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第一课 整式概念+代数式应用篇
1.下列判断正确的是( )
A. 6a2b与ba2不是同类项
B. 不是整式
C. 单项式-x3y3的系数是-1
D. x2-3y+6x2y是二次三项式
【答案】 C
【考点】整式及其分类，单项式的次数和系数，多项式的项和次数，同类项
【解析】【解答】解：A、6a2b与ba2是同类项，故A不符合题意；
B、是整式，故B不符合题意；
C、单项式-x3y3的系数是-1，故C符合题意；
D、x2-3y+6x2y是三次三项式，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同类项的定义，整式的定义，单项式的系数定义，多项式的次数和项的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2.下列说法中正确的是( )
A. 是整式
B. 和0都是单项式
C. 单项式 的系数为
D. 多项式 的次数是3
【答案】 B
【考点】单项式，整式及其分类，单项式的次数和系数，多项式的项和次数
【解析】【解答】解：A、 分母中有字母，是分式，不是整式，故此选项不正确；
B、 和0都是单项式，故此选项正确；
C、单项式 的系数为 ，不是 ，故此选项不正确；
D、 ∵多项式 中单项式 是4次，所以多项式 的次数是4而不是3，故此选项不正确.
故答案为：B.
【分析】数和字母的乘积叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数；几个单项式的和叫做多项式，其中每一个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数就是多项式的次数；单项式和多项式统称整式，据此即可一一判断得出答案.
3.下列代数式中，不是整式的是（ ）
A. B.
C. D. -2005
【答案】 C
【考点】分式的定义，整式及其分类
【解析】【解答】解： 是整式中的单项式，故 不符合题意；
是整式中的多项式，故 不符合题意；
是分式，故 符合题意；
-2005是整式中的单项式，故 不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据分式的定义找出分式即可，形如， A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，据此分别判断.
4、在代数式 -2x2y、 、-6、a、 、 、-x2+2x-1中整式的个数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】 C
【考点】整式及其分类
【解析】【解答】解：-2x2y、 、-6、a、 、 、-x2+2x-1中，-2x2y、 、-6、a、是单项式， 、-x2+2x-1中是多项式，所以共有6个整式， 分母中含有字母，不是整式.
故答案为：C
【分析】根据单项式和多项式概念确定分类，最后作出判断即可.
5、某班共有x个学生，其中女生人数占53%，用代数式表示该班的男生人数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【考点】列式表示数量关系
【解析】【解答】某班共有x个学生，其中女生人数占53%，则女生人数为 ，
男生人数为 ，
故答案为：B．
【分析】求出即可作答。
6.疫情期间，口罩的原材料提价，因而厂家决定对口罩进行提价，现有三种方案：
⑴第一次提价5%，第二次提价10%；
⑵第一次提价10%，第二次提价5%；
⑶第一、二次提价均为7.5%，三种方案哪种提价最多，下列说法正确的是（ ）
A. 方案（1） B. 方案（2）
C. 方案（3） D. 三种方案相同
【答案】 C
【考点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：设口罩进行提价前的价格为a元，
方案（1）：a（1+5%）（1+10%）=1.155a（元）；
方案（2）：a（1+10%）（1+5%）=1.155a（元）；
方案（3）：a（1+7.5%）（1+7.5%）=1.155625a（元）；．
∵1.155625a＞1.155a
∴提价最多的是方案（3）；
故答案为：C
【分析】设口罩进行提价前的价格为a元，根据题意列出代数式比较大小即可。
7.如图是一个运算程序：
若x＝﹣1，输出结果m的值与输入y的值相同，则y的值为（　　）
A. B.
C. D.
【答案】 C
【考点】代数式求值
【解析】【解答】解：∵x=-1，输出结果m的值与输入y的值相同，
∴y=m ，
当-1＞m时，
∵|-1|+3m=m ，
解得m=- ，不符合题意．
当-1≤m时，
∵|-1|-3m=m ，
∴1-3m=m ，
解得m= ，符合题意，
∴y= ，
故答案为：C．
【分析】将x=-1代入流程图，根据流程图的计算方法求解即可。
8.如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A. 点A B. 点B
C. AB之间 D. BC之间
【答案】 A
【考点】两点间的距离，线段的计算
【解析】【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜300），则所有人的路程的和是：30m+15（300-m）+10（900-m）=13500+5m＞13500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜600），则总路程为30（300+n）+15n+10（600-n）=15000+35n＞13500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故答案为：A．
【分析】分类讨论，根据 AB＝300米，BC＝600米 计算求解即可。
9.已知 与 是同类项，则式子 的值是 ．
【答案】 2
【考点】同类项
【解析】【解答】解：∵ 与 是同类项，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
故答案为：2.
【分析】先求出 ， ，再求出 ， ，最后代入计算求解即可。
10.请写出一个只含有字母x，y，且次数不超过2的整式： ．
【答案】 （答案不唯一）
【考点】整式及其分类
【解析】【解答】∵含有字母x，y，且次数不超过2的整式：如
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】根据整式的特点即可写出符合题意的整式。
11.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，第2021次输出的结果为 ．
【答案】 4
【考点】代数式求值，探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由设计的程序，知依次输出的结果是25，32，16，8，4，2，1，8，4，2， ，发现从8开始循环．
则 ， ，故第2021次输出的结果是4．
故答案是：4．
【分析】先求出 ， ，再计算求解即可。
12.已知有9个相同的小长方形，它们的宽、长分别为a，b，现将这9个小长方形按如图所示的方式放置在一个大长方形中，若a+3b=13，则图中未被小长方形盖住的阴影部分的周长为 ．
【答案】 26
【考点】列式表示数量关系，整式的加减运算
【解析】【解答】解：如图，
BF=2a+b-a-b=a；FC=2b；EC=b-a；FH+DE=2b-3a；HD=2a；FA=b;AB=3a
∴图中未被小长方形盖住的阴影部分的周长为
a+2b+b-a+2b-3a+2a+b+3a=6b+2a=2（a+3b）=2×13=26.
故答案为：26.
【分析】利用图形，分别表示出BF，CF，EC，FH+DE，HD，FA的长；然后根据图中未被小长方形盖住的阴影部分的周长为BF+CF+EC+FH+DE+HD+FA，代入化简，可求出结果.
