资源简介

2021-2022学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣3＝x2+2x﹣1
C．x2＝0 D．x2﹣2xy﹣5y2＝0
2．（3分）一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是（　　）
A．200：1 B．2000：1 C．1：2000 D．1：200
3．（3分）有一首《对子歌》中写到“天对地，雨对风，大陆对长空”，现有四张书签，除正面写上“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别．从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（　　）
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
5．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
6．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．有一内角为60°的平行四边形
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）直角三角形的周长为2+，斜边上的中线长为1，则该三角形的面积等于（　　）
A． B．1 C． D．
9．（3分）某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则每天销售量会减少2kg．该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（　　）
A．（20+x）（100﹣2x）＝1800
B．
C．
D．x[100﹣2（x﹣20）]＝1800
10．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为4；③△APD一定是等腰三角形；④AP⊥EF且AP＝EF；⑤EF的最小值为；其中正确结论的序号为（　　）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3，共15分）.
11．（3分）若＝，则的值为　 　．
12．（3分）四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，他们的面积比为16：9，四边形ABCD的周长是16，则四边形A1B1C1D1的周长为 　 　．
13．（3分）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是　 　．
14．（3分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有196人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 　 　个人．
15．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝5．则图中阴影部分的面积为　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）.
16．（8分）如图，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点D为位似中心将其放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2：1，画出符合条件的所有图形．（不要求写作法）
17．（12分）（1）（x﹣2）2＝9；（用直接开平方法）
（2）x2﹣4x﹣1＝0；（用配方法）
（3）4x2+3x﹣2＝0；（用公式法）
（4）4（x+3）2＝（x﹣1）2；（用因式分解法）
18．（8分）已知关于x的方程k2x2+（2k﹣3）x+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有实数根，求k的取值范围．
19．（9分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．
20．（8分）“吾悦广场”开展“有奖大酬宾”活动，凡在“吾悦广场”消费的顾客，均可凭消费小票参与转转盘抽奖活动．如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成A、B、C、D、E五个扇形区域，依次写有：绿茶、欢迎惠顾、红茶、可乐和谢谢参与，如果转到区域为“可乐”、“绿茶”、“红茶”，则可领到对应的奖品．若转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘一次，直到指针不指向边界时停止．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）小王同学转动转盘一次获得奖品的概率是　 　．
（2）小李同学有两次转转盘抽奖的机会，请你用列表或画树状图的方法，求小李同学获得“至少领到一瓶可乐”的概率．
21．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
22．（9分）阅读下面材料，完成学习任务：
数学活动 测量树的高度
在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴……
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．
23．（11分）【教材呈现】如下是某版九年级上册数学教材的部分内容．
如图1，先把一张矩形纸片ABCD上下对折后展开，折痕为MN；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片后展开，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，折痕为PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB．
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．
【问题解决】（1）写出教材中的第一问的证明过程．
（2）小明同学对教材中的第二问进行作答，下面只给出了部分证明过程，请你结合小明的思路填空，将证明过程补充完整．判断：△PBE和△BAE相似．证明：作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，如图3所示，则AB＝2QF＝2BF．由题意得AB＝PQ＝2BQ，
∴QF＝BF＝BQ．
∴△FBQ为 　 　．
∴∠ABQ＝　 　°，
∵∠BQA＝90°，
∴∠BAQ＝　 　°，
由翻折可知∠EAB＝12（90°﹣∠BAQ）＝　 　°．
∵∠ABE＝90°，∠ABQ＝60°，
∴∠EBP＝30°．
∴∠EBP＝∠　 　．
又∵∠BPE＝∠ABE＝90°，
∴△PBE∽△BAE．
【结论应用】在图2的基础上，将纸片ABCD按图4所示翻折，点C恰好落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝3，则CG的长为 　 　．
2021-2022学年河南省平顶山市郏县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣3＝x2+2x﹣1
C．x2＝0 D．x2﹣2xy﹣5y2＝0
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：A、a＝0时是一元一次方程，故A错误；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、是一元二次方程，故C正确；
D、是二元二次方程，故D错误；
故选：C．
2．（3分）一种零件的长是2毫米，在一幅设计图上的长是40厘米，这幅设计图的比例尺是（　　）
A．200：1 B．2000：1 C．1：2000 D．1：200
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．
【解答】解：因为2毫米＝0.2厘米，
则40厘米：0.2厘米＝200：1；
所以这幅设计图的比例尺为200：1；
故选：A．
3．（3分）有一首《对子歌》中写到“天对地，雨对风，大陆对长空”，现有四张书签，除正面写上“天”“地”“雨”“风”四个字外其他均无区别．从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好配成“对子”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中抽到的书签正好配成“对子”的有4种结果，
所以抽到的书签正好配成“对子”的概率为，
