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5.5 三角恒等变换
【学习要求】
1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式）。
【思维导图】
【知识梳理】
1．两角差的余弦公式
(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinα·sinβ． (2)此公式简记作C(α－β)．
【注】对公式C(α－β)的三点说明
(1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β．
(3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．
②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．
2．和角、差角公式如下表：
名称 公式 简记
差的正弦 sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α－β)
差的余弦 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ C(α－β)
和的正弦 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α＋β)
和的余弦 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ C(α＋β)
差的正切 tan(α－β)＝　 T(α－β)
和的正切 tan(α＋β)＝　 T(α＋β)
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数 公式 简记
正弦 sin2α＝2sinαcosα S2α
余弦 cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切 tan2α＝　　 T2α
【注】1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．公式的适用条件：在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠＋且α≠kπ＋(k∈Z)，当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．
4．二倍角公式的逆用、变形用
逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝sin2α；cosα＝；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；＝tan2α．
变形用形式：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；
1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝；sin2α＝．
【高频考点】
高频考点1. 两角和差公式的简单应用
【方法点拨】 (1) 运用两角和差的正弦余弦正切公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
【例1】（2021·泉州高一期中）化简，求值：（1）；
（2）已知，求的值；（3）.
【变式1-1】（2021·山东高一课时练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2021·河北高一课时练习）的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021·广东高一课时练习）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式1-4】（2021·全国高一课时练习）求下列各式的值：
（1）.（2）；（3）.
高频考点2 . 二倍角公式运用
【方法点拨】对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察，非特殊角与特殊角总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合倍角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)当公式出现2sinαcosα时，要逆用公式，然后再寻找关系解决．
【例2】（2021·山东高一课时练习）下列三角式中，值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021·贵州省威宁民族中学高一月考）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·湖北高一课时练习）若，则_______，_______．
【变式2-3】（2021·全国）的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2021·江苏）若，则（ ）
A． B． C． D．
高频考点3 . 给值求值 （三角函数）
【方法点拨】给值求值问题的解题策略．
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换:①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【例3】（2021·皮山县高级中学高一月考）已知，，.求的值；
【变式3-1】（2021·全国）已知(为锐角），则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2021·全国）已知，，，求与的值．
【变式3-3】（2021·吴江汾湖高级中学高一月考） 设、都是锐角，且，，求.
【变式3-4】（2021·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）已知，.
（1）求；（2）已知，.求.
高频考点4. 给值求角 （三角函数）
【方法点拨】已知三角函数值求角的解题步骤：(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．
【例4】（2021·全国）已知，求角的值．
【变式4-1】（2021·全国高一课时练习）已知，其中，求角的值.
【变式4-2】（2021·江苏扬州中学）已知，均为锐角，则
A． B． C． D．
【变式4-3】（2021·江苏省镇江中学）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】（2021·江苏南师大二附中高一月考）已知，均为锐角，且，．
（1）求的值；（2）求的值．
高频考点5 . 辅助角公式及其运用
【方法点拨】(1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝cos(α－φ)将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
【例5】（2021·上海市青浦高级中学高一期中）把化成（，）形式为________
（2021·上海·高三）函数化成（，）__
（3）（2021·江苏）函数化成______．
【变式5-1】（2021·全国高一课时练习）函数的图象的一个对称中心为__________．
【变式5-2】（2021·河北高一专题练习）把化成的形式是________．
【变式5-3】（2021·常熟市高一月考）已知函数.
（1）求函数的单调减区间；（2）当时，求函数的值域.
【变式5-4】（2021·安徽淮北一中）已知函数.
（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）当时，求的最小值和最大值.
高频考点6 . 角的拼凑
【方法点拨】注意观察角度之间的关系，常用和、差、二倍角、诱导公式等进行拼凑即可。
【例6】（2021·江苏南京·金陵中学高一月考）已知，，______．
【变式6-1】（2021·河南驻马店·（理））已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2021·全国高一专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2021·江苏）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2021·湖北武汉·）已知，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
高频考点7 . 利用公式化简求值
【方法点拨】根据式子的形式结合和、差、二倍角进行化简即可。
【例7】（2021·上海高一专题练习）化简，求值
（1）（2）
（3） （4）
（5）
【变式7-1】（2021·河南信阳高中）___________.