13.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正方形组合而成，第1个图案有5个正方形，第2个图案有8个正方形，第3个图案有11个正方形……按此规律摆下去，第n个图案有 个正方形（用含n的代数式表示）．
【答案】
【考点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图案有5个正方形，即 ，
第2个图案有8个正方形，即 ，
第3个图案有11个正方形，即 ，
……
第 个图案有 个正方形，
故答案为： ．
【分析】根据图形的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，从而得出规律.
14.观察下列单项式﹣2x，4x2 ， ﹣8x3 ， 16x4 ， ﹣32x5 ， 64x6 ， …
（1）分别指出单项式的系数和指数是怎样变化的？
（2）写出第10个单项式；
（3）写出第n个单项式．
【答案】 解：（1）系数为：﹣2，4=（﹣2）2 ， ﹣8=（﹣3）3 ， 16=（﹣2）4 ， ﹣32=（﹣2）5…
指数分别是：1，2，3，4，5，6…
（2）第10个单项式为：（﹣2）10x10=1024x10；
（3）第n个单项式为：（﹣2）nxn ．
【考点】单项式，探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据单项式的次数与系数定义得出即可；
（2）根据单项式系数与次数的变化得出一般性规律,得出第10个单项式；
（3）根据单项式系数与次数的变化得出一般性规律，进而得出第n个单项式 .
15.已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的平方等于9，求 的值．
【答案】 解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的平方等于9，
∴ ， ， ，
或 ，
的值为 或 ．
【考点】代数式求值
【解析】【分析】先求出 ， ， ， 再代入计算求解即可。
16.已知a ， b互为相反数，c ， d互为倒数，|m|＝2，求代数式2m﹣（a+b﹣1）+3cd的值．
【答案】 解： a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝2，
， ， ，
原式=
或原式= ．
【考点】代数式求值
【解析】【分析】根据相反数、倒数和绝对值的性质可以得到： ， ， ， 再代入计算即可。
17.已知│x│=2003，│y│=2002，且x＞0，y＜0，求x+y的值.
【答案】 解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵x＞0，y＜0，
，
【考点】代数式求值，绝对值的非负性
【解析】【分析】根据 │x│=2003，│y│=2002，且x＞0，y＜0， 先求出x和y的值，再代入计算求解即可。
18.某零件厂现生产A ， B两种尺寸的零件，两种零件的成本和售价如表：
成本（元/个） 售价（元/个）
A 50 80
B 70 90
该厂每天共生产A ， B两种尺寸的零件800个，设每天生产A种零件x个．
（1）用含x的代数式表示该厂每天的生产成本，并进行化简；
（2）用含x的代数式表示该厂每天获得的利润，并进行化简；
（3）当x＝500时，求该厂每天获得的利润．（利润＝售价﹣成本）
【答案】 （1）解：由题意得：A零件每天的成本为： ；B零件每天的成本为： ，
∴该厂每天的生产成本 ；
（2）由题意得：A零件每天的利润为： ；B零件每天的利润为： ，
∴该厂每天的生产利润 ；
（3）当 时，该厂每天的生产利润 元．
【考点】列式表示数量关系，代数式求值
【解析】【分析】（1） 该厂每天的生产成本 =A和B的成本和，由此列式计算即可；
（2） 该厂每天的生产利润 =A和B的利润和，由此列式计算即可；
（3）把 代入（2）中的代数式，再求出即可。
19.A ， B两果园分别有橘子50吨和60吨，按四条线路，将橘子全部运送到C ， D两地，C ， D两地分别运到橘子40吨和70吨，已知从A ， B两果园到C ， D两地的运价标准如下表：
到C地的运价 到D地的运价
A果园 每吨8元 每吨10元
B果园 每吨7元 每吨11元
（1）设从A果园运到C地的橘子为x（ ）吨．
①请直接写出从A果园运到D地的橘子为 吨，从B果园运到C地的橘子为 吨（用含x的代数式表示）；
②求四条线路运输橘子的总运输费 （用含x的代数式表示）；
当从A果园运到D地的橘子为15吨时，请直接写出四条线路运输橘子的总运输费为 ．
【答案】 （1）；；2x+1000
（2）1070元．
【考点】列式表示数量关系，一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：（1）①从A果园运到C地的橘子为x ， 则从A果园运到D地的橘子为 吨，C地需要运到橘子40吨，则求出B果园运到C地的橘子为 吨
故答案为： ， ；
②从B果园运到D地的橘子为70- =（20+x）吨
∴四条线路运输橘子的总运输费为8x+10 +7 +11（20+x）= （元）；
（2）当从A果园运到D地的橘子为15吨时，即 =15
解得x=35
故 = =1070元．
【分析】（1）①根据表格中的数据计算求解即可；
②先求出70- =（20+x），再计算求解即可；
（2）先求出 =15，再求出x=35，最后代入计算求解即可。
20.某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 八折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠
（1）若王老师一次性购物600元，他实际付款 元.若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 元；
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时.他实际付款 元（用含x的代数式表示并化简）；
（3）如果王老师有两天去超市购物原价合计850元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时.王老师两天一共节省了多少元？
【答案】 （1）470元；200或160元
（2）0.8x；（0.7x+50）
（3）解：第一天购物实际付款：0.8a元，
第二天购物实际付款：500×0.8+0.7（850-a-500）=（645-0.7a）元，
两天共付款：（0.1a+645) 元，
当a=250元时，0.1a+645=670元；
所以共节省：850-670=180元.
【考点】代数式求值，用字母表示数
【解析】【解答】解：（1）王老师一次性购物600元，他实际付款：500×0.8+100×0.7=470（元），
王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是：160÷0.8=200元或160元，
故答案为：470；200或160；
（2）顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款0.8x元；当x大于或等于500元时，他实际付款：500×0.8+0.7（x-500）=（0.7x+50）元，
故答案为：0.8x，（0.7x+50）；
【分析】（1）500元按8折计算，超出的7折计算；实际付款160元时，设王老师一次性购物可能是x元，分两种情况：①200＜x＜500，按八折计算，②0＜x＜200，没有折扣；
（2）当x小于500元但不小于200时，他实际付款按8折计算，大于或等于500元时；他实际付款500这部分按8折计算，超出的（x 500）这部分7折计算；
（3）根据（2）的思路表示第一天购物实际付款和第二天购物实际付款．
21.某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，在促销活动期间，该厂向客户提供了两种优惠方案(客户只能选择其中一种优惠方案)：
①买一套西装送一条领带；
②西装按原价的9折收费，领带按原价的8折收费．
在促销活动期间，某客户要到该服装厂购买x套西装，y条领带(y>x)．
（1）该客户选择两种不同的方案所需总费用分别是多少元？ (用含x y的式子表示并化简)
（2）若该客户需要购买10套西装，22条领带，则他选择哪种方案更划算？
（3）若该客户需要购买15套西装，40条领带，则他选择哪种方案更划算？
【答案】 （1）解: 按方案①购买，需付款：200x + (y-x) ×40= 40y + 160x(元)；
按方案②购买，需付款：200x×90% +40y ×80% =180x + 32y(元) ；
（2）解: 当x= 10，y=22时，
选择方案①，需付款：40×12 +200×10=2 480(元)；
选择方案②，需付款：180×10 +32×22 =2 504(元)；
因为2480<2 504，
所以选择方案①更划算；
（3）解: 当x=15，y=40时，
选择方案①，需付款：40×30 + 200×15 =4 000(元)；
选择方案②，需付款：180×15 +32×40 =3980(元)；
因为4 000>3 980，
所以选择方案②更划算．
【考点】列式表示数量关系，代数式求值
【解析】【分析】(1)根两种不同的方案分别列出代数式即可；
(2) (3) 把x、y的值代入(1)的代数式中分别求出两种方案的费用，然后比较即可判断哪种方案更合算.
