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4．3　等比数列
4．3.1　等比数列的概念
第2课时　等比数列的性质及应用
学习指导 核心素养
1.能够运用等比数列的性质解决有关问题．2．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题． 1.数学运算：等比数列性质的应用．2．数学建模：等比数列的实际应用．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．等比数列的单调性
2.等比数列的项与序号的关系
两项关系 an＝am·qn－m(n，m∈N*)
多项关系 若{an}为等比数列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq
3.由等比数列衍生的新数列
(1)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列．
(2)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和．
(3)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2．
4.等比数列的通项公式和函数有什么关系？
提示：由an ＝·qn可知，当q>0且q≠1时，an是关于n的指数型函数；反之，任给指数型函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则 f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q>1时，{an}为递增数列．(　　)
(2)当q＝1时，{an}为常数列．(　　)
(3){an}是等比数列，若m＋n＝p，则am·an＝ap.(　　)
(4)若等比数列{an}的公比是q，则an＝amqm－n(m，n∈N*).(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是(　　)
A．递增数列　　　　　　　 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析：选D.由于公比q＝－<0，所以数列{an}是摆动数列．
3．在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为(　　)
A．9 B．－9
C．±9 D．18
解析：选A.因为{an}为等比数列，
所以a3a7＝a4a6＝a1a9.
所以(a1a9)2＝81，
即a1a9＝±9.
因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，
所以a1，a9同号，所以a1a9＝9.
4．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324(n≥2)，则n＝________．
解析：设数列{an}的公比为q.
因为a1a2a3＝4＝aq3，a4a5a6＝12＝aq12，
所以q9＝3.
又因为an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，
所以q3n－6＝81＝34＝q36，
所以3n－6＝36，
解得n＝14.
答案：14
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　等比数列性质的应用
利用等比数列的性质解题和利用通项公式解题相比，有何优点？
问题感悟：(1)用等比数列的性质解题快捷方便，可简化计算；(2)有些问题不能确定a1，q，要采用整体思想求解．
例 (1)若数列{an}是递增的等比数列，a2a5＝20，a1＋a6＝9，则a11＝(　　)
A．5　　　　　　　　 B．
C． D．
(2)已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3a7＝2a，a3＝1，则a2＝(　　)
A． B．
C． D．2
(3)(2021·云南云天化中学高二期末)若等比数列{an}(n∈N*)满足a1＋a3＝30，a2＋a4＝10，则a1·a2·…·an的最大值为________．
【解析】　(1)因为数列{an}是递增的等比数列，a2a5＝20，a1＋a6＝9，
所以a1a6＝a2a5＝20，
所以a1，a6是一元二次方程x2－9x＋20＝0的两个根，
且a1所以q5＝，a11＝a1q10＝4×＝.
(2)各项都为正数的等比数列{an}满足a3a7＝2a，
所以a＝2a，所以q＝，
因为a3＝1，
所以a2＝＝.
(3)设公比为q，因为a1＋a3＝30，a2＋a4＝10，
所以q＝＝，
所以a1(1＋)＝30，
解得a1＝27，
所以an＝27×＝34－n.
当1≤n≤4时，an≥1；
当n≥5时，0故a1·a2·…·an的最大值为a1·a2·a3·a4＝33＋2＋1＋0＝36＝729.
【答案】　(1)C　(2)B　(3)729
归纳总结
(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法
①基本步骤：运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，解出a1和q，然后利用通项公式求解．
②优缺点：适用面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁．
(2)利用等比数列的性质解题
①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题．
②优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．　
即时检测
1．(2021·眉山高二检测)已知数列{an}为正项的递增等比数列，a1＋a6＝12，a2a5＝20，则＝(　　)
A．5 B．10
C．25 D．510
解析：选C.设等比数列{an}的公比为q.
因为数列{an}为正项的递增等比数列，
a1＋a6＝12，a2a5＝20，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q5＝12，,aq5＝20，,q>1，))
解得a1＝2，q＝，
所以＝
＝＝q10＝25.
