个元素a，∴0 A，a∈A，元素a与集合A的关系不应该用“=”，故选C．
4．(多选题)由a2，2-a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不可能是(　　)
A．1 B．-2 C．-1 D．2
【答案】ABD
【解析】由题意知a2≠4，2-a≠4，a2≠2-a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知a不可能是ABD．
1．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N。
【答案】　(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素有－2，－1，0，1，2，故A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解为x＝2或x＝3，
∴M＝{2，3}．
(3)解得∴B＝{(3，2)}．
(4)15的正约数有1，3，5，15，故N＝{1，3，5，15}．
1．在直角坐标系中，坐标轴上的点构成的集合可表示为 (　　)
A．{(x，y)|y=0，x∈R} B．{(x，y)|x2+y2=0}
C．{(x，y)|xy=0} D．{(x，y)|x2+y2≠0}
【答案】C
【解析】∵在x轴上的点(x，y)满足y=0，在y轴上的点(x，y)满足x=0，∴坐标轴上的点(x，y)满足xy=0，∴坐标轴上的点构成的集合可表示为{(x，y)|xy=0}。故选C．
2．集合{(x，y)|y=3x+1}表示(　　)
A．函数y=3x+1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中所有的点组成的集合
D．函数y=3x+1的图象上的所有点组成的集合
【答案】D
【解析】由集合描述法的定义可知，该集合表示函数y=3x+1的图象上的所有点组成的集合
3．已知集合A={x|-2【答案】{1，2}
【解析】由题意知A={-1，0，1}，而B={y|y=x2+1，x∈A}，所以B={1，2}。
1．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
3．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 。
(2)规定：空集是任何集合的子集．
1．设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是(　　)
A．N∈M　　 B．N M C．N M D．N M
【答案】D　
【解析】∵1∈{1，2，3}，∴1∈M，又2 N，∴N M。
2．集合{0，1}的子集有________个．
【答案】4　
【解析】集合{0，1}的子集有 ，{0}，{1}，{0，1}，共4个．
1．下列集合中表示空集的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A．{x∈R|x+5=5} B．{x∈R|x+5>5}
C．{x∈R|x2=0} D．{x∈R|x2+x+1=0}
【答案】D
【解析】A，B，C分别表示的集合为{0}，{x|x>0}，{0}，
∵x2+x+1=0无实数解，∴{x∈R|x2+x+1=0}表示空集。
2．已知集合A={-2，3，4m-4}，集合B={3，m2}。若B A，则实数m=　　　　　。
【答案】2
【解析】由B A，且m2≥0，得m2=4m-4，解得m=2。
1．并集
2．交集
3．并集与交集的运算性质
并集的运算性质 交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪ ＝A A∩ ＝
1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)
A．{0}　　 B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2}
【答案】 D　
【解析】M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，故选D．
2．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝________，M∩N＝________。
【答案】{－1，0，1，2}　{0，1}　
【解析】∵M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，∴M∩N＝{0，1}，M∪N＝{－1，0，1，2}．
1．已知集合A={-1，0，1}，集合B={x∈N|x2=1}，那么A∩B=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A．{1} B．{0，1} C．{-1，1} D．{-1，0，1}
【答案】A
【解析】由题意，集合A={-1，0，1}，B={x∈N|x2=1}={1}，所以A∩B={1}。故选A．
2．(多选题)已知集合A={x|x2-x=0}，集合B中有两个元素，且满足A∪B={0，1，2}，则集合B可以是(　　)
A．{0，1} B．{0，2} C．{0，3} D．{1，2}
【答案】BD
【解析】∵A={x|x2-x=0}={0，1}，且A∪B={0，1，2}，则2∈B，由于集合B中有两个元素，则B={0，2}或B={1，2}。
3．满足{1}∪B＝{1，2}的集合B可能等于________．
【答案】{2}或{1，2}　
【解析】∵{1}∪B＝{1，2}，∴B可能为{2}或{1，2}．
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U。
2．补集
文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 UA
符号语言 UA＝{x|x∈U，且x A}
图形语言
1．已知全集U＝{0，1，2}，且 UA＝{2}，则A＝(　　)
A．{0}　　 B．{1} C． D．{0，1}
【答案】D　
【解析】∵U＝{0，1，2}， UA＝{2}，∴A＝{0，1}，故选D．
2．若集合A＝{x|x>1}，则 RA＝________。
【答案】{x|x≤1}
【解析】∵A＝{x|x>1}，∴ RA＝{x|x≤1}
1．已知全集U=R，集合A={0，1，2，3，4，5}，B={x∈R|x>3}，则图中阴影部分所表示的集合是(　　)
A．{0，1，2} B．{1，2} C．{0，1，2，3，4} D．{0，1，2，3}
【答案】D
【解析】由图可知，阴影部分所表示的集合是( UB)∩A，∵B={x∈R|x>3}，∴ UB={x∈R|x≤3}，
∴( UB)∩A={0，1，2，3}。故选D．
2．设集合U={-1，0，1，2，4}，集合 UM={-1，1}，则集合M=(　　)
A．{0，2} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}
【答案】D
【解析】∵ UM={-1，1}，U={-1，0，1，2，4}，∴M={0，2，4}。
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q pq
条件关系 p是q的充分条件q是p的必要条件 p不是q的充分条件q不是p的必要条件
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p q，又有q p，就记作p q。此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
指出下列各题中p是q的什么条件．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0。
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．
(3)p：a＞b，q：ac＞bC．
【答案】　(1)x－3＝0 (x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件．
1．“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”，但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”，故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件。
2．设a，b∈R，则“a>b”是“a2>b2”的(　　)
A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】B
【解析】若a=1，b=-4，满足a>b，此时a2>b2不成立；
若a2>b2，如a=-4，b=1，此时a>b不成立。
1．全称量词与全称量词命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x)．
2．存在量词与存在量词命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”．
3．含有一个量词的命题的否定﹁
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)；
存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N，2x＋1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使＝0；
(3)对任意实数a，|a|＞0；
(4)有一个角α，使sin α＝。
【答案】(1)是全称量词命题．因为 x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都成立，因此，该命题是假命题．
(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sin α＝，所以该命题是真命题．
1．(多选题)下列命题中是真命题的是(　　)
A． x∈R，2x2-3x+4>0 B． x∈{1，-1，0}，2x+1>0
C． x∈N，使≤x D． x∈N*，使x为29的约数
【答案】ACD
【解析】对于A，这是全称量词命题，由于Δ=(-3)2-4×2×4<0，所以2x2-3x+4>0恒成立，故A为真命题；
对于B，这是全称量词命题，由于当x=-1时，2x+1>0不成立，故B为假命题；
对于C，这是存在量词命题，当x=0时，有≤x成立，故C为真命题；
对于D，这是存在量词命题，当x=1时，x为29的约数成立，所以D为真命题。
2．命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为　　　　　　　　，此命题的否定是　　　　　　　　　　，是　　　　　命题(填“真”或“假”)。
【答案】 x，y∈R，x+y>1　 x，y∈R，x+y≤1　假
【解析】此命题用符号表示为 x，y∈R，x+y>1，此命题的否定是 x，y∈R，x+y≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题。
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