22.开学伊始，学校决定对上学期期末考试成绩优秀的学生和进步大的学生进行表彰，总务处李老师计划购买一些笔记本作为奖品，他去两家文体商店对笔记本的价格进行了咨询：
商店A：购买本数不超过100本时，每本5元；超过100本时，超过的部分每本4元.
商店B：无论买多少本，每本4.5元.
（1）设购买的笔记本为x本，用含有x的代数式分别表示两家商店所需要的费用.
（2）若学校要购买300本笔记本，应该去哪家商店比较合算？说明理由.
【答案】 （1）解：商店A：不超过100本，费用为：5x元；
100本以上，费用为：
100×5+（x﹣100）×4
＝（4x+100）元；
商店B：费用为：4.5x元；
（2）解：去商店A比较合算，理由如下：
当x＝300时，
商店A：
4x+100
＝4×300+100
＝1300（元）；
商店B：
4.5x
＝4.5×300
＝1350（元）.
因为1300＜1350，
所以在商店A购买比较合算.
【考点】列式表示数量关系，代数式求值
【解析】【分析】（1）根据题意得出商店A：不超过100本，费用为5x元，100本以上，费用为（4x+100）元；商店B：费用为4.5x元；
（2）分别求出两个商店的费用，再进行比较，即可得出答案.
23.双11网络促销活动即将到来，甲、乙两家网店分别出售A型、B型两种取暖器，零售价及运费如下表所示：
型号网店 A型 B型 运费
A型 B型
甲 100元/台 200元/台 10元/台 10元/台
乙 120元/台 190元/台 免运费 12元/台
某公司计划在网上采购A型、B型两种取暖器共10台，其中A型取暖器购买x台.
（1）若两种取暖器全部在甲网店购买，需付总费用为 元（用含x的最简式子表示）；若两种取暖器全部在乙网店购买，需付总费用为 元（用含x的最简式子表示）；
（2）当 时，请通过计算解决下列问题：
①在（1）中的条件下，该公司在哪家网店购买取暖器更划算？
②若两种取暖器可以同时在两家网店自由选择购买，还有比①中更优惠的方案吗？如果有，请写出这个方案，并求出此时购买取暖器的总费用；如果没有，请说明理由.
【答案】 （1）（）；（）
（2）①当 时，甲网店购买，总费用为： （元），
乙网店购买总费用为： （元），
，
甲网店购买取暖器更划算；
②还有比①中更优惠的方案.
由题可知：甲网店购买一台A型取暖总需110元，乙网店购买一台A型取暖共需120元，
A型取暖在甲店购买，
甲网店购买一台B型取暖总需210元，乙网店购买一台B型取暖共需202元，
B型取暖在乙店购买，
总费用为： （元），
A型取暖在甲店购买6台，B型取暖在乙店购买4台更优惠，此时购买取暖器的总费用为1468元.
【考点】代数式求值，用字母表示数
【解析】【解答】解：（1）A型取暖器购买x台，则B型取暖器购买 台，
若两种取暖器全部在甲网店购买，
总费用为： ；
若两种取暖器全部在乙网店购买，
总费用为： ，
故答案为： ； ；
【分析】（1）分别表示出购买的钱数以及运费，然后相加即可；
（2）①将x=6代入（1）中的关系式中分别求出甲、乙网店购买的总费用，然后进行比较即可；
②A型取暖在甲店购买，B型取暖在乙店购买，求出总费用即可.
24.综合与实践：在数学综合与实践课上,老师以“出行方式的选择"为主题，请同学们发现和提出问题并分断和解决问题
问题情境：随着互联网的普及和城市交通的多样化,人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车．滴滴快车和神州专车三种网约车,收费标准见下图（该市规定网约车行驶的平均速度为 公里时）
（1）问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里．他们发现乘坐出租车最节省钱．费用为 元;
（2）问题二：“质疑小组”提出了两个问题，请从 两个问题中任选一问做答，
A．从甲地到乙地,乘坐出租车比滴滴快车节省 元,求甲．乙两地间的里程数．
B．神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动:神州专车收费打八折,另外加 元的空车费;滴滴快车超过 公里收费立减 元．如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同,求这两位顾客乘车的里程数．
【答案】 （1）30.8
（2）解： :设甲、乙两地间里程数为 公里
①若
解得： （舍）
②若 ，
解得：
答:甲、乙两地间里程数为 公里
:设两位顾客的里程数为 公里
①若 ，
解得：
②若 ，
解得：
答:两位顾客的里程数为 或 公里．
【考点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题，一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】（1）问题一： （元）

故答案为：30.8
【分析】（1）求出即可作答；
（2）分类讨论，列式计算求解即可。
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第一课 整式概念+代数式应用篇
一、“双基目标”
①代数式概念
②理解单项式及次数；
③理解多项式的项、次数、最高次项；
④理解整式以及其它相关概念.
⑤理解“同类项”概念.
二、能力目标
体会不同情境中的建模思想，并能运用“数→式”建模思想分析、解决问题。
①列代数式，并理解其规范；
②运用代数式的相关知识解决一些常见应用问题
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
代数式的概念
1、定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，像a+b,x的二次方-1，s/t,ab ,a等都是代数式。
【说明】(1)单独一个数或一个字母也是代数式，如-3，a.