2．若等比数列{an}的各项均为正数且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
解析：根据等比数列的性质可得a10a11＝a9a12，所以a10a11＝e5.令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，则S＝ln a20＋ln a19＋…＋ln a1，于是2S＝20ln (a1a20)＝20ln (a10a11)＝20ln e5＝100.所以S＝50.
答案：50
探究点2　等比数列的实际应用
例 从盛满a(a>1)L纯酒精的容器里倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水加满，如此继续下去…，第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%
【解】　由题意知开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为a1＝1－，第(n＋1)次操作后溶液的浓度为an＋1＝an，
所以{an}是首项为1－，公比为1－的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝，
即第n次操作后溶液的浓度是.
当a＝2时，由an＝<，解得n≥4.
故至少应倒4次后才能使酒精浓度低于10%.
归纳总结
利用等比数列求解实际问题步骤
(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
(2)合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；
(3)针对所求结果作出合理解释．　
即时检测
(2021·河北承德高三期末)某家庭决定要进行一项投资活动，预计每年收益5%.该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利(复利是指在每经过一个计息期后，都将所得利息加入本金，以计算下期的利息)计算，到2031年1月1日，该家庭在此项投资活动的资产总额大约为(　　)
参考数据：1.058≈1.48，1.059≈1.55，1.0510≈1.63，1.0511≈1.71
A．14.8万 B．15.5万
C．16.3万 D．17.1万
解析：选C.因为该家庭2021年1月1日投入10万元，按照复利计算，且每年收益5%，
所以10年后的资产总额为10×(1＋5%)10.
因为1.0510≈1.63，
所以10×(1＋5%)10≈16.3(万元).故选C.
探究点3　等差数列与等比数列的综合
例 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．
【解】　由题意设这四个数分别为，b，bq，a，
则有
解得或
所以这四个数分别为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8.
拓展探究
将本例中四个数满足的条件改为“前三个数依次成等差数列，后三个数依次成等比数列，中间两个数之积为16，首尾两个数之积为－128”，求这四个数．
解：设这四个数分别为－a，，a，aq，
则由题意得
解得或
因此所求的四个数分别为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.
归纳总结
灵活设项求解等比数列的技巧
(1)三个数成等比数列，一般可设为，a，aq.
(2)四个数成等比数列，一般可设为，，aq，aq3或a，aq，aq2，aq3，但前一种设法的公比为q2，只适合数列的各项同正或同负．
(3)五个数成等比数列，一般可设为，，a，aq，aq2.　
即时检测
1．(2021·成都检测)在等比数列{an}中，a3＝1，且a8＝a6＋2a4，则a11＝(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：选C.在等比数列{an}中，
因为a3＝1，且a8＝a6＋2a4，
所以解得
所以a11＝a1q10＝×25＝16.
2．(2021·湖北省荆州市期末)一个等比数列前三项的积为2，后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(　　)
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
解析：选B.设数列的通项公式为an＝a1qn－1，则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.由题意得aq3＝2，aq3n－6＝4，两式相乘得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.
又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，
所以aq＝64，即(aqn－1)n＝642，
所以2n＝642＝212，解得n＝12.
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C．－ D．或－
解析：选C.因为a4＝a2·q2，所以q2＝＝＝.又因为a1<0，a2>0，所以q<0.所以q＝－.
2．已知在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　)
A．3 B．
C．3或 D．－3或－
解析：选C.因为a5a11＝a3a13＝3，且a3＋a13＝4，
所以或
设等比数列{an}的公比为q.又因为＝q10＝，
所以的值为3或.
3．在等比数列{an}中，若a2a3a6a9a10＝32，则 eq \f(a,a12) 的值为(　　)
A．4 B．2
C．－2 D．－4
解析：选B.由a2a3a6a9a10＝(a2a10)·(a3a9)·a6＝a＝32＝25，得a6＝2.则 eq \f(a,a12) ＝＝a6＝2，故选B.
4．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
解析：由题意可得a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，故有3a1＋2d＝0　①.
由2a1＋a2＝1，得3a1＋d＝1　②，
联立①②解得d＝－1，a1＝.
答案：　－1
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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