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4．3　等比数列
4．3.2　等比数列的前n项和公式
第1课时　等比数列的前n项和公式
学习指导 核心素养
1.理解等比数列前n项和公式的推导方法．2．会用等比数列的前n项和公式进行运算．3．掌握等比数列前n项和公式的有关性质．4．能够运用等比数列的前n项和解决有关实际问题． 1.逻辑推理、数学运算：等比数列前n项和公式的推导、应用．2．数学建模：等比数列前n项和的实际应用．
一、自主学习 合作探究（10分钟）
1．等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比
选用公式 Sn＝ Sn＝
2.等比数列前n项和的性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*).
(3)在等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0).
变式思考
1．等比数列求和公式的推导过程中，使用了何种方法技巧？
提示：错位相减法．
2．可否说等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列？
提示：此结论在q≠－1(或q＝－1但n为奇数)时成立．
即时检测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等比数列前n项和Sn不可能为0.(　　)
(2)若首项为a的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n项和等于na.(　　)
(3)若a∈R，则1＋a＋a2＋…＋an－1＝.(　　)
(4)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10＝(　　)
A．210＋2　　　　　　　 B．29－2
C．210－2 D．211－2
解析：选D.因为q＝＝2且a1＝2，
所以S10＝＝
＝2(210－1)＝211－2.
3．若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则前n项和Sn＝(　　)
A．2n＋1－2 B．2n－2
C．2n＋1－1 D．2n＋1＋2
解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，
因为a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
所以a3＋a5＝40＝q(a2＋a4)＝20q，
解得q＝2，
所以20＝a2＋a4＝a1(2＋23)，
解得a1＝2.
则数列{an}的前n项和Sn＝＝2n＋1－2.
4．设{an}是各项均为正数的等比数列，Sn为其前n项和，若S4＝10S2，则此数列的公比q的值为________．
解析：因为＝q2，
所以q2＝9，又an>0，
所以q＝3.
答案：3
二、精讲点拨 归纳提升（20分钟）
探究点1　等比数列前n项和公式的基本运算
例 在等比数列{an}中，其前n项和为Sn.
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)若Sn＝189，a1＝3，an＝96，求q和n.
【解】　(1)由题意知
解得或
所以Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
(2)因为在等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，
所以＝189.解得q＝2.
因为an＝a1qn－1，
所以96＝3×2n－1.
所以n＝5＋1＝6.
拓展探究
在本例(2)的条件下，求数列的前n项和Tn.
解：由本例(2)可知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以Tn＝＝.
归纳总结
等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体．　
即时检测
1．数列1，3，…，3n－1，…的前n项和为(　　)
A．3n－1　　　　　　　 B．－
C． D．－
解析：选B.Sn＝＝－.
2．(2021·河南省南阳一中月考)等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝，S6＝，则a2a4＝(　　)
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：选A.设等比数列{an}的公比为q.
因为S3＝，S6＝，
即S6≠2S3，所以q≠1，
所以可得，＝，
所以q3＝8，即q＝2，a1＝，
则a2a4＝aq4＝×24＝4.
探究点2　等比数列前n项和的性质
如果等比数列前n项和为Sn，Sn与n之间有什么函数关系？
探究感悟：当q＝1时，Sn＝na1，图象是直线上的孤立点；q≠1时，Sn＝－·qn＋＝－Aqn＋A(记A＝).
例 (1)已知在等比数列{an}中，若前10项的和是10，前20项的和是30，则前30项的和是________．
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________．
【解析】　(1)方法一：因为数列{an}是等比数列，
所以S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，
即(30－10)2＝10×(S30－30)，
即S30－30＝40，
解得S30＝70.
方法二：由等比数列前n项和的性质Sm＋n＝Sn＋qnSm，
得S20＝S10＋q10S10，
即30＝10＋10q10，
所以q10＝2.
所以S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70.
(2)由题意，得
解得
所以q＝＝＝2.
【答案】　(1)70　(2)2
归纳总结
结合等比数列前n项和的性质解题
(1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础．
(2)运用方程思想、整体化思想是解题的关键．　
即时检测
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)
A．2 B．
C． D．3
解析：选B.由等比数列的性质，
得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
于是，由S6＝3S3，
可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，
所以＝.
2．若等比数列{an}的公比为，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________．
解析：令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，
则S100＝X＋Y，
由等比数列前n项和性质知，＝q＝，
所以Y＝20.
即S100＝X＋Y＝80.
答案：80
探究点3　等比数列前n项和的实际应用
例 某市共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2022年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则
(1)该市在2028年应该投入电力型公交车多少辆？
(2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？
【解】　(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5.
所以2028年应投入的数量为
a7＝a1q6＝128×＝1 458(辆).
(2)设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝＝256×，
由Sn>(10 000＋Sn)×，
即Sn>5 000，解得n>7.
所以该市在2028年应该投入1 458辆电力型公交车，到2029年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的.
归纳总结
解决等比数列应用题的关键
(1)认真审题抓特点，仔细观察找规律．
(2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同．
(3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考察．　
即时检测
某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 709.9万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要(　　)
A．3 233万元 B．4 706万元
C．4 808万元 D．4 938万元
解析：选C.设每个实验室的装修费为x万元，设备费为an，n＝1，2，3，…，10，
由题意得{an}为等比数列，设公比为q，则
解得
所以a10＝3×29＝1 536.
又因为每个实验室改建费用不能超过1 709.9万元，
所以x＋1 536≤1 709.9，
解得x≤173.9，
所以这十个实验室投入的总费用最多需要：
10x＋a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10x＋＝10x＋3 069≤4 808，故选C.
三、定时训练 反馈补偿（10分钟）
1．(2021·山西省三区八校联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，且a2 019＋a2 020＝0，则S101＝(　　)
A．3　　　　　　　　 B．303
C．－3 D．－303
解析：选A.设数列{an}的公比为q，由a2 019＋a2 020＝0可得q＝－1，故S101＝a101＝a1＝3.
2．(2021·辽宁师范大学附属中学高三模拟)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)
A．16(1－4－n) B．(1－4－n)
C．16(1－2－n) D．(1－2－n)
解析：选B.设数列{an}的公比为q，因为a2＝2，a5＝，
所以解得所以a1a2＝8，
所以数列{anan＋1}是以8为首项，为公比的等比数数列，所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－4－n).
3．已知在等比数列{an}中，a3＝，S3＝4，则a1＝________．
解析：当q＝1时，a1＝a2＝a3＝，
满足S3＝4.
当q≠1时，依题意，得
解得
综上可得a1＝或a1＝6.
答案：或6
4．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，则项数n＝________．
解析：由Sn＝93，an＝48，公比q＝2，
得整理得2n＝32，
解得n＝5.
答案：5
四、作业
1.整理课堂笔记
2.完成课后练习
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