{2}代数式中只能有运算符号，不应含有“=”或不等号‘‘>”“<”“≧”“≦”。也就是说，等式或不等式不是代数式，但代数式中可以含有括号。
（3）代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义，即在实际问题中，字母表示的数要符合实际问题。
2.如何正确书写代数式
（1）在代数式中的出现的乘号，通常以“·”表示或者省略不写，如v×t应写作v·t或vt;
(2) 数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如a×5应写作5·a或5a;
(3) 数字与数字相乘，一般仍用“×”号；
（4）带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘，如ab ×2 1/2应写作5/2·ab或5/2ab；
(5) 在代数式出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如ab ÷5应写作ab/5;
(6) 在一些实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的.如果代数式是积或商的形式,就将单位名称写在代数式后面即可;如果代数式是和或差的形式,那么必须把代数式括起来,再将单位名称写在后面,如s千米,（10x＋5y）元.
【例1】 指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
特别注意：不论单项式还是多项式，分母中都不能含有字母。
【例2】
1. 单项式m2n2的系数是_____,次数是_____, m2n2是____次单项式.
2.如果-5xym-1为4次单项式,则m=____.
3.若-ax2yb+1是关于x、y的五次单项式，且系数为-，则a=____,b=____.
4、单项式－的系数与次数分别是（ ）
A.－2, 6 B.2, 7 C.－, 6 D.－ , 7
【例3】
1. 多项式3m3-2m-5+m2的常数项是____,一次项是_____, 二次项的系数是_____.
2.多项式－3a2b3 +5a2b2－4ab－2 共有几项，多项式的次数是多少？第三项是什么，它的系数和次数分别是多少？
3、如果多项式
求a、b的值.
【例4】
1、如果3x2my3与 x2yn+1是同类项，则m，n的值为（ ）
A. m=1，n=2 B. m=﹣1，n=3
C. m=﹣1，n=﹣2 D. m=1，n=﹣3
2.若单项式-x2m-3y4 与 3x5yn+2 的和仍是单项式，则 mn= .
3、若3xm+5y2 与 23x8yn 的差是一个单项式，则代数式-mn的值为（ ）
A. -8 B. 9 C. -9 D. -6
【例5】一个三位数，个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数是（ ）
A. abc B. 100c+10b+a C. 100a＋10b＋c D. a＋b＋c
【例6】用式子表示十位上的数是a，个位上的数是b的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，计算所得的数与原数的和，这个数能被11整除吗？
【跟踪练习】
一个三位数x的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，得到一个新数y，试问x－y能被9整除吗？说明理由。
【例7】已知m，n互为相反数，p，q互为倒数，x的绝对值为2021，求
【例8】（数值转换机问题） 轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算．若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】乐乐按如图所示的程序进行计算，如果输入x的值是正整数，输出结果是214，那么所有满足条件的x的值为______．
【例8】（分段收费问题）某市为鼓励市民节约用水，特制定如下的收费标准：若每月每户用水不超过10立方米，则按3元/立方米的水价收费，并加收0.2元/立方米的污水处理费；若超过10立方米，则超过的部分按4元/立方米的水价收费，污水处理费不变 ．
（1）若小华家5月份的用水量为8立方米，那么小华家5月份的水费为 元；
（2）若小华家6月份的用水量为15立方米，那么小华家6月份的水费为 元；
（3）若小华家某个月的用水量为a（a＞10）立方米，求小华家这个月的水费（用含a的式子表示）．
【例9】1.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.3元/公里 0.3元/分钟 0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内(含10公里)不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元
（1）若乘坐滴滴快车，行车里程为8公里，行车时间为15分钟，则需付车费 元．
（2）若乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费 元．
（3）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元(用含a、b的代数式表示，并化简．)
【例10】前进服装厂生产一种夹克和 恤，夹克每件定价200元， 恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一件夹克送一件 恤；
②夹克和 恤都按定价的80%付款．
现某客户要到该服装厂购买夹克30件， 恤 件 ．
（1）若该客户按方案①购买，夹克和 恤共需付款 元（用含 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克和 恤共需付款 元（用含 的式子表示）；
（2）若 ，按方案①购买夹克和 恤共需付款多少元？按方案②购买夹克和 恤共需付款多少元，哪一种方案合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
【例11】某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送一只茶碗；方案二，茶具和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）．
（1）若客户按方案一，需要付款 元；若客户按方案二，需要付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝40，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适？
（3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由．
【例13】如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为2a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a的代数式表示）
A. ﹣a B. a C. ﹣ a D. a
【例14】如图 ，是由两个正方形组成的图形．
（1）用图中所给的数字和字母列代数式表示出阴影部分的面积S．
（结果要求化简）
当a＝4时，求阴影部分的面积．
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北师版七年级上册 整式期末复习系列
第一课
整式相关概念+代数式应用篇
一、 双基目标
①代数式概念
②理解单项式及次数；
③理解多项式的项、次数、最高次项；
④理解整式以及其它相关概念.
⑤理解“同类项”概念.
二、能力目标
体会不同情境中的建模思想，并能运用“数→式”建模思想分析、解决问题。
①列代数式，并了解其规范；
②运用代数式的相关知识解决一些常见应用问题
整 式
单项式：
多项式：
系数、次数
项、次数、常数项
单项式：数字与字母的乘积组成的代数式。
如：－4ab
多项式：几个单项式的和组成的代数式。
如：
知识回顾
指出下列代数式中哪些是单项式？
哪些是多项式？哪些是整式？
不论单项式还是多项式，分母中都不能含有字母。
特别注意：
典例精讲
1. 单项式m2n2的系数是_____,次数是_____, m2n2是____次单项式.
2.如果-5xym-1为4次单项式,则m=____.
3.若-ax2yb+1是关于x、y的五次单项式，且系数为-，则a=____,b=____.
1
4
四
4
2
0.5
解：由题意得：1+m-1=4
m=4
典例精讲
4、单项式－ 的系数与次数分别是（ ）
－2, 6 B.2, 7
C.－ , 6 D.－ , 7
D
典例精讲
1. 多项式3m3-2m-5+m2的常数项是____,
一次项是_____, 二次项的系数是_____.