故选：B．
4．（3分）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（　　）
A．频率等于概率
B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近
C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．实验得到的频率与概率不可能相等
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
【解答】解：A、频率只能估计概率；
B、正确；
C、概率是定值；
D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同．
故选：B．
5．（3分）下列方程中，有两个相等实数根的是（　　）
A．x2+1＝2x B．x2+1＝0 C．x2﹣2x＝3 D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【解答】解：A、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、Δ＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
故选：A．
6．（3分）小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．有一内角为60°的平行四边形
【分析】根据菱形的定义判断即可．
【解答】解：由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD，
∴四边形ADBC是菱形．
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：C．
8．（3分）直角三角形的周长为2+，斜边上的中线长为1，则该三角形的面积等于（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出AB，求出AC+BC，两边平方后代入AB求出AC×BC的值，即可求出答案．
【解答】解：如图，
∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线，CD＝1，
∴AB＝2CD＝2，
∵直角三角形ABC的周长是2+，
∴AC+BC＝，
两边平方得：AC2+2AC BC+BC2＝5，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝4，
∴2AC BC＝1，
∴AC×BC＝，
∴S△ABC＝AC×BC＝×＝．
故选：D．
9．（3分）某商场在销售一种糖果时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则每天销售量会减少2kg．该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少？设销售单价应为x元/kg，依题意可列方程为（　　）
A．（20+x）（100﹣2x）＝1800
B．
C．
D．x[100﹣2（x﹣20）]＝1800
【分析】根据以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则每天销售量会减少2kg．该商场为使每天的销售额达到1800元，可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
x（100﹣）＝1800，
故选：C．
10．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为4；③△APD一定是等腰三角形；④AP⊥EF且AP＝EF；⑤EF的最小值为；其中正确结论的序号为（　　）
A．①②③④ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．①②④
【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得DP＝EC．
②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，则四边形PECF的周长为8；
③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形；
④由②可知，四边形PECF为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明AP＝EF，证明∠PFH+∠HPF＝90°，则AP⊥EF；
⑤当AP最小时，EF最小，EF的最小值等于；
【解答】解：①如图，延长FP交AB与G，连PC，延长AP交EF与H，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DBC＝45°
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，
∴DP＝EC．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝4，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
由正方形为轴对称图形，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，
∴PG＝PE，
∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴∠BAP＝∠PFE，
∵GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，
∴∠BAP+∠APG＝90°，
∵∠APG＝∠HPF，
∴∠PFH+∠HPF＝90°，
∴AP⊥EF，
故④正确；
⑤由EF＝PC＝AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP＝BD＝×2＝时，EF的最小值等于，
故⑤错误；
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3，共15分）.
11．（3分）若＝，则的值为　4　．
【分析】根据＝，得出b＝3a，再代入进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴b＝3a，
∴＝＝4；
故答案为：4．
12．（3分）四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，他们的面积比为16：9，四边形ABCD的周长是16，则四边形A1B1C1D1的周长为 　12　．
【分析】利用相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，他们的面积比为16：9，
∴相似比为4：3，
∴周长比等于4：3，
∴四边形A1B1C1D1的周长＝×16＝12，
故答案为：12．
13．（3分）如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是　　．
【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：空白部分一共有6个位置，白色部分只有在1或2处时，
黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：＝．
故答案为：．
14．（3分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有196人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 　12　个人．
【分析】传染源为1人，每次传播x人，第一轮传播后，感染的人数一共为（x+1）人，（x+1）人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为x（x十1）人，根据两轮感染的总人数169即可列出方程求解．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得x+1+（x+1）x＝169，
解得：x＝12或x＝﹣14（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．
故答案为：12．
15．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝5．则图中阴影部分的面积为　10　．
【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×5＝5，
∴S阴＝5+5＝10，
故答案为10
三、解答题（本大题共8小题，共75分）.