【变式7-2】（2021·全国）化简：．
【变式7-3】（2021·上海高一专题练习）化简下列各式：
（1）；（2）；（3）．
【变式7-4】（2021·上海高一课时练习）化简并求值.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·全国高一课时练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高一课时练习）计算（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2021·福建高三月考）若，且，则（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知，，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
5．（2021·江苏高一期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6.（2021·江西省莲花中学）已知且则=（ ）
A． B． C． D．
7．当时，函数的最大值，最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．2，-2 C．1， D．2，-1
8．已知，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．tan（　　）
A． B． C． D．
11．（2021·江苏高一期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·江苏南京师大附中高一期末）已知，，，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）_______________（化成的形式，且）．
14．（2021·广东高一期末）已知，则___________．
15．（2021·山东高三月考）已知，且.则___________.
16.（2021·江苏省昆山中学高一月考）已知，且，则___________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．已知，.（1）求；（2）.
18．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
（1）求的值；（2）若角满足，求的值.
19．（1）已知，，求；
（2）已知，，求的值.
20．（2021·江苏高一期中）求下列各式的值：
（1）；（2）.
21．（2021·北京景山学校远洋分校高一月考）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值
22．已知函数的图象过点，，．
（1）求，的值；（2）若，且，求的值；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
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5.5 三角恒等变换
【学习要求】
1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式。
2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式。
3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式）。
【思维导图】
【知识梳理】
1．两角差的余弦公式
(1)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinα·sinβ． (2)此公式简记作C(α－β)．
【注】对公式C(α－β)的三点说明
(1)公式的结构特点：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos(－)中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β．
(3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在现用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．
②角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．
2．和角、差角公式如下表：
名称 公式 简记
差的正弦 sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α－β)
差的余弦 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ C(α－β)
和的正弦 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ S(α＋β)
和的余弦 cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ C(α＋β)
差的正切 tan(α－β)＝　 T(α－β)
和的正切 tan(α＋β)＝　 T(α＋β)
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数 公式 简记
正弦 sin2α＝2sinαcosα S2α
余弦 cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α C2α
正切 tan2α＝　　 T2α
【注】1.倍角的含义：对于“二倍角”应该有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．公式的适用条件：在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠＋且α≠kπ＋(k∈Z)，当α＝kπ＋(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式．
4．二倍角公式的逆用、变形用
逆用形式：2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝sin2α；cosα＝；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α；＝tan2α．
变形用形式：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2；
1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝；sin2α＝．
【高频考点】
高频考点1. 两角和差公式的简单应用
【方法点拨】 (1) 运用两角和差的正弦余弦正切公式解决问题要深刻理解公式的特征，切忌死记．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．
【例1】（2021·泉州高一期中）化简，求值：（1）；
（2）已知，求的值；（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）
（2），
（3）
【变式1-1】（2021·山东高一课时练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
.故选：B.
【变式1-2】（2021·河北高一课时练习）的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式.故选：A
【变式1-3】（2021·广东高一课时练习）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由题意，.故选：B.
【变式1-4】（2021·全国高一课时练习）求下列各式的值：
（1）.（2）；（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）1
【解析】（1）原式
；
（2）；
（3），所以，
所以.
高频考点2 . 二倍角公式运用
【方法点拨】对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察，非特殊角与特殊角总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合倍角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)当公式出现2sinαcosα时，要逆用公式，然后再寻找关系解决．
【例2】（2021·山东高一课时练习）下列三角式中，值为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】A选项,，故正确.
B选项，，故正确.
C选项，，故正确.
D选项，，故错误故选：ABC
【变式2-1】（2021·贵州省威宁民族中学高一月考）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，.故选：A.