2.多项式－3a2b3 +5a2b2－4ab－2 共有几项，多项式的次数是多少？第三项是什么，它的系数和次数分别是多少？
-5
-2m
1
典例精讲
3、如果多项式
求a、b的值.
a-1=0， b+3=0
解：由题意得：
a=1， b=-3
典例精讲
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
两相同
所含字母
相同字母的指数
两无关
与系数无关
与字母顺序无关
一特例
0,
2009,......所有的数字均为同类项
知识回顾
1、如果3x2my3与 x2yn+1是同类项，则m，n的值为（ ）
A. m=1，n=2 B. m=﹣1，n=3
C. m=﹣1，n=﹣2 D. m=1，n=﹣3
2.若单项式x2m-3y4 与 3x5yn+2 的和仍是单项式，则 mn= .
3、若3xm+5y2 与 23x8yn 的差是一个单项式，则代数式-mn的值为（ ）
A. -8 B. 9 C. -9 D. -6
典例精讲
列代数式——是“算术思维”向“代数思维”发展的关键，它不仅可以用来表示任意数，特定数，一些常见的公式、法则这些基本的数学内容；同时还可以用来表示众多问题中的数量关系，尤其是与实际问题结合之后，可以简明地揭示出其中的规律和复杂问题中的数量关系。成为了本学期考试的热点问题.因此复习的时候要在掌握一些基本方法的基础上，着重从揭示实际问题中的数量关系入手，引导学生分析解决一些实际问题——如利润问题；分段收费问题；方案选择问题；规律探究问题等等.
复习说明
一个三位数，个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数是（ ）
A. abc B. 100c+10b+a C. 100a＋10b＋c D. a＋b＋c
说明：
一个两位数，个位数字是a,十位数字为b，则这个两位数可表示为
10b+a
知识回顾
用式子表示十位上的数是a，个位上的数是b的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，计算所得的数与原数的和，这个数能被11整除吗？
解：原数为10a+b，新数为a+10b，
和为（10a+b）+（a+10b）=10a+b+a+10b=11a+11b
=11（a+b）.
所以这个数能被11整除.
典例精讲
一个三位数x的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，得到一个新数y，试问x－y能被9整除吗？
说明理由。
跟踪练习
已知m，n互为相反数，p，q互为倒数，x的绝对值为2021，求
解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2021，
∴m+n=0，pq=1，x=2021或-2021，
则原式= -2021×1-2021=-4042或原式= -2021×1+2021=0．
故答案为：-4042或0．
分析：解题关键是理解有理数的相关概念——相反数、绝对值、倒数的意义.
典例精讲
轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算．若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
典例精讲
解：由题意可得，
当输入x时，3x﹣1＝41，解得：x＝14，
即输入x＝14，输出结果为41；
当输入x满足3x﹣1＝14时，解得x＝5，
即输入x＝5，结果为14，再输入14可得结果为41，；
同理：
当输入9x﹣4时，3（9x﹣4）﹣1＝41，即：27x﹣13＝41，解得：x＝2，
当输入27x﹣13时，3（27x﹣13）﹣1＝41，即：81x﹣40＝41，解得：x＝1，
∵x为正整数，
∴x的值可取1或2或5或14，
故选：D．
解：当4x﹣2=214
解得x=54，
当4x﹣2=54时，
x=14；
当4x﹣2=14时，
x=4．
故答案为：54或14或4．
乐乐按如图所示的程序进行计算，如果输入x的值是正整数，输出结果是214，那么所有满足条件的x的值为______．
跟踪练习
某市为鼓励市民节约用水，特制定如下的收费标准：若每月每户用水不超过10立方米，则按3元/立方米的水价收费，并加收0.2元/立方米的污水处理费；若超过10立方米，则超过的部分按4元/立方米的水价收费，污水处理费不变 ．
（1）若小华家5月份的用水量为8立方米，那么小华家5月份的水费为 元；
（2）若小华家6月份的用水量为15立方米，那么小华家6月份的水费为 元；
（3）若小华家某个月的用水量为a（a＞10）立方米，求小华家这个月的水费（用含a的式子表示）．
典例精讲
（1）25.6；（2）53；
（3）解：3×10+4（a－10）+0.2a=30+4a－40+0.2a=4.2a－10．
∴小华家这个月的水费为（4.2a－10）元．
滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
（1）若乘坐滴滴快车，行车里程为8公里，行车时间为15分钟，则需付车费 元．
（2）若乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费 元．
（3）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元(用含a、b的代数式表示，并化简．)
典例精讲
解：（1）乘客需付车费为：8×1.3+15×0.3=14.9元；
（2）乘客需付车费为：20×1.3+30×0.3+（20-10）×0.4=39元；
（3）分两种情况：
① 当a≤10时， 小明应付车费为：（1.3a+0.3b）元 ，
②当a＞10时， 小明应付车费为：1.3a+0.3b+0.4（a-`10）=(1.7a+0.3b-4)元.
某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）
（1）某用户一个月用了15m3水，求该用户这个月应缴纳的水费；
（2）设某户月用水量为n立方米，当n＞18时，求该用户应缴纳的水费（用含n的代数式表示）；
（3）甲、乙两用户一个月共用水36m3 ， 已知甲用户缴纳的水费超过了20元．设甲用户这个月用水xm3 ， 则甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为多少元？（用含x的代数式表示）．
典例精讲
（1）解：2×10+3×（15-10）=20+15=35.
答：该用户这个月应缴纳的水费为35元.
（2）解：2×10+3×（18-10）+4×（n-18）=4n-28.
答：当n＞18时，求该用户应缴纳的水费为（4n-28）元.
（3）解：∵甲用户缴纳的水费超过了20元， ∴甲用户的用水量大于10m3 ，
分情况讨论： ①当10＜x≤18时，则18≤36 x， 此时共缴纳的水费为：2×10＋3×（x 10）＋2×10＋3×（18 10）＋4×（36 x 18）＝（106 x）元，
②当x＞18，0＜（36 x）≤10时， 此时共缴纳的水费为：2×10＋3×（18 10）＋4×（x 18）＋2×（36 x）＝（2x＋44）元，
③当x＞18，10＜（36 x）＜18时， 此时共缴纳的水费为：2×10＋3×（18 10）＋4×（x 18）＋2×10＋3×（36 x 10）＝（70＋x）元，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：（106 x）元或（2x＋44）元或（70＋x）元.