16．（8分）如图，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点D为位似中心将其放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2：1，画出符合条件的所有图形．（不要求写作法）
【分析】根据位似图形的性质画图即可．
【解答】解：如图：即为所求．
17．（12分）（1）（x﹣2）2＝9；（用直接开平方法）
（2）x2﹣4x﹣1＝0；（用配方法）
（3）4x2+3x﹣2＝0；（用公式法）
（4）4（x+3）2＝（x﹣1）2；（用因式分解法）
【分析】根据解一元二次方程的方法和步骤解方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，
x﹣2＝±3，
∴x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x2﹣4x﹣1＝0，
（x﹣2）2＝5，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（3）4x2+3x﹣2＝0，
∵△＝9+32＝41＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（4）4（x+3）2＝（x﹣1）2；
2（x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，
（2x+6+x﹣1）（2x+6﹣x+1）＝0，
∴3x+5＝0，或x+7＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣7．
18．（8分）已知关于x的方程k2x2+（2k﹣3）x+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程有实数根，求k的取值范围．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣3）2﹣4k2×1＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）讨论：当k＝0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当k≠0时，利用判别式的意义得到Δ＝（2k﹣3）2﹣4k2×1≥0，解得k≤且k≠0，然后综合两种情况得到k的范围．
【解答】解：（1）∵关于x的方程k2x2+（2k﹣3）x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且k2≠0，即Δ＝（2k﹣3）2﹣4k2×1＞0且k≠0，
解得k＜且k≠0；
（2）当k2＝0，即k＝0时，有方程为﹣3x+1＝0，
∵关于x的方程k2x2+（2k﹣3）x+1＝0有实数根，有实数根，符合题意；
当k2≠0，即k≠0时，原方程是一元二次方程，
由题意得Δ＝（2k﹣3）2﹣4k2×1≥0，
解得k≤且k≠0，
综上，若方程有实数根，则k≤．
19．（9分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF．
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形；
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，并说明理由．
【分析】（1）只要证明DF＝BC，DF∥BC，即可解决问题；
（2）由“对角线相等的平行四边形是矩形”可以推导：AC＝BC．
【解答】证明：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE＝BC，DE∥BC，
又EF＝DE，
∴DF＝DE+EF＝BC，
∴四边形DBCF是平行四边形．
（2）当AC＝BC时，平行四边形ADCF是矩形．
理由：在△ABC中，D、E分别是AB，AC边上的中点，
∴AE＝EC，
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC＝BC，AC＝DF，
∴DC⊥AB，
∵平行四边形ADCF是矩形．
20．（8分）“吾悦广场”开展“有奖大酬宾”活动，凡在“吾悦广场”消费的顾客，均可凭消费小票参与转转盘抽奖活动．如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成A、B、C、D、E五个扇形区域，依次写有：绿茶、欢迎惠顾、红茶、可乐和谢谢参与，如果转到区域为“可乐”、“绿茶”、“红茶”，则可领到对应的奖品．若转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘一次，直到指针不指向边界时停止．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）小王同学转动转盘一次获得奖品的概率是　　．
（2）小李同学有两次转转盘抽奖的机会，请你用列表或画树状图的方法，求小李同学获得“至少领到一瓶可乐”的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式即可得出答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小李同学获得“至少领到一瓶可乐”的情况，然后根据概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵转盘被等分成A、B、C、D、E五个扇形区域，转到区域为“可乐”、“绿茶”、“红茶”，则可领到对应的奖品，
∴小王同学转动转盘一次获得奖品的概率是；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有25种等情况数，其中小李同学获得“至少领到一瓶可乐”的9种，
则小李同学获得“至少领到一瓶可乐”的概率是：．