【变式2-2】（2021·湖北高一课时练习）若，则_______，_______．
【答案】
【解析】，所以．
．故答案为：；．
【变式2-3】（2021·全国）的化简结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】故选：B.
【变式2-4】（2021·江苏）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，
则．故选：B．
高频考点3 . 给值求值 （三角函数）
【方法点拨】给值求值问题的解题策略．
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换:①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．
【例3】（2021·皮山县高级中学高一月考）已知，，.求的值；
【答案】
【解析】∵ ，，∴ ，
又，，∴ ，
∴，∴.
【变式3-1】（2021·全国）已知(为锐角），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为锐角，,所以所以，
，故选：D
【变式3-2】（2021·全国）已知，，，求与的值．
【答案】，.
【解析】因为，所以，，
所以，
，
所以
，
．
【变式3-3】（2021·吴江汾湖高级中学高一月考） 设、都是锐角，且，，求.
【答案】
【解析】因为且，所以，
因为且，则，
又因为，所以，
而，，故，
若，因为正弦函数在上单调递增，则，矛盾.
因此，所以,
所以.
【变式3-4】（2021·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）已知，.
（1）求；（2）已知，.求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，
（2），
高频考点4. 给值求角 （三角函数）
【方法点拨】已知三角函数值求角的解题步骤：(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．
【例4】（2021·全国）已知，求角的值．
【答案】
【解析】因为，所以．又因为，所以．
因为，所以，
所以．
又因为，所以．
【变式4-1】（2021·全国高一课时练习）已知，其中，求角的值.
【答案】
【解析】因为，所以.因为，所以.
由已知可得，，
则
.因为，所以.
【变式4-2】（2021·江苏扬州中学）已知，均为锐角，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为锐角，且，所以，，
于是，又为锐角，所以.故选：C.
【变式4-3】（2021·江苏省镇江中学）已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，，所以，
所以，所以，
所以，
因为，，所以，则 ，
因为，所以，因为，所以，
所以，所以，故选：D
【变式4-4】（2021·江苏南师大二附中高一月考）已知，均为锐角，且，．
（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，则．
所以，．
（2）因为，为锐角，则，所以．
所以，．又，所以．
高频考点5 . 辅助角公式及其运用
【方法点拨】(1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα)＝cos(α－φ)将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
【例5】（2021·上海市青浦高级中学高一期中）把化成（，）形式为________
（2021·上海·高三）函数化成（，）__
（3）（2021·江苏）函数化成______．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1）
，故答案为：.
（2）因为，
（3）,
【变式5-1】（2021·全国高一课时练习）函数的图象的一个对称中心为__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
得， 故图象的对称中心为（）
当k=1 ,其一个对称中心为 故答案为：（答案不唯一）
【变式5-2】（2021·河北高一专题练习）把化成的形式是________．
【答案】
【解析】.
故答案为：
【变式5-3】（2021·常熟市高一月考）已知函数.
（1）求函数的单调减区间；（2）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）.
【解析】1）
，所以
令，解得，
故函数的减区间为.
（2）当时，所以，所以，
故函数的值域为
【变式5-4】（2021·安徽淮北一中）已知函数.
（1）求的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）当时，求的最小值和最大值.
【答案】（1），对称轴，；（2）最小值为0，最大值为.
【解析】，
（1）最小正周期为，由，得出对称轴，；
（2），令，则，，
即最小值为0，最大值为.
高频考点6 . 角的拼凑
【方法点拨】注意观察角度之间的关系，常用和、差、二倍角、诱导公式等进行拼凑即可。
【例6】（2021·江苏南京·金陵中学高一月考）已知，，______．
【答案】
【解析】，，
，，，
，
，
故答案为：
【变式6-1】（2021·河南驻马店·（理））已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，即，
，，
则，故选：B.
【变式6-2】（2021·全国高一专题练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得，
.
故选：C
【变式6-3】（2021·江苏）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴.故选：D.