前进服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元， T恤每件定价100元．厂方
在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一件夹克送一件 T恤；
②夹克和 T恤都按定价的80%付款．
现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x 件(x＞30) ．
（1）若该客户按方案①购买，夹克和T 恤共需付款 元（用含x 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克和 T恤共需付款 元（用含x 的式子表示）；
（2）若x=40 ，按方案①购买夹克和T 恤共需付款多少元？按方案②购买夹克和T 恤共需付款多少元，哪一种方案合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当 x=40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
典例精讲
（1）(100x+3000)；(80x+4800)；
（2）当x=40时，按方案①购买所需费用：100x+3000=7000（元）；
当x=40时，按方案②购买所需费用：80x+4800=8000（元），
因为7000＜8000，
所以按方案①购买较为合算；
（3）先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件更为省钱．理由如下：
先按方案①购买夹克30件所需费用=6000（元），
按方案②购买T恤10件的费用=100×80%×10=800（元），
所以总费用为6000+800=6800（元），小于7000元，
所以此种购买方案更为省钱．
某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送一只茶碗；方案二，茶具和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）．
（1）若客户按方案一，需要付款 元；若客户按方案二，需要付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝40，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适？
（3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由．
典例精讲
（1）（20x+5400）；（19x+5700）；
（2）解：当x＝40时，
方案一：20x+5400＝800+5400＝6200，
方案二：19x+5700＝760+5700＝6460，
因为6200＜6460，
所以方案一更合适；
（3）解：可以有更合适的购买方式．
按方案一购买30套茶具赠30只茶碗，需要200×30＝6000（元），
按方案二购买剩余10只茶碗，需要10×20×0.95＝190（元），
共计6000+190＝6190（元）．
故此方案应付钱数为6190元．
如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为2a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a的代数式表示）
典例精讲
解：设长方形③的长为x，宽为y，
∴大长方形的宽=3y，大长方形长=2a=x+2y，x=2y，
图①阴影部分周长=2y+2×2a=2y+4a，
图②阴影部分周长=2(2a-x+3y)+2y，
图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差
= 2y+4a-2(2a-x+3y)-2y
=2y+4a-4a+2x-6y-2y =2x-6y
=2(2a-2y)-6y =4a-10y
=4a-5a =-a.
如图 ，是由两个正方形组成的图形．
（1）用图中所给的数字和字母列代数式表示出阴影部分的面积S．
（结果要求化简）
（2）当a＝4时，求阴影部分的面积．
典例精讲中小学教育资源及组卷应用平台
第一课 整式概念+代数式应用篇
1.下列判断正确的是( )
A. 6a2b与ba2不是同类项 B. 不是整式
C. 单项式-x3y3的系数是-1 D. x2-3y+6x2y是二次三项式
2.下列说法中正确的是( )
A. 是整式
B. 和0都是单项式
C. 单项式 的系数为
D. 多项式 的次数是3
3.下列代数式中，不是整式的是（ ）
A. B. C. D. -2005
4、在代数式 -2x2y、 、-6、a、 、 、-x2+2x-1中整式的个数是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5、某班共有x个学生，其中女生人数占53%，用代数式表示该班的男生人数是（ ）
A. B. C. D.
6.疫情期间，口罩的原材料提价，因而厂家决定对口罩进行提价，现有三种方案：
⑴第一次提价5%，第二次提价10%；
⑵第一次提价10%，第二次提价5%；
⑶第一、二次提价均为7.5%，三种方案哪种提价最多，下列说法正确的是（ ）
A. 方案（1） B. 方案（2）
C. 方案（3） D. 三种方案相同
7.如图是一个运算程序：
若x＝﹣1，输出结果m的值与输入y的值相同，则y的值为（　　）
A. B. C. D.
8.如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB＝300米，BC＝600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A. 点A B. 点B
C. AB之间 D. BC之间
9.已知 与 是同类项，则式子 的值是 ．
10.请写出一个只含有字母x，y，且次数不超过2的整式： ．
11.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，第2021次输出的结果为 ．
12.已知有9个相同的小长方形，它们的宽、长分别为a，b，现将这9个小长方形按如图所示的方式放置在一个大长方形中，若a+3b=13，则图中未被小长方形盖住的阴影部分的周长为 ．
13.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正方形组合而成，第1个图案有5个正方形，第2个图案有8个正方形，第3个图案有11个正方形……按此规律摆下去，第n个图案有 个正方形（用含n的代数式表示）．
14.观察下列单项式﹣2x，4x2 ， ﹣8x3 ， 16x4 ， ﹣32x5 ， 64x6 ， …
（1）分别指出单项式的系数和指数是怎样变化的？
（2）写出第10个单项式；
（3）写出第n个单项式．
15.已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的平方等于9，求 的值．
16.已知a ， b互为相反数，c ， d互为倒数，|m|＝2，求代数式2m﹣（a+b﹣1）+3cd的值．
17.已知│x│=2003，│y│=2002，且x＞0，y＜0，求x+y的值.
18.某零件厂现生产A ， B两种尺寸的零件，两种零件的成本和售价如表：
成本（元/个） 售价（元/个）
A 50 80
B 70 90
该厂每天共生产A ， B两种尺寸的零件800个，设每天生产A种零件x个．
（1）用含x的代数式表示该厂每天的生产成本，并进行化简；
（2）用含x的代数式表示该厂每天获得的利润，并进行化简；
（3）当x＝500时，求该厂每天获得的利润．（利润＝售价﹣成本）
19.A ， B两果园分别有橘子50吨和60吨，按四条线路，将橘子全部运送到C ， D两地，C ， D两地分别运到橘子40吨和70吨，已知从A ， B两果园到C ， D两地的运价标准如下表：
到C地的运价 到D地的运价
A果园 每吨8元 每吨10元
B果园 每吨7元 每吨11元
（1）设从A果园运到C地的橘子为x（ ）吨．
①请直接写出从A果园运到D地的橘子为 吨，从B果园运到C地的橘子为 吨（用含x的代数式表示）；
②求四条线路运输橘子的总运输费 （用含x的代数式表示）；
当从A果园运到D地的橘子为15吨时，请直接写出四条线路运输橘子的总运输费为 ．
20.某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 八折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠
（1）若王老师一次性购物600元，他实际付款 元.若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 元；
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时.他实际付款 元（用含x的代数式表示并化简）；
（3）如果王老师有两天去超市购物原价合计850元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时.王老师两天一共节省了多少元？
21.某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，在促销活动期间，该厂向客户提供了两种优惠方案(客户只能选择其中一种优惠方案)：
①买一套西装送一条领带；
②西装按原价的9折收费，领带按原价的8折收费．
在促销活动期间，某客户要到该服装厂购买x套西装，y条领带(y>x)．
（1）该客户选择两种不同的方案所需总费用分别是多少元？ (用含x y的式子表示并化简)
（2）若该客户需要购买10套西装，22条领带，则他选择哪种方案更划算？
（3）若该客户需要购买15套西装，40条领带，则他选择哪种方案更划算？
22.开学伊始，学校决定对上学期期末考试成绩优秀的学生和进步大的学生进行表彰，总务处李老师计划购买一些笔记本作为奖品，他去两家文体商店对笔记本的价格进行了咨询：
商店A：购买本数不超过100本时，每本5元；超过100本时，超过的部分每本4元.