21．（10分）某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，那么这个车棚的长和宽分别应为多少米？
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，然后可得另两面则为（26﹣2x+2）米，然后利用其面积为80列出方程求解即可；
（2）设小路的宽为a米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案．
【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米
根据题意得：x（28﹣2x）＝80
整理得：x2﹣14x+40＝0
解得x＝4或x＝10，
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）
当x＝10时，28﹣2x＝8＜12
∴长为10米，宽为8米．
（2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，
a2﹣14a+13＝0，
解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，
答：小路的宽为1米．
22．（9分）阅读下面材料，完成学习任务：
数学活动 测量树的高度
在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：
①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴……
任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整．
【分析】设AB＝x米，BC＝y米．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题；
【解答】解：设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴，
∴，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH
∴△ABF∽△GHF，
∴，
∴，
∴，
解得y＝20，
把y＝20代入中，
得解得x＝15
∴树的高度AB为15米．
23．（11分）【教材呈现】如下是某版九年级上册数学教材的部分内容．
如图1，先把一张矩形纸片ABCD上下对折后展开，折痕为MN；如图2，再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片后展开，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，折痕为PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB．
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由．
【问题解决】（1）写出教材中的第一问的证明过程．
（2）小明同学对教材中的第二问进行作答，下面只给出了部分证明过程，请你结合小明的思路填空，将证明过程补充完整．判断：△PBE和△BAE相似．证明：作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，如图3所示，则AB＝2QF＝2BF．由题意得AB＝PQ＝2BQ，
∴QF＝BF＝BQ．
∴△FBQ为 　等边三角形　．
∴∠ABQ＝　60　°，
∵∠BQA＝90°，
∴∠BAQ＝　30　°，
由翻折可知∠EAB＝12（90°﹣∠BAQ）＝　30　°．
∵∠ABE＝90°，∠ABQ＝60°，
∴∠EBP＝30°．
∴∠EBP＝∠　EAB　．
又∵∠BPE＝∠ABE＝90°，
∴△PBE∽△BAE．
【结论应用】在图2的基础上，将纸片ABCD按图4所示翻折，点C恰好落在直线AB上，得到△CDG．若AB＝3，则CG的长为 　6﹣3　．
【分析】【问题解决】：
（1）由余角的性质可得∠EBP＝∠BAQ，由两组对角对应相等的两三角形相似可证△PBE∽△QAB；
（2）作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，可证△FBQ为等边三角形，可得∠ABQ＝60°，可求∠EBP＝∠EAB＝30°，由两组对角对应相等的两三角形相似可证△PBE∽△BAE；
【结论应用】：
由“ASA”可证△ABE≌△GBE，可得AB＝BG＝3，由折叠的性质和直角三角形的性质可得AC＝CD＝3，即可求解．
【解答】【问题解决】：
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠EBA＝90°．
∴∠EBP+∠ABQ＝90°．
∵点D、Q、A共线，
∴∠AQB＝90°．
∴∠ABQ+∠BAQ＝90°．
∴∠EBP＝∠BAQ．
∵∠BPE＝∠AQB＝90°，
∴△PBE∽△QAB．
（2）证明：作Rt△ABQ的斜边AB上的中线QF，如图（3）所示，则AB＝2QF＝2BF．
由题意得AB＝PQ＝2BQ，
∴QF＝BF＝BQ．
∴△FBQ为等边三角形，
∴∠ABQ＝60°，
∵∠BQA＝90°，
∴∠BAQ＝30°，
由翻折可知．∠EAB＝（90°﹣∠BAQ）＝30°，
∵∠ABE＝90°，∠ABQ＝60°，
∴∠EBP＝30°，
∴∠EBP＝∠EAB，
又∵∠BPE＝∠ABE＝90°，
∴△PBE∽△BAE．
故答案为：等边三角形，60，30，30，EAB；
【结论应用】：
解：∵∠EAB＝∠EBP＝30°，
∴∠AEB＝∠GEB＝60°，
又∵EB＝EB，∠ABE＝∠EBG＝90°，
∴△ABE≌△GBE（ASA），
∴AB＝BG＝3，
∴AG＝6，
由折叠可得∠ACD＝90°，
∵∠BAQ＝30°，
∴AD＝2CD＝6，AC＝CD＝3，
∴CG＝AG﹣AC＝6﹣3，
故答案为：6﹣3．

展开更多......

收起↑