【变式6-4】（2021·湖北武汉·）已知，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，
，故选：D
高频考点7 . 利用公式化简求值
【方法点拨】根据式子的形式结合和、差、二倍角进行化简即可。
【例7】（2021·上海高一专题练习）化简，求值
（1）（2）
（3） （4）
（5）
【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）；（5）2.
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
【变式7-1】（2021·河南信阳高中）___________.
【答案】
【解析】
.故答案为：.
【变式7-2】（2021·全国）化简：．
【答案】2．
【解析】原式．
【变式7-3】（2021·上海高一专题练习）化简下列各式：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）2；（3）
【解析】（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
【变式7-4】（2021·上海高一课时练习）化简并求值.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）32.
【解析】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）原式
.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·全国高一课时练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦的差角公式得故选：B
2．（2021·全国高一课时练习）计算（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】由题意，故选：C
3．（2021·福建高三月考）若，且，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】因为，所以，又因为，且，
由，可得，
，可得，
联立方程组，可得，，所以．故选：B．
4．已知，，则（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】化简已知等式得，再求出即得解.
【详解】∵，∴，即，
又，所以，故或，则或．故选：B．
5．（2021·江苏高一期中）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知，
则，故选：．
6.（2021·江西省莲花中学）已知且则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：因为，且，所以，因为，所以，所以，，
所以
因为，所以故选：D
7．当时，函数的最大值，最小值分别为（ ）
A．1，-1 B．2，-2 C．1， D．2，-1
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数式得，根据角的范围求函数的值域，进而确定最值即可.
【详解】，又，
∴，即.故选：D.
8．已知，，，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据题设可得，而，利用基本不等式即可求其最大值，注意等号成立的条件.
【详解】，
∴由题设，，∵，，
∴，且，
∴当且仅当时等号成立.故选：A
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】由二倍角公式计算可得．
【详解】；；
；
．故选：AC．
10．tan（　　）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】结合同角平方关系及二倍角公式和同角商的关系，分别对四个选项进行化简判断即可.
【详解】因为tan，故A 正确；
，故B错误；
∵sin2α＝1﹣cos2α∴tan，故C正确，D错误；故选：AC.
11．（2021·江苏高一期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】，，；
，；
当，所以，
当，所以，故选：CD.
12．（2021·江苏南京师大附中高一期末）已知，，，若，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
若，则，即，
，则，所以，，即
又，所以.故选：C
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·上海市民办西南高级中学高一月考）_______________（化成的形式，且）．
【答案】
【解析】.
故答案为：
14．（2021·广东高一期末）已知，则___________．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以．故答案为：．
15．（2021·山东高三月考）已知，且.则___________.
【答案】
【解析】:
,故答案为：
16.（2021·江苏省昆山中学高一月考）已知，且，则___________.
【答案】
【解析】因为，，所以，
，
所以，
因为，所以，所以，故答案为：
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．已知，.（1）求；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先利用平方关系求出，再结合商关系可求；
（2）根据及差角的正切公式可求.
【详解】（1）因为，所以；
所以.
（2）由（1）得，所以.
18．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.
（1）求的值；（2）若角满足，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据三角函数的定义可得结果；（2）利用两角和差的三角公式转化求解即可.
【详解】（1）由角的终边过点得，
（2）由角的终边过点得，
由可得.
当时，；
当时，
.
所以或.
19．（1）已知，，求；
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用角的变换，再利用两角差的余弦公式求解；（2）先求，再利用角的变换求解.
【详解】（1），，，，
（2），.
20．（2021·江苏高一期中）求下列各式的值：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
；
（2）
.
21．（2021·北京景山学校远洋分校高一月考）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值，最小值.
【解析】（Ⅰ）因为
，
所以函数的最小正周期为.
（Ⅱ）因为，所以．
所以 当，即时，取得最大值．
当，即时，取得最小值.
22．已知函数的图象过点，，．
（1）求，的值；（2）若，且，求的值；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) ； (2) ；(3)
【解析】（1）由得：，即，
由知，，，
由得：，即，
即，由得，，所以；
（2）由得：，即，
由得：，
（3）由得：，
当时，，
实数的取值范围为.
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