商店B：无论买多少本，每本4.5元.
（1）设购买的笔记本为x本，用含有x的代数式分别表示两家商店所需要的费用.
（2）若学校要购买300本笔记本，应该去哪家商店比较合算？说明理由.
23.双11网络促销活动即将到来，甲、乙两家网店分别出售A型、B型两种取暖器，零售价及运费如下表所示：
型号网店 A型 B型 运费
A型 B型
甲 100元/台 200元/台 10元/台 10元/台
乙 120元/台 190元/台 免运费 12元/台
某公司计划在网上采购A型、B型两种取暖器共10台，其中A型取暖器购买x台.
（1）若两种取暖器全部在甲网店购买，需付总费用为 元（用含x的最简式子表示）；若两种取暖器全部在乙网店购买，需付总费用为 元（用含x的最简式子表示）；
（2）当 时，请通过计算解决下列问题：
①在（1）中的条件下，该公司在哪家网店购买取暖器更划算？
②若两种取暖器可以同时在两家网店自由选择购买，还有比①中更优惠的方案吗？如果有，请写出这个方案，并求出此时购买取暖器的总费用；如果没有，请说明理由.
24.综合与实践：在数学综合与实践课上,老师以“出行方式的选择"为主题，请同学们发现和提出问题并分断和解决问题
问题情境：随着互联网的普及和城市交通的多样化,人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车．滴滴快车和神州专车三种网约车,收费标准见下图（该市规定网约车行驶的平均速度为 公里时）
（1）问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里．他们发现乘坐出租车最节省钱．费用为 元;
（2）问题二：“质疑小组”提出了两个问题，请从 两个问题中任选一问做答，
A．从甲地到乙地,乘坐出租车比滴滴快车节省 元,求甲．乙两地间的里程数．
B．神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动:神州专车收费打八折,另外加 元的空车费;滴滴快车超过 公里收费立减 元．如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同,求这两位顾客乘车的里程数．
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第一课 整式概念+代数式应用篇
一、“双基目标”
①代数式概念
②理解单项式及次数；
③理解多项式的项、次数、最高次项；
④理解整式以及其它相关概念.
⑤理解“同类项”概念.
二、能力目标
体会不同情境中的建模思想，并能运用“数→式”建模思想分析、解决问题。
①列代数式，并理解其规范；
②运用代数式的相关知识解决一些常见应用问题
1、看课件，复习知识体系和基本方法；
2、学习例题，完成变式练习；
3、完成课后练习，巩固基础，提升能力。
代数式的概念
1、定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，像a+b,x的二次方-1，s/t,ab ,a等都是代数式。
【说明】(1)单独一个数或一个字母也是代数式，如-3，a.
{2}代数式中只能有运算符号，不应含有“=”或不等号‘‘>”“<”“≧”“≦”。也就是说，等式或不等式不是代数式，但代数式中可以含有括号。
（3）代数式中的字母表示的数必须使这个代数式有意义，即在实际问题中，字母表示的数要符合实际问题。
2.如何正确书写代数式
（1）在代数式中的出现的乘号，通常以“·”表示或者省略不写，如v×t应写作v·t或vt;
(2) 数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如a×5应写作5·a或5a;
(3) 数字与数字相乘，一般仍用“×”号；
（4）带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘，如ab ×2 1/2应写作5/2·ab或5/2ab；
(5) 在代数式出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如ab ÷5应写作ab/5;
(6) 在一些实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的.如果代数式是积或商的形式,就将单位名称写在代数式后面即可;如果代数式是和或差的形式,那么必须把代数式括起来,再将单位名称写在后面,如s千米,（10x＋5y）元.
【例1】 指出下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
特别注意：不论单项式还是多项式，分母中都不能含有字母。
【例2】
1. 单项式m2n2的系数是_____,次数是_____, m2n2是____次单项式.
2.如果-5xym-1为4次单项式,则m=____.
3.若-ax2yb+1是关于x、y的五次单项式，且系数为-，则a=____,b=____.
4、单项式－ 的系数与次数分别是（ ）
A.－2, 6 B.2, 7 C.－, 6 D.－ , 7
【答案】1、 1 ；4 ； 四 ；
2、4 ；
3、a=; b=2;
4、D
【例3】
1. 多项式3m3-2m-5+m2的常数项是____,一次项是_____, 二次项的系数是_____.
2.多项式－3a2b3 +5a2b2－4ab－2 共有几项，多项式的次数是多少？第三项是什么，它的系数和次数分别是多少？
3、如果多项式
求a、b的值.
【解析】1、 -5 ； -2m ； 1 ；
2、一共4项；最高次数是5次；第三项是-4ab,系数是-4，次数为2次.
3、由题意得：a-1=0, b+3=0 所以a=1, b=-3.
【例4】
1、如果3x2my3与 x2yn+1是同类项，则m，n的值为（ ）
A. m=1，n=2 B. m=﹣1，n=3
C. m=﹣1，n=﹣2 D. m=1，n=﹣3
2.若单项式-x2m-3y4 与 3x5yn+2 的和仍是单项式，则 mn= .
3、若3xm+5y2 与 23x8yn 的差是一个单项式，则代数式-mn的值为（ ）
A. -8 B. 9 C. -9 D. -6
【答案】1、A；
2、mn=8；
3、C
【例5】一个三位数，个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，则这个三位数是（ ）
A. abc B. 100c+10b+a C. 100a＋10b＋c D. a＋b＋c
【答案】C
【例6】用式子表示十位上的数是a，个位上的数是b的两位数，再把这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置，计算所得的数与原数的和，这个数能被11整除吗？
【解析】解：原数为10a+b，新数为a+10b，
和为（10a+b）+（a+10b）=10a+b+a+10b=11a+11b
=11（a+b）.
所以这个数能被11整除.
【跟踪练习】
一个三位数x的个位数字是a，十位数字是b，百位数字是c，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，得到一个新数y，试问x－y能被9整除吗？说明理由。
【解析】解：原数：100c+10b+a
新数：100a+10b+c
差：（100c+10b+a）－（100a+10b+c）
＝99c-99a
即差为原数的百位数与个位数差的99倍.
【例7】已知m，n互为相反数，p，q互为倒数，x的绝对值为2021，求
【解析】解：∵m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2021，
∴m+n=0，pq=1，x=2021或-2021，
则原式=0 -2021×1-2021=-4042或原式= 0-2021×1+2021=0．
故答案为：-4042或0．
【例8】（数值转换机问题） 轩轩在数学学习中遇到一个有神奇魔力的“数值转换机”，按如图所示的程序计算．若开始输入的值x为正整数，最后输出的结果为41，则满足条件的x值最多有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：由题意可得，
当输入x时，3x﹣1＝41，解得：x＝14，
即输入x＝14，输出结果为41；
当输入x满足3x﹣1＝14时，解得x＝5，
即输入x＝5，结果为14，再输入14可得结果为41，；
同理：
当输入9x﹣4时，3（9x﹣4）﹣1＝41，即：27x﹣13＝41，解得：x＝2，
当输入27x﹣13时，3（27x﹣13）﹣1＝41，即：81x﹣40＝41，解得：x＝1，
∵x为正整数，
∴x的值可取1或2或5或14，
故选：D．
【变式训练】乐乐按如图所示的程序进行计算，如果输入x的值是正整数，输出结果是214，那么所有满足条件的x的值为______．
【解析】解：当4x﹣2=214
解得x=54，
当4x﹣2=54时，
x=14；
当4x﹣2=14时，
x=4．
故答案为：54或14或4．
【例8】（分段收费问题）某市为鼓励市民节约用水，特制定如下的收费标准：若每月每户用水不超过10立方米，则按3元/立方米的水价收费，并加收0.2元/立方米的污水处理费；若超过10立方米，则超过的部分按4元/立方米的水价收费，污水处理费不变 ．
（1）若小华家5月份的用水量为8立方米，那么小华家5月份的水费为 元；
（2）若小华家6月份的用水量为15立方米，那么小华家6月份的水费为 元；
（3）若小华家某个月的用水量为a（a＞10）立方米，求小华家这个月的水费（用含a的式子表示）．
【解析】解：（1）25.6；（2）53；
（3）解：3×10+4（a－10）+0.2a=30+4a－40+0.2a=4.2a－10．
∴小华家这个月的水费为（4.2a－10）元．
【例9】1.滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.3元/公里 0.3元/分钟 0.4元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内(含10公里)不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元
（1）若乘坐滴滴快车，行车里程为8公里，行车时间为15分钟，则需付车费 元．
（2）若乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费 元．
（3）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元(用含a、b的代数式表示，并化简．)
【解析】解：（1）14.9
（2）39
（3）解：当 时，小明应付车费：（1.3a+0.3b）元
当 时，小明应付车费：1.3a+0.3b+0.4(a-`10)=(1.7a+0.3b-4)元
【例10】前进服装厂生产一种夹克和 恤，夹克每件定价200元， 恤每件定价100元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：
①买一件夹克送一件 恤；
②夹克和 恤都按定价的80%付款．
现某客户要到该服装厂购买夹克30件， 恤 件 ．
（1）若该客户按方案①购买，夹克和 恤共需付款 元（用含 的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克和 恤共需付款 元（用含 的式子表示）；
（2）若 ，按方案①购买夹克和 恤共需付款多少元？按方案②购买夹克和 恤共需付款多少元，哪一种方案合算？
（3）若两种优惠方案可同时使用，当 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由．
【解析】解：（1）(100x+3000)；(80x+4800)
（2）当x=40时，按方案①购买所需费用：100x+3000=7000（元）；
当x=40时，按方案②购买所需费用：80x+4800=8000（元），
因为7000＜8000，
所以按方案①购买较为合算；
（3）先按方案①购买夹克30件，再按方案②购买T恤10件更为省钱．理由如下：
先按方案①购买夹克30件所需费用=6000（元），
按方案②购买T恤10件的费用=100×80%×10=800（元），
所以总费用为6000+800=6800（元），小于7000元，
所以此种购买方案更为省钱．
【例11】某大型商场销售一种茶具和茶碗，茶具每套定价200元，茶碗每只定价20元，“双十一”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，方案一：买一套茶具送一只茶碗；方案二，茶具和茶碗按定价的九五折付款，现在某客户要到商场购买茶具30套，茶碗x只（x＞30）．
（1）若客户按方案一，需要付款 元；若客户按方案二，需要付款 元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝40，试通过计算说明此时哪种购买方案比较合适？
（3）当x＝40，能否找到一种更为省钱的方案，如果能，写出你的方案，并计算出此方案应付钱数；如果不能，说明理由．
【解析】解：（1）（20x+5400）；（19x+5700）
（2）解：当x＝40时，
方案一：20x+5400＝800+5400＝6200，
方案二：19x+5700＝760+5700＝6460，
因为6200＜6460，
所以方案一更合适；
（3）解：可以有更合适的购买方式．
按方案一购买30套茶具赠30只茶碗，需要200×30＝6000（元），
按方案二购买剩余10只茶碗，需要10×20×0.95＝190（元），
共计6000+190＝6190（元）．
故此方案应付钱数为6190元．
【例13】如图，在两个形状、大小完全相同的大长方形内，分别互不重叠地放入四个如图③的小长方形后得图①、图②，已知大长方形的长为2a，两个大长方形未被覆盖部分分别用阴影表示，则图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差是（ ）（用a的代数式表示）
A. ﹣a B. a C. ﹣ a D. a
【答案】 A
【考点】列式表示数量关系，整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形③的长为x，宽为y，
∴大长方形的宽=3y，大长方形长=2a=x+2y，x=2y，
∴y=a，
图①阴影部分周长=2y+2×2a=2y+4a，
图②阴影部分周长=2(2a-x+3y)+2y，
图①阴影部分周长与图②阴影部分周长的差= 2y+4a-2(2a-x+3y)-2y
=2y+4a-4a+2x-6y-2y
=2x-6y
=2(2a-2y)-6y
=4a-10y
=4a-5a
=-a.
故答案为：A.
【例14】如图 ，是由两个正方形组成的图形．
（1）用图中所给的数字和字母列代数式表示出阴影部分的面积S．
（结果要求化简）
当a＝4时，求阴影部分的面积．
【解析】（1）解： ，
，
（2）解：当a＝4时， ．
【考点】列式表示数量关系，代数式求值
【解析】【分析】（1）求出 ， 即可作答；
（2）将a=4代入计算求解即